变径圆弧螺旋线

变径圆弧螺旋线（关键词：圆弧、螺旋线、等差、等倍、变径圆弧螺旋线画法、阿基米德螺线、凸轮）.、八 、-刖言变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线由于这种螺旋线由圆弧构成，因此以圆规及直尺即可非常简单地绘出 它能绘制等差变径与螺旋线、等比变径圆弧螺旋线（对数螺线），甚至能绘制等距+等比的混合螺旋线、类椭圆螺旋线可以说是一种新 概念螺旋线变径圆弧螺旋线具有便于绘制、 计算，容易理解掌握的特点 它与多种螺旋线存在着密不可分的联系，有较宽广的研究空间科学是大众的科学，无穷的智慧寓于大众 为了让更多对螺旋线感兴趣的人士共同进行 这项研究，特此提早公开以下粗浅的研究，希望能起到抛砖引玉的作用变径圆弧螺旋线一 变径圆弧螺旋线形成原理： 圆心偏移的圆弧就是螺旋线依据以往的概念，我们很难将圆弧及螺旋线等同起来通常认为圆弧是圆的一部分， 圆弧上的任意点至圆心的距离均相等； 而螺旋线上的任意点至极心的距离是逐渐变化、 均不相等的圆弧与螺旋曲线之间存在着本质的区别， 是两种不同的概念 但是，圆心偏移了的圆弧的确就是螺旋线见下图）：下图中，左右两个图形分明是两个相等的半圆弧， 但由于原点所处位置的不同，则性质发生了变化。

右边圆弧变成了螺线曲线变径圆弧螺旋线就是利用 圆心偏移的圆弧就是螺旋线 的原理，不断改变圆弧的圆心位置 及圆弧半径，使螺旋线得以持续扩展、无限回旋二变径圆弧螺旋线的有关概念：1变径弧段及弧角：指一周（360°）由几段圆弧构成以及圆弧的角度如2-18O0、3-120°、4-90°、6-60 °、8-45 °…2变径原则：改变圆弧半径时，必须遵循在原有半径上做增减的 原则也就是说，前段圆弧半径及后段圆弧半径在同一 直线上，才能达到不同半径的圆滑连接3螺距、变径系数：螺距：360°时，螺旋线的间距，是螺旋线的基本参数， 用S表示螺距等于 360°时圆弧变径值之和 变径系数：指单位弧角内圆弧半径的增减值（或倍率） 用a表示a=S/3600或a=S/2 n （弧度制）螺旋线上任意点至原点的距离 L= a *a该公式与阿基米德螺线公式 p = 0 a相同！左上图就是利用圆心不断偏移， 圆弧半径等差值不断增加所形成的： 上部三个同心半圆弧下部两个 同心半圆弧五个不同半径的半圆弧，经圆滑连接形成的等差螺旋线 它的弧段、弧角为2-180°,即360°内由两段弧角为180°的圆弧构成，它的两个圆心在一直线上，两圆心的间距为1/2螺距。

根据以上等差变径螺旋线图形， 我们可明显看出：它的曲线长度为五圆弧周长之和， 曲线围截面积为外围两半圆面积之和， 计算十分简单而阿基米德螺线的曲线长度及面积计算需要微积分，非常复杂等差变径圆弧螺旋线画法、步骤以下图为例：步骤 1先设定螺距如设螺距 S=24mm , 2设定弧段及弧角为 3-120° 3计算圆弧变径值：因为螺距等于 360°时圆弧变径值之和，所以半径变径值为 24/3=8mm以尺规绘图1以变径值8mm为半径画一弧角为 120°的圆弧； 2延长第一半径至16mm （2变径值）,以16mm为半 径画第二个弧角为 1200的圆弧；3延长第二半径至 24mm（3变径值），以24mm为 半 径画第三个弧角为1200的圆弧，完成一周螺旋线4以1、2、3弧段圆心依次将螺旋线展开，使其 斤需的圈数 以下是我绘制的几个不同构造的变径圆弧螺旋线下图为4-600+1200+600+1200构造螺线上图为画在一起的两条 4-90°构造螺旋线红色的一条，圆弧圆心连线为正方形，属等 差螺旋线；黑色的一条，圆弧圆心连线为矩形属非等差螺旋线两条螺旋线有区别：等差螺 旋线变径系数只有一个；非等差螺旋线的变径系数则不只一个，在不同弧段内变径值不同。

但不论等差螺旋线或非等差螺旋线，只要 均属等距螺旋线为了直观地反映螺距 S与弧段、弧角、变径值之间的相互关系我分别绘出2-180°、3-120° 4-90°、6-60°、8-450 等 不同弧段弧角的变径圆弧螺旋线我们继续将等差变径圆弧螺旋线的 弧段数增加至1296000个，弧角减小至1秒 此时变径系数为很小的值如螺距 S=30mma=30/1296000=0.000023mm/ 秒以 0.000023mm 在一秒的弧角内画的圆弧 （如果能画出）将趋向一个点由1296000个近似点的圆弧连接而成的螺旋线就是阿基米德螺线可以说阿基 米德螺线是等差变径圆弧螺旋线弧段无限多时的表现形式它的变径系数 a仍为S/3600（因1296000秒等于360度）公式p = 0 a与等差变径圆弧螺旋线公式相同 然而无数多个点集成的曲线长度及无数多个小圆弧面积的计算，用普通算术已无能为力，只好求助 面积分了等倍（比）变径圆弧螺旋线的画法及步骤等倍（比）变径圆弧螺旋线就是对数螺线对数螺线的螺距是以几何级数增减的对数螺线的画法是先设定一半径，然后由外向中心画去等倍（比）变径圆弧的画法及步骤与等差变径圆弧螺旋线基本相同。

以左下图弧段 弧角为2-1800、变径比为0.5的等比变径圆弧螺旋线为例：先以设定的半径在第一弧段 内画一个弧角1800的半圆弧；然后将半径值乘以 0.5,以0.5半径值在第二弧段内画弧角 1800的半圆弧；再将第二半径乘以 0.5,以此半径在第一弧段内画第三半圆弧； 以此不断画出至所需螺旋线弧段弧角为2-180 0变径比为0.5弧段弧角为6-600变径比为0.618以下我画了几个不同弧段弧角的等比变径圆弧螺旋线，供参考、研究弧段弧角为3-120 0变径比为0.7弧段弧角为4-60+120+60+120 变径比为0.618其他螺旋线的画法用变径圆弧螺旋线的画法，可以画出各种各样的螺旋曲线以下我随意画了等比与等差混合变径圆弧螺旋线及由椭圆图形展开的类椭圆螺旋线La 宀弧段弧角4-90°变径比0.618上图为等差与等比混合变径圆弧螺旋线 为等倍变径圆弧螺旋线，黑色为等差变径圆弧螺 旋线 f红色右图是我先用变径圆弧画法画出 椭圆，然后在其一端展开画出类椭圆 螺旋线变径圆弧螺旋线系新概念螺旋线,后记目前除了本文应用它绘制各种各样螺旋曲线外,通过对以上各种各样螺旋曲线的 绘制，个人认为只要掌握了变径圆弧 螺旋线的画法技巧，几乎可以绘制所 有类型的曲线。

无其它应用例可预见：它在机械制图、凸轮设计、几何学、数学、流体力学等领域会 得到重视和广泛应用笔者因知识老化，不会运用电脑绘图，文中的图形只能先画在纸上进行拍照，再复 制到文档中电脑也是摸索着学会一点，极不熟练，效率低下以上粗浅研究均系独自 苦思，无人商讨，难免文中存在很多谬误欢迎指正我希望思维敏捷的年轻人能参与此项研究，使研究更加深入、正确李连生2010-7-24 于四川绵阳。