第十七讲多边形教学课件

第十七讲多 边 形1.1.了解：三角形的有关概念了解：三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线内角、外角、中线、高、角平分线)，多边形的内角和与外角和公式、正多边形的概念、三角形的，多边形的内角和与外角和公式、正多边形的概念、三角形的稳定性、三角形的分类稳定性、三角形的分类.2.2.会画三角形的角平分线、中线、高会画三角形的角平分线、中线、高.3.3.掌握：三角形三边关系、三角形内角和及外角和性质掌握：三角形三边关系、三角形内角和及外角和性质.一、与三角形有关的重要线段一、与三角形有关的重要线段1.1.角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结连结_与与_之间的线段之间的线段.2.2.中线：连结三角形的一个中线：连结三角形的一个_与它对边的与它对边的_的线段的线段.3.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边高：从三角形的一个顶点向它的对边(或延长线或延长线)引垂线引垂线,连连结结_和和_之间的线段之间的线段.顶点顶点交点交点顶点顶点中点中点顶点顶点垂足垂足【即时应用即时应用】1.1.如图，图中所有三角形的个数为如图，图中所有三角形的个数为_._.在在ABEABE中，中，AEAE所对的角所对的角是是_，BEABEA所对的边是所对的边是_._.对于线段对于线段ADAD，在，在ADEADE中是中是_的对边，在的对边，在ADCADC中是中是_的对边的对边.ABEABEABABAEDAEDC C6 62.2.小华在电话中问小明：小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是已知一个三角形三边长分别是4 4，9,129,12，如何求这个三角形的面积？，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：小明提示说：“可通过作可通过作最长边上的高来求解最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确小华根据小明的提示作出的图形正确的是的是_._.(3)(3)二、三角形的边、角关系二、三角形的边、角关系1.1.三边关系：三角形任何两边的和三边关系：三角形任何两边的和_第三边，两边的差第三边，两边的差_第三边第三边.2.2.内角和及外角的性质：内角和及外角的性质：(1)(1)三角形的内角和等于三角形的内角和等于_,_,外角和等于外角和等于_._.(2)(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的三角形的一个外角等于与它不相邻的_的和的和.(3)(3)三角形的一个外角三角形的一个外角_任何一个与它不相邻的内角任何一个与它不相邻的内角.大于大于小于小于180180360360两个内角两个内角大于大于【即时应用即时应用】1.1.如果三角形的两边长分别为如果三角形的两边长分别为3 3和和5 5，那么这个三角形的第三边，那么这个三角形的第三边的长的长x x的取值范围是的取值范围是_._.2.2.在在ABCABC中，中，A=50A=50，B=30B=30，则，则C=_C=_；在在ABCABC中，中，C=60C=60，A AB=20B=20，则，则B=_.B=_.2 2x x8 810010050503.3.如图，如图，ABCABC中，中，A A6060，C C4040，延长，延长CBCB到到D D，则，则ABDABD_100100三、多边形及密铺三、多边形及密铺1.n1.n边形的内角和是边形的内角和是_._.2.n2.n边形的外角和是边形的外角和是_._.3.3.正多边形的概念正多边形的概念各个角都各个角都_，各条边都，各条边都_的多边形叫做正多边形的多边形叫做正多边形.(n-2)(n-2)180180360360相等相等相等相等4.4.用相同的正多边形铺满平面用相同的正多边形铺满平面可以用可以用_、_或或_._.5.5.用多种正多边形铺满平面用多种正多边形铺满平面两种组合的有：正八边形和两种组合的有：正八边形和_、正六边形和、正六边形和_、正四边形和正三角形，正十二边形和正三角形等正四边形和正三角形，正十二边形和正三角形等.正三角形正三角形正四边形正四边形正六边形正六边形正方形正方形正三角形正三角形【即时应用即时应用】1.1.正五边形的内角和等于正五边形的内角和等于_2.2.若正多边形的一个外角是若正多边形的一个外角是4545，则该正多边形的边数是，则该正多边形的边数是_._.5405408 83.3.如图，如图，1 1，2 2，3 3，4 4是五边形是五边形ABCDEABCDE的外角，且的外角，且1 12 23 34 47070，则，则AEDAED的度数是的度数是_._.4.4.在下面几种正多边形中在下面几种正多边形中正十边形正十边形正八边形正八边形正六边形正六边形正五边形能够单独铺满地面的是正五边形能够单独铺满地面的是_.(_.(填序号填序号)100100【核心点拨核心点拨】1.1.三角形的中线、高线、角平分线都是线段，而三角形的中位线是三角形的中线、高线、角平分线都是线段，而三角形的中位线是连结三角形任意两边的中点的线段连结三角形任意两边的中点的线段.2.2.三角形的任意一条中线都可把三角形分成两个面积相等的三角形三角形的任意一条中线都可把三角形分成两个面积相等的三角形.3.3.正多边形一定要满足两个条件：各个角都相等，各条边都相等，正多边形一定要满足两个条件：各个角都相等，各条边都相等，这两个条件缺一不可这两个条件缺一不可.4.4.用两种正多边形镶嵌时尽量满足：用两种正多边形镶嵌时尽量满足：(1)(1)镶嵌的正多边形的边长相镶嵌的正多边形的边长相等；等；(2)(2)顶点重合；顶点重合；(3)(3)一个顶点处的各角之和为一个顶点处的各角之和为360360.三角形三边之间的关系三角形三边之间的关系中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛三角形三边关系能解决的问题：三角形三边关系能解决的问题：1.1.已知两边已知两边a a，b(ab(ab)b)确定第三边确定第三边c c的范围：的范围：a-bca-bca+ba+b.2.2.判断三条线段能否组成三角形，简单的方法是看较短两判断三条线段能否组成三角形，简单的方法是看较短两线段之和是否大于最长线段线段之和是否大于最长线段.特特别别提提醒醒1.1.两边之和两边之和(差差)中的中的“两边两边”是任意两边是任意两边.2.2.两边之差可能是正数，可能是负数，也可能是零，因此两边之差可能是正数，可能是负数，也可能是零，因此一般取差的绝对值一般取差的绝对值.【例例1 1】(2012(2012杭州中考杭州中考)有一组互不全等的三角形，它们的有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5 5和和7 7(1)(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)(2)设组中最多有设组中最多有n n个三角形，求个三角形，求n n的值的值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)三边关系三边关系 确定第三边长的取值范围确定第三边长的取值范围 结论结论 ；(2)(2)根据第三边长的取值范围根据第三边长的取值范围 n.n.【自主解答自主解答】(1)(1)设三角形的第三边的长为设三角形的第三边的长为x x，每个三角形有两条边的长分别为每个三角形有两条边的长分别为5 5和和7 7，7-57-5x x5+75+7，2 2x x1212，其中一个三角形的第三边的长可以为其中一个三角形的第三边的长可以为1010(答案不唯一，只要答案不唯一，只要x x取满足取满足2 2x x1212的整数即可的整数即可)(2)(2)由由(1)(1)可知可知2 2x x1212，三角形的边长均为整数，三角形的边长均为整数，x=3x=3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1010，1111，组中最多有组中最多有9 9个三角形，个三角形，n=9.n=9.【对点训练对点训练】1.(20111.(2011滨州中考滨州中考)若某三角形的两边长分别为若某三角形的两边长分别为3 3和和4,4,则下列长则下列长度的线段能作为其第三边的是度的线段能作为其第三边的是()()(A)1(A)1(B)5(B)5(C)7(C)7(D)9(D)9【解析解析】选选B.B.设第三边长为设第三边长为x x，则，则4-34-3x x4+3,4+3,即即1 1x x7 7，符，符合题意的只有选项合题意的只有选项B.B.2.(20112.(2011南通中考南通中考)下列长度的三条线段，不能组成三角形的下列长度的三条线段，不能组成三角形的是是()()(A)3,8,4(A)3,8,4(B)4,9,6(B)4,9,6(C)15,20,8(C)15,20,8(D)9,15,8(D)9,15,8【解析解析】选选A.A.因为因为3+43+48 8，根据两边之和大于第三边，所以，根据两边之和大于第三边，所以3 3，8 8，4 4不能组成三角形不能组成三角形.3.(20123.(2012长沙中考长沙中考)现有现有3 cm3 cm，4 cm4 cm，7 cm7 cm，9 cm9 cm长的四根木长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是个数是()()(A)1(A)1个个(B)2(B)2个个(C)3(C)3个个(D)4(D)4个个【解析解析】选选B.B.任取其中三根有四种情况：任取其中三根有四种情况：3 3，4 4，7 7；3 3，4 4，9 9；4 4，7 7，9 9；3 3，7 7，9.9.由三角形的三边关系，必须任意两边之和大由三角形的三边关系，必须任意两边之和大于第三边，其中于第三边，其中4 4，7 7，9 9；3 3，7 7，9 9能组成一个三角形，所以选能组成一个三角形，所以选B.B.三角形内角和及外角性质三角形内角和及外角性质中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛解决的问题：解决的问题：1.1.已知三角形的两角，求第三个角的度数已知三角形的两角，求第三个角的度数.2.2.已知三角形的一个外角，可确定与其不相邻的两内角之已知三角形的一个外角，可确定与其不相邻的两内角之和和.3.3.证明角的不等关系证明角的不等关系.特特别别提提醒醒在运用三角形外角的性质时应特别注意在运用三角形外角的性质时应特别注意“不相邻不相邻”三个字三个字.【例例2 2】(2011(2011茂名中考茂名中考)如图，已知如图，已知ABCABC是等边三角形，点是等边三角形，点B B，C C，D D，E E在同一直线上，且在同一直线上，且CG=CDCG=CD，DF=DEDF=DE，则，则E=_E=_度度.【教你解题教你解题】答案：答案：1515ACBACB的度数的度数ABCABC是等边三角形，是等边三角形，ACB=60ACB=60.GDCGDC的度数的度数CG=CD,CG=CD,CGD=CGD=CDG.CDG.又又ACB=ACB=CGD+CGD+CDG,CDG,CDG=CDG=ACB=30ACB=30.E E的度数的度数DF=DEDF=DE，E=E=DFE,DFE,E=E=CDG=15CDG=15.【对点训练对点训练】4.(20124.(2012滨州中考滨州中考)一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三个内角的度数之比为237237，这个三角形一定是，这个三角形一定是()()(A)(A)等腰三角形等腰三角形 (B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)锐角三角形锐角三角形 (D)(D)钝角三角形钝角三角形【解析解析】选选D.D.三角形的三个角依次为三角形的三个角依次为180180 =30 =30，180180 =45 =45，180180 =105 =105，所以这个三，所以这个三角形是钝角三角形角形是钝角三角形5.(20125.(2012聊城中考聊城中考)将一副三角板如图所示摆放，图中将一副三角板如图所示摆放，图中的的度数是度数是()()(A)75(A)75(B)90(B)90(C)105(C)105(D)120(D)120【解析解析】选选C.C.=60=60+(90+(90-45-45)=105)=105.6.(20126.(2012南通中考南通中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，C C7070，沿图中虚，沿图中虚线截去线截去C C，则，则1 12 2()()(A)360(A)360(B)250(B)250(C)180(C)180(D)140(D)140【解析解析】选选B.B.如图，如图，1 1，2 2是是CDECDE的外角，的外角，1=4+C1=4+C，2=3+C2=3+C，即即1+2=C+(C+3+4)=701+2=C+(C+3+4)=70+180+180=250=250多边形的外角和与内角和多边形的外角和与内角和中考指数：中考指数：知识知识点睛点睛1.1.多边形内角和能解决的问题：多边形内角和能解决的问题：已知边数求内角和；已知内角和求边数已知边数求内角和；已知内角和求边数.2.2.正多边形的内角：正多边形的内角：每个内角都等于每个内角都等于3.3.正多边形的外角：正多边形的外角：每个外角都等于每个外角都等于特别特别提醒提醒1.1.多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关多边形的内角和与边数有关，外角和与边数无关.2.2.解有关多边形内角和及边数的问题，通常设边数为解有关多边形内角和及边数的问题，通常设边数为n n，然后根据有关条件及有关定理、公式列出式子对方程求解然后根据有关条件及有关定理、公式列出式子对方程求解.【例例3 3】(2012(2012无锡中考无锡中考)若一个多边形的内角和为若一个多边形的内角和为1 0801 080，则这个多边形的边数为则这个多边形的边数为()()(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9【教你解题教你解题】选选C.C.设设设多边形的边数为设多边形的边数为n.n.列列(n-2)(n-2)180=1 080180=1 080答答n=8.n=8.故选故选C.C.【对点训练对点训练】7.(20117.(2011杭州中考杭州中考)正多边形的一个内角为正多边形的一个内角为135135，则该正多，则该正多边形的边数为边形的边数为()()(A)9(A)9(B)8(B)8(C)7(C)7(D)4(D)4【解析解析】选选B.B.因正多边形的每一个内角因正多边形的每一个内角(外角外角)都相等，并且内、都相等，并且内、外角互补外角互补.多边形外角和为多边形外角和为360360.因正多边形的一个内角因正多边形的一个内角为为135135，故它的每一个外角为，故它的每一个外角为4545.故故n=n=8.=8.8.(20118.(2011泉州中考泉州中考)下列正多边形中，不能单独铺满地面的是下列正多边形中，不能单独铺满地面的是()()(A)(A)正三角形正三角形 (B)(B)正方形正方形(C)(C)正六边形正六边形 (D)(D)正七边形正七边形【解析解析】选选D.D.是否铺满地面就是看正多边形的内角是否整除是否铺满地面就是看正多边形的内角是否整除360360，显然，正七边形的内角为，显然，正七边形的内角为 度，不是度，不是360360的约数，所的约数，所以选以选D.D.9.(20129.(2012德阳中考德阳中考)已知一个多边形的内角和是外角和的已知一个多边形的内角和是外角和的则这个多边形的边数是则这个多边形的边数是_._.【解析解析】设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n n，根据多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式及多边形的外角和为及多边形的外角和为360360，得：，得：(n-2)(n-2)180180=360=360解得：解得：n=5.n=5.答案：答案：5 5 【创新命题创新命题】格点三角形格点三角形【例例】(2011(2011哈尔滨中考哈尔滨中考)图图1 1、图、图2 2是两张形状、大小完全相是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1 1，点，点A A，B B在在小正方形的顶点上小正方形的顶点上.(1)(1)在图在图1 1中画出中画出ABC(ABC(点点C C在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上)，使，使ABCABC的面的面积为积为5 5，且，且ABCABC中有一个角为中有一个角为4545(画一个即可画一个即可).).(2)(2)在图在图2 2中画出中画出ABD(ABD(点点D D在小正方形的顶点上在小正方形的顶点上)，使，使ABDABD的面的面积为积为5 5，且，且ADB=90ADB=90(画一个即可画一个即可).).【解题导引解题导引】处理网格问题要关注图形的特征和网格的特征处理网格问题要关注图形的特征和网格的特征.【规范解答规范解答】面积为面积为5 5的三角形是底为的三角形是底为5 5，高为，高为2 2的三角形，的三角形，(1)45(1)45角是正方形对角线与网格线的夹角，据此可画出图形角是正方形对角线与网格线的夹角，据此可画出图形(答案不唯一答案不唯一)；(2)ADB=90(2)ADB=90可依据图形的特殊性找出可依据图形的特殊性找出(答案不唯一答案不唯一).).【名师点评名师点评】通过对格点三角形的分析和总结，我们可以得到通过对格点三角形的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题启示：以下该类型题目的创新点拨和解题启示：创创新新点点拨拨借助网格这个载体可以研究与数学相关的很多问题，如借助网格这个载体可以研究与数学相关的很多问题，如格点中的三角形相关计算问题；格点中的三角形相关计算问题；格点中的三角函数问题；格点中的三角函数问题；格点中的面积计算问题；格点中的面积计算问题；作格点三角形作格点三角形.解解题题启启示示解决格点中的三角形相关问题时解决格点中的三角形相关问题时,观察三角形在格点中的观察三角形在格点中的位置位置,可运用勾股定理计算出有关边的长度可运用勾股定理计算出有关边的长度,并结合有关的并结合有关的特殊角特殊角,再运用三角形有关知识即可进行求解再运用三角形有关知识即可进行求解.1.(20111.(2011福州中考福州中考)如图，在长方形网格中，每个小长方形的如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为长为2 2，宽为，宽为1 1，A A，B B两点在网格格点上，若点两点在网格格点上，若点C C也在网格格点上，也在网格格点上，以以A A，B B，C C为顶点的三角形的面积为为顶点的三角形的面积为2 2，则满足条件的点，则满足条件的点C C的个数的个数是是()()(A)2(A)2(B)3(B)3(C)4(C)4(D)5(D)5【解析解析】选选C.C.根据三角形面积公式可知，欲使根据三角形面积公式可知，欲使ABCABC的面积为的面积为2 2，且顶点，且顶点C C也在网格格点上，那么，此三角形的底边、高的值应也在网格格点上，那么，此三角形的底边、高的值应该分别为该分别为4 4，1 1或或2 2，2 2，结合题目所给，结合题目所给A A，B B两点，可以找到全部两点，可以找到全部符合条件的点符合条件的点C C，如图所示，如图所示.2.(20102.(2010株洲中考株洲中考)如图所示的正方形网格中，网格线的交点如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知称为格点已知A A、B B是两格点，如果是两格点，如果C C也是图中的格点，且使得也是图中的格点，且使得ABCABC为等腰三角形，则点为等腰三角形，则点C C的个数是的个数是()()(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9【解析解析】选选C.C.要使要使ABCABC为等腰三角形，可以有三种不同的方法，为等腰三角形，可以有三种不同的方法，可以使可以使AC=BCAC=BC，使，使AC=ABAC=AB，或使，或使BC=ABBC=AB当当AC=BCAC=BC时，点时，点C C在线段在线段ABAB的垂直平分线上，可以找到的垂直平分线上，可以找到4 4个符合题意的点个符合题意的点C C当当AC=ABAC=AB时，可时，可以找到以找到2 2个符合题意的点个符合题意的点C C当当AB=BCAB=BC时，可以找到时，可以找到2 2个符合题意个符合题意的点的点C C故点故点C C的个数共有的个数共有8 8个个 3.(20113.(2011遵义中考遵义中考)如图，由四个边长为如图，由四个边长为1 1的的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的小正方形构成一个大正方形，连结小正方形的三个顶点，可得到三个顶点，可得到ABCABC，则，则ABCABC中中BCBC边上的边上的高是高是_【解析解析】因为因为S SABCABC=4-1-1-=4-1-1-所以所以 而而BC=BC=所以所以h=h=答案：答案：【一题多解一题多解】连结对角线连结对角线ADAD交交BCBC于于E E，由正方形的性质可知，由正方形的性质可知，ADBCADBC，所以，所以。