组合数学幻灯片41母函数的基本概念课件

母函数又称发生函数或生成函数，它是解决计数问题的一个重要工具母函数的类型较多，这里仅讨论最常见的两种类型的母函数：1.普通母函数 2.指数母函数4.1母函数母函数的基本概念的基本概念下面，我们分别进行讨论称函数为序列(a0,a1,an,)的普通母函数一、普通母函数一、普通母函数给定一个无穷序列(a0,a1,an,)(简记为an，下同)，必须注意的是，在定义4.1中，普通母函数是一个无穷级数，没有必要去讨论它的收敛性，实质上它只是引进一个表示序列的记号而已此时变量x只是一种形式变元对这种级数可以把它看成形式幂级数，我们可以按通常方式定义其加法、乘法、形式微分等运算，从而构成一个代数体系一个序列和它的普通母函数是一一对应的给定了一个序列就可以得到这个序列的普通母函数反之，如果给定了普通母函数，则序列也随之而定由此可见，普通母函数实质上是序列的另一种表达形式由由定义定义4.14.1可知可知解：解：由定义4.1和式(1.13)有求序列 的普通母函数解：解：解：解：由由定义定义4.14.1和和式式(1.18)(1.18)有有 求序列的普通母函数证明(1-4x)-1/2是序列 的普通母函数n证明：证明：由牛顿二项式定理式(1.16)有(1-4x)-1/2是序列 的普通母函数。

由定义定义4.14.1知知，解：解：由式(1.20)有求序列序列(0，123，234，n(n+1)(n+2),)的普通母函数将上式两边同时微分两次得再将上式两边同乘以x得将上式两边再微分有将上式两边再微分有f(x)=6x/(1-x)4是序列序列(0，123，234，n(n+1)(n+2)，)的普通母函数由定义4.1知 由上面的例子可见，普通母函数特别适用于某些序列，尤其是包含组合数的序列，这是由于它具有牛顿二项式定理的形式但是但是，对于具有排列数的那些序列，我们考虑下列类型的母函数(指数母函指数母函数数)更为合适二、指数母函数指数母函数给定无穷序列(a0,a1,an,),称函数函数 n之所以称为指数母函数是由于式(4.2)的右边很像指数函数e的幂级数展开式注意，指数母函数也是形式幂级数注意，指数母函数也是形式幂级数为序列(a0,a1,an,)的指数母函数解解：由定义4.2和式(1.7)以及例1的结论有设n是整数，求序列(p(n,0),p(n,1),(p(n,0),p(n,1),p(n,n),p(n,n)的指数母函数fe(x)例例6 6 求序列 p(0,0),p(2,1),p(4,2),p(2n,n),)的指数母函数fe(x)。

解：解：由定义4.2和式(1.7)，再利用例3的结果有例例7 7 求序列1,1,2 2,n n,的指数母函数fe(x)其中是实数解解：由定义4.2知n若=1，则序列(1(1，1 1，1,1,),)的指数母函数为ex例例8 8 求序列(1(1，1 14 4，1 14 47,7,1 14 47 7(3n+1),(3n+1),)的指数母函数解：解：由定义4.2和二项式定理式(1.16)有由定义4.2易见，序列(a(a0 0,a,a1 1,a,an n,)的指数母函数也是序列(a(a0 0,a,a1 1,a,a2 2/2!,/2!,a,an n/n!,/n!,)的普通母函数这说明普通母函数与指数母函数之间有着密切的联系，这种联可由下面的定理表出设f(x),fe(x)分别是序列(a(a0 0,a,a1 1,a,an n,)的普通母函数和指数母函数，则证明：证明：由指数母函数的定义,有将上式两边同乘以e e-s-s并从0到积分得由分部积分法有由分部积分法有证毕证毕故故。