高山滑雪的建模问题

精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高山滑雪的建模问题.....精品文档......2013年江西省研究生数学建模竞赛2012年5月26日 题 目 高山滑雪的建模问题摘 要：本文建模的对象是滑雪比赛中的不同因素，这些因素是如何影响滑雪比赛成绩的进行建模，以及与这个模型有类似之处的自行车自动骑行问题建模，针对滑雪比赛中运动员受到的各种阻力的作用，本文运用空气动力学、摩擦力学、运动学和汽车动力学对这些问题进行了建模解决问题一时，根据题目的假设，仅改变运动员的体重因素，在硬雪面上进行滚落线滑行本文利用文献搜索方法，分别对雪面的几何特征、滑雪板的几何特征和单刚体人体模型进行了系统的描述，建立了人—风阻模型、雪面—滑雪板摩擦阻力模型和滑雪板自身刚体模型，基于上述模型建立运动学模型，利用龙格-库塔方法求解体重与速度和时间的微分方程，可得出体重较大的人先达到终点问题二相对于问题一有变化的量是滑雪板的长度，利用问题一中建立的滑雪板几何模型，滑雪板长度的改变会导致摩擦力改变，针对滑雪板长度的改变进行建模，得出接触滑雪板长度对滑雪速度有不利的影响采用数值替代法建立初速度对最终速度影响图。

在第三问中，滑雪道换成宣雪道，宣雪道会受到浸入力的作用形成压痕，而压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立压痕弹性阻尼模型压痕的深度与压力大小和压力作用的时间有关，针对压痕深度建立滑雪道深度—速度模型和宣雪道—摩擦阻力模型，利用Matlab分析出宽滑板在宣雪道上速度更快对于第四问中自行车骑行问题，类似滑雪问题，然而自行车骑行问题与滑雪不同之处在于自行车是滚动摩擦力，因此有必要结合车辆动力学的知识，建立软橡胶轮胎的滚动模型和针对自行车的风阻模型，利用力平衡的方法，得出自行车重量较轻的更快参赛密码 （由组委会填写） 参赛队号及题号 2013061A 目录摘要 31.问题重述 41.1问题背景 41.2题目中的相关信息 41.3需要解决的问题 42.问题分析 52.1对问题1进行分析 52.2对问题2进行分析 62.3对问题3进行分析 62.4对问题4进行分析 63.模型假设 74.符号说明与名词解释 75.问题模型的建立与求解 95.1问题1求解 95.1.1雪地几何描述 95.1.2滑雪板的几何描述 105.1.3滑雪板—硬雪道的接触模型的建立 125.1.4 单刚体人—风阻模型的建立 145.1.5模型的求解 155.2问题2求解 195.2.1问题2模型的建立 195.3问题3模型的建立与求解 235.3.1宣雪道雪痕深度与滑板速度关系模型的建立 235.3.2宣雪道摩擦阻力模型的建立 255.3.3运动模型的建立 265.4问题4的模型的建立与求解 275.4.1骑自行车空气阻力模型的建立 275.4.2自行车滚动摩擦力模型的建立 285.4.2自行车运动模型的建立与求解 296模型评价和推广 306.1模型的优点 306.2模型的不足 306.3模型的推广 317.参考文献： 318、附录 31高山滑雪的建模问题摘要本文建模的对象是滑雪比赛中的不同因素，这些因素是如何影响滑雪比赛成绩的进行建模，以及与这个模型有类似之处的自行车自动骑行问题建模，针对滑雪比赛中运动员受到的各种阻力的作用，本文运用空气动力学、摩擦力学、运动学和汽车动力学对这些问题进行了建模。

解决问题一时，根据题目的假设，仅改变运动员的体重因素，在硬雪面上进行滚落线滑行本文利用文献搜索方法，分别对雪面的几何特征、滑雪板的几何特征和单刚体人体模型进行了系统的描述，建立了人—风阻模型、雪面—滑雪板摩擦阻力模型和滑雪板自身刚体模型，基于上述模型建立运动学模型，利用龙格-库塔方法求解体重与速度和时间的微分方程，可得出体重较大的人先达到终点问题二相对于问题一有变化的量是滑雪板的长度，利用问题一中建立的滑雪板几何模型，滑雪板长度的改变会导致摩擦力改变，针对滑雪板长度的改变进行建模，得出接触滑雪板长度对滑雪速度有不利的影响采用数值替代法建立初速度对最终速度影响图在第三问中，滑雪道换成宣雪道，宣雪道会受到浸入力的作用形成压痕，而压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立压痕弹性阻尼模型压痕的深度与压力大小和压力作用的时间有关，针对压痕深度建立滑雪道深度—速度模型和宣雪道—摩擦阻力模型，利用Matlab分析出宽滑板在宣雪道上速度更快对于第四问中自行车骑行问题，类似滑雪问题，然而自行车骑行问题与滑雪不同之处在于自行车是滚动摩擦力，因此有必要结合车辆动力学的知识，建立软橡胶轮胎的滚动模型和针对自行车的风阻模型，利用力平衡的方法，得出自行车重量较轻的更快。

关键词：高山滑雪 雪面—滑雪板模型 龙格-库塔法 压痕弹性阻尼模型 1.问题重述1.1问题背景数学作为一门基础学科，其应用存在于我们生活中方方面面，因此将数学建模合理的利用，能够解决我们身边的各种问题高山滑雪是冬季奥运会比赛中的一类双板滑雪运动项目，是在大自然中的山坡上进行的雪上运动，具有鲜明的自然属性，包括回转、大回转、超大回转和速降四种比赛几种比赛的共同点是比赛时运动员穿着两只专用滑雪鞋并各自独立固定一个滑雪板在山顶的起点处听到号令出发，利用势能沿着赛会确定的S形路线滑行到山下的终点，用时最少的为优胜者为了能够达到取得好的比赛成绩的目的，需要对影响运动员完成比赛时间的各个因素都要加以考虑，本文建模正是在对这些因素进行分析，以确定哪些因素是影响运动员比赛成绩的关键1.2题目中的相关信息题目中给出了雪道的分类及其特点以及滑雪板的结构和类别比赛路线称为机压雪道或者硬雪道，是用专业的压雪机反复碾压人工造雪或者天然雪雪面形成的，压好后雪厚度可达半米以上可以认为在运动员滑行时雪道没有明显的变形宣雪道是自然降雪造成且没有人踩踏过的有一定厚度（比如30厘米）的松软雪的滑雪道，运动员在上面滑行一次后，会压出两条较深的痕迹，深度和速度有很大关系，越快的时候越浅。

滑雪板信息（几何形状）通过网络简单查询，得知滑雪板的种类繁多，其中划分的一个重要标准就是其腰宽尺寸腰宽就是滑雪板中部的宽度（是头、腰、尾三个宽度中最窄的）比赛用竞技板腰宽在65到70毫米，长度视比赛类型而定，回转一般用1650毫米左右，大回转用1850到1910毫米左右近几年大众滑雪中又流行一种全地域板，腰宽在70到100毫米，比较常见的是85毫米左右的，它的出现就是为了同时适应各种雪况：硬雪道、软雪、宣雪，一般全地域板比竞技板也稍长一些1.3需要解决的问题滑雪界有个说法：“体重大的人比赛有优势”；滑雪板的腰宽和长短也对比赛的结果产生比较大的影响，滑板的类型对于比赛场地的影响上述问题都需要通过科学地建模判断这个说法到底对不对，对推测的依据作出合理的解释针对以上的分析，我们需要解决下面四个问题：（1）运动员体重对比赛的影响针对不同体重的运动员，例如60公斤和80公斤，使用相同的滑雪板，在硬雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析，对比分析结果，看体重是都会影响比赛成绩2）滑雪板的长度对比赛的影响在体重相同的情况下，腰宽一样但长度不同的滑雪板，例如长度一个是165厘米，另一个是185厘米，在硬雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析；（3）滑雪板的宽度对比赛的影响在体重相同的情况下，一个运动员使用竞技滑雪板、另一个使用全地域滑雪板，两个滑雪板的长度都是180厘米，在宣雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析；（4）将所建立的模型对比于生活中其他同类问题针对生活中一种很相似的情况，进行建模分析计算。

不同体重的两名运动员各骑一辆没有链条的自行车，初速度同为1米/秒的条件下从柏油路面大约5度的坡上骑下，分析谁先到达坡底终点2.问题分析本文主要涉及数学模型及实际问题的分析，要求参赛者具有一定的数学素养，同时也要具备基本空气动力学、摩擦力学、运动学、Matlab编程以及相关的汽车理论的知识该题首先要求参赛者找出体型对空气动力学的影响；然后建立板和雪地摩擦学的数学模型；最后要求分析同类问题即：自行车的行驶问题，需要汽车理论来建模滚动摩擦数学模型由此可见，建模过程中存在的主要问题有：1、如何找出体重对于空气动力学的影响？2、如何基于滑雪板和场地建立摩擦力学数学模型？3、如何分析不同重力对于滚动摩擦力的影响？对此，笔者基于标准体重、身高建立空气动力学模型；其次利用雪地摩擦力的分类对不同的摩擦力分析；最后用迟滞阻力模型对滚动进行分析2.1对问题1进行分析问题中要求我们建模分析两名体重不同，其余所有条件相同的运动员在硬雪道上滑行的先后问题首先我们根据题目中所给出的信息（建立出模型）查出不同情况下雪道的几何描述、滑雪板的几何描述、人体的几何描述根据数据建立出滑雪板—雪道的接触模型、人体单刚体风阻模型。

对于压实雪地而言，可以忽略压缩阻力和冲击阻力(很小)，滑雪板在其表面滑行时，雪道的变形很小，可以将其看成是冰面上滑行，但应考虑其表面粗糙度，则滑雪板和雪道的总滑动阻力为干摩擦阻力，流体剪切阻力，接触动摩擦阻力之和由于我们可以忽略滑雪的技术动作，所以我们可以不用考虑滑行过程中运动员的支雪力作用，同时人体可以看成是一个刚体模型，固定在滑雪板上质心位置在人体的出当速度达到一定程度时，风阻变成了一个不可忽视的问题，假设两名运动员的身体条件相同，利用经验公式得出的人体截面积与体重的公式，建立出人体—空气动力学方程2.2对问题2进行分析问题2中要求我们建模分析除长度不同外，所有条件一致的滑雪板运动员，在硬雪道上谁会最先到达终点首先我们利用问题一所建立的单刚体人—风阻模型、滑雪板—硬雪道模型，计算出在相同体重作用下，滑雪板长度变化对滑动的影响效果图利用matlab自带的龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，得到在相同的初始速度下，两种滑雪板在不同长度下到达终点所需的时间，并作图直观视之由于，初始速度对滑行到达终点的时间有这一定的影响，我们应对初始速度进行研究，假定其余条件皆相同，初始速度从0.1到7（因为人体所能达到的最大初始速度小于等于7）。

求出不同初始速度下，到达终点所用时间，并用matlab作图表示，分析初始速度对滑行的影响2.3对问题3进行分析问题3中要求我们对不同种类的滑雪板在宜雪道上滑行到达终点的时间问题进行研究首先，我们已知宜雪道是不同于硬雪道的赛道，它是自然下雪形成的，之前并未承受过力，所以当滑雪板作用在上面的时候，积雪会因为受到力的作用而向下凹陷进去形成压痕，而凹陷下去的压痕随着浸入力的大小和浸入力作用的时间的变化而改变的，浸入力越小，压痕越浅；作用时间越短，压痕也越浅，作用时间与速度成反比同时，由于压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立浸入力—压痕的模型，分析压痕与那些因素有关，然后建立与之有关的滑雪板—滑道摩擦阻力的模型，对此模型进行系统的受力分析，最后建立滑雪的运动模型在初始速度为1的条件下，利用matlab求解其运动微分方程组，求出不同滑雪板到达终点所需的时间以及达到终点时的速度，并作图视之2.4对问题4进行分析针对问题4中，要求运动员以一定的初速度，骑着没有没有链条的自行车在有一定坡度的柏油马路上骑下来，对自行车进行分析，自行车在下来的过程中，同样也会受到空气阻力的作用，对于体重不同的运动员来说，由于骑车的姿势与滑雪的姿势是不同的，而且自行车本身也具有迎风面积，因此建立自行车的风阻模型。

自行车的车轮是橡胶轮胎，并且运动方式是滚动，由汽车理论可以得知对于软车轮的滚动阻力主要是迟滞阻力，而迟滞阻力摩擦系数与作用在车轮上面的垂直地面的正压力有很大的关系，通过对正压力与摩擦系数分析，得到在不同正压作用下的摩擦系数是变化的，建立正压力与摩擦系数之间的关系，然后建立迟滞摩擦阻力模型最后建立自行车的运动模型3.模型假设1.假设运动员体型是按照标准体重、身高和体表面积计算公式，并且采用相同的运动姿态2.运动员的重心在两块滑雪板的中心，且重力平均分布到每个滑雪板上，滑雪杖不使用3.假定运动员滑雪是状况良好，雪道平整，赛道处于无风状况4.雪温恒定，且运动员所遇的学质相同，地形一致5．人体与滑雪板呈90°角，且与滑雪板无任何相对运动4.符号说明与名词解释滑雪板前部长度滑雪板中部长度滑雪板后部长度滑雪板前部宽度滑雪板中部宽度滑雪板后部宽度滑雪板前部拱高滑雪板中部拱高滑雪板后部拱高滑雪板前部面积滑雪板中部面积滑雪板后部面积干摩擦系数摩擦系数法向重力分量流体剪应力引起的摩擦阻力系数流体粘度流体膜厚度湿接触面积空气阻力空气阻力系数空气密度相对空气的运动速度运动员的体重运动员的身高运动员的体表面积运动员正面积运动员迎风面积每平方米雪弹性模量每平方米雪阻尼系数最大压痕深度宜雪道雪深压痕深度滑雪板的长度压缩阻尼系数冲击摩擦阻力雪的密度滑雪板的平均宽度自行车的迎风面积自行车空气阻力自行车滚动阻尼系数5.问题模型的建立与求解5.1问题1求解5.1.1雪地几何描述一般来说：新雪为片状，密度在150左右，没有硬度；而坚实的硬雪，其硬度值最高可达到170kPa。

不同时候的降雪以及不同气候的影响，覆盖的雪通常会有许多不同的层新下的雪的密度在50~100之间较老的自然雪的密度约为冰的，约300自然的经过修整压紧的雪，或者人工造雪的密度最大可以达到500无论是自然雪还是人工的雪通常都是多孔的，渗水的，充满水气或空气雪中的气泡被雪长时间压紧后变成冰之前都是存在的这些冰的密度在800左右雪地上的雪通常是一种或多种结构:具有一定大小的束状冰颗粒，由圆形雪颗粒受压接触粘合形成;松散的单独分离的较大的冰颗粒，由棱形雪晶体颗粒变质形成；融化重新冻结而成的束状冰颗粒，由雪中的水融化凝结变质过程形成根据假定，运动场的自然雪和人工雪地需要经过压、刮平等修整处理，保证雪面均匀光滑，方便滑行则雪地路面可用以下方程描述 （1）以图1建模的方法，可以建立雪地路面以及滑雪板相对于基础坐标系的方程PBA图1 坐标系模型雪道路面的方程可表示为： （2）设为人体的质心相对于基坐标系的位置，其相对于雪面的距离为；基坐标系和滑雪板坐标系存在一定的转化关系：设为点在坐标系中的位置，为点在坐标系中的位置 （3）式中：，5.1.2滑雪板的几何描述高山滑雪板是人体和雪地进行力传递的中介物，主要作用是起到增大雪地支承面积减小雪地浸入量，支撑滑雪者避免陷入雪中，为滑行提供稳定性，使得滑雪者可以在雪道上能精确的控制滑雪。

滑雪板与雪道的相互作用是极其复杂的动力学过程，该过程对滑雪运动起到了极为重要的作用因此，滑雪板一雪道模型是滑雪模型中最重要的子模型之一滑雪板的几何特性对于许多现代滑雪技术的滑雪效果具有重大的影响为了计算滑雪板与雪道的相互接触力，必须对滑雪板几何形状进行描述高山滑雪板组成的材料及制作工艺都很复杂滑雪板由前部、中部（腰部）、后部组成，中部安装固定器的部分成为“重量台”滑雪板两侧镶有钢边高山滑雪板的外型是前部、后部宽，中部窄，侧面形成很大的弧线[1]现代滑雪板通常如图2所示理想的滑雪板应该在满足需要的弯曲刚度和扭转刚度下尽可能的薄由于滑雪板截面面积较小，忽略截面形状，仅对滑雪板正面以及侧面的几何形状进行描述如上图所示，滑雪板的主要几何特征可用9个参数描述[2]:、、、、、、、、其中，分别表示滑雪板长（length），板宽（width），拱高（height），下标分别表示滑雪板前部（front）、中部（middle）、后部（back）为进行更准确的滑雪板—雪地相互作用力计算，提出以1个矩形，7个圆弧来描述滑雪板的正面、侧面几何外形图2 滑雪板正面视图(左)，滑雪板侧面视图(右)把滑雪板的正面轮廓线分3部分描述，后端尾部为一小矩形，由，决定；中间边缘为上下两个圆弧，圆弧半径由，，，决定，假设板前后等宽即，则半径为 （4）前端也为上下两个圆弧，圆弧半径由，决定 （5）忽略滑雪板的厚度，同样地，滑雪板的侧面轮廓分3部分描述，后端尾部近似为向下的圆弧，圆弧半径由决定，决定 （6）中间承载区为向上的圆弧，圆弧半径由，决定 （7）前端头部为向下的圆弧，圆弧半径由，决定 （8）尾部表面积： （9）中部表面积： （10）式中：表示中部平均宽度；前部表面积： （11）式中：表示前部平均宽度；将三部分表面积相加可以得到滑雪板的体表面积，（12）5.1.3滑雪板—硬雪道的接触模型的建立当滑雪者静止站在硬雪道上，雪面不会产生明显的变形，硬雪道的刚度和剪切强度和冰面的情况相似，故我们可以将硬雪道简化为冰面模型进行分析计算，所以我们可以建立如下图3所示的滑雪板—硬雪地的接触模型：图3 滑雪板—硬雪地的接触模型其中，是滑雪板惯性参考系，人作为单刚体仅仅施加一个与基坐标系Y轴方向相反的力，且根据前面假定两板所受的重力相同，为 （13）式中：为基坐标系Y轴方向的单位向量，，分别表示雪地作用在滑雪板上的干摩擦力、接触摩擦力、流体剪切力，三个力皆与速度方向相反，则合力，就是滑雪板和硬雪道之间的相互作用力。

1）干摩擦阻力方程的建立基于经典理论，对于低温冰雪，滑动件的干摩擦主要由晶体微凸体联结点的剪切引起，干摩擦力为[3] （14）式中: 为干摩擦系数，为实际干接触面积在5.4中会进行详细分析，是压缩强度（雪）或压痕硬度（冰），是法向载荷，是联结点较软材料(如雪)的剪切强度，一般范围在5~20，取其中间值即2）接触摩擦摩擦普遍存在于滑雪板和雪地之间尽管滑雪板底可打蜡润滑，滑行中也有雪融化成水来润滑，滑雪板和雪之间的摩擦力仍然是存在的动摩擦力系数在0.01一0.3之间[80]滑雪板和雪地之间的摩擦力受以下几个因素的影响:速度、接触面积、雪的性质(雪的温度、硬度、液体水多少)、滑雪板特性〔刚度、底面材料、底面粗糙度、温度传导率)，摩擦力的方向沿着滑雪板长轴方向两个物体之间的摩擦力可用摩擦力可用经典的库仑摩擦描述对于滑雪板和雪地之间的摩擦力，可以写成 （15）其中是摩擦系数，是法向重力分量，垂直于接触面，是摩擦力的方向，与速度投影方向相反3）流体摩擦方程建立流体摩擦定律[3]用来表示为液体摩擦力，为雪的绝对黏度，为滑行速度，为滑雪板与雪之间的融水层的厚度当摩擦界面间存在薄层水膜时，因流体剪应力引起的摩擦阻力为13. （16）式中为流体粘度，通过，在网络上的查找可以知道，在0摄氏度时，水的流体粘度[4]1.7921×10-3 N·s·m-2，h为流体膜厚度，为湿接触面积，在5.4小节将进行详细的分析。

其中的计算可用下式 （17）式中: 为冰的熔化潜热，为水的密度，为典型尺寸取滑雪板长度，水的熔化潜热很高，在0℃和一个标准大气压下，大约为333.69J/g5.1.4 单刚体人—风阻模型的建立空气阻力是空气流过人体作用在人体上的力空气阻力会影响滑雪运动的表现，顺风利于滑行，逆风阻碍滑行在高速的直滑降过程中，运动速度可高达62.sm/s圆，空气阻力可达总阻力(空气阻力、摩擦力阻力)的80%，减速非常明显因此，建立滑雪模型必须考虑空气阻力的影响以下公式用来计算空气阻力 （18）其中是空气阻力系数，一般在0.3—0.95之间，为空气密度，是运动方向上相对空气的运动速度，是对应于的迎风面积由上式可知，空气阻力受以下因素影响：空气密度、滑雪速度、人体截面面积、阻力风阻系数其中对于影响的因素包括环境和运动员比赛中滑雪姿势，由于两名运动员的竞技水平一样且比赛场地和环境相同，因此可以确定这两名运动员同时滑雪过程中空气阻力系数和空气密度相同，本文通过文献[5]，并且对比赛环境和运动员比赛的进行分析，对于这两个系数取空气阻力面积并不总是常量，而是依赖于滑雪人体各个肢体的形态，大小以及表面特征。

已知假定中两名运动员的身体成分和状况相同，故可认为其体重和迎风面积存在一定的关系（针对两名运动员体重的差距，我们分析两名运动员的迎风面积）1）运动员迎风面积模型的建立由于没有人体的正投影面积通用公式用于计算，同时因为运动员运动时姿态的调整，针对上述影响迎风面积的计算，本文建立运动员的迎风面积的模型，建立的步骤是：Step1：通过标准的人体的身高体重公式，利用体重计算出运动员身高；Step2：先利用人体的表面积计算方法，计算人体的表面积；Step3：利用人体的表面积与人体的体重，计算人体的正投影面积；Step4：通过对运动员的姿态的分析，得到正投影面积与运动姿态的关系，计算运动员滑雪时候的迎风面积针对运动员的体型，采用的是标准身高体重的计算公式 （19）：运动员的体重：运动员的身高计算分别得到了两名运动员的身高为、结合两名员的体重，利用下面公式计算[6]运动员的表面积 （20）分析人体表面积与正面积的关系的计算，得到人体的正面积计算公式： （21）通过分析，确定运动员的姿态等因素的影响，最后找出计算运动员在滑雪时候的正迎风面积公式 （22）通过对上述综合分析，最后得到空气阻力的计算公式为： （23）该方法能较真实的反映实际阻力面积5.1.5模型的求解利用已经建立的风阻—单刚体人、滑雪板—硬雪道模型，根据假设，将人看作一个距离滑雪板有一定高度的质点且与滑雪板固连。

据此可以得到问题一的受力模型如下图4所示：图4 总体力学模型（左），滑雪板受力图（右）总体模型在时刻所受的力与力矩应该保持平衡状态： （24）滑雪板受力会产生一定的扰度，会是接触冰面的面积产生变化，其扰度公式为 （25）式中：表示扰度；表示截面弯矩；为材料刚度，表示构件抵抗变形的能力；可以将滑雪板简化为梁系统，截面弯矩通过查表可以知道79900~90000，取其最小值保证其符合要求； （26）式中：表示拱形的高度利用其比例关系可以得到比较接近实际的干、湿接触面积 （27）将所得的方程导入matlab中，利用，龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，初解取初速度为1，可以得到路程与时间的关系图以及速度与路程的关系图分别如图所示（程序见run.m）：图5 不同体重者使用竞技滑雪板路程与时间的关系图图6 不同体重者使用竞技滑雪板速度与路程的关系图图7 不同体重者使用全地域滑雪板路程与时间的关系图图8 不同体重者使用全地域滑雪板速度与路程的关系图从上图5、6、7、8可以看出无论是使用竞技滑雪板还是全地域滑雪板，体重大的人总是比体重轻的人先到达终点，并且到达终点的速度更大。

具体结果见下表1、表2所示：表1 运动员到达终点所需的时间/s竞技滑雪板全地域滑雪板60Kg运动员30.633830.653480Kg运动员30.081630.1079表2 运动员到达终点的速度 m/s竞技滑雪板全地域滑雪板60Kg运动员25.247525.248580Kg运动员26.202026.20175.2问题2求解5.2.1问题2模型的建立根据题目2可知，问题2建立在硬雪面上，我们便可以利用在问题一种所建立的单刚体人—风阻模型、滑雪板—硬雪道模型，计算出在相同体重作用下，滑雪板长度变化对滑动的影响效果图，利用运动学约束建立滑雪板和硬雪地之间的相互关系充分考虑到滑雪板自身的几何形状及力学特性通过数学公式的计算，我们可以知道滑雪板长度的变化对滑雪板的表面积具有一定的影响力、同时还会影响所建立的干摩擦阻力模型、以及流体剪切力模型的大小，进而间接对滑雪板的速度起作用利用问题一所得到的数学方程式进行计算，改变其长度值即可：通过对上面式子进行微分方程的求解，初始速度我们可以取1，利用matlab中run2.m进行有关的结果分析，我们可以计算出不同长度滑雪板到达终点所需的时间曲线图如图所示：图9 不同长度竞速滑雪板路程与时间关系图图10 不同长度竞速滑雪板速度与路程关系图图11 不同长度全地域滑雪板路程与时间关系图图12 不同长度全地域滑雪板速度与路程关系图从上图中我们可以看出，长度对滑雪板的影响较小，下表是有关上图的一个数值关系表如表3、表4所示：表3 运动员到达终点的时间/s竞速滑雪板全地域滑雪板165cm长度板30.623930.6403185cm长度板30.637130.6578分析上表经过数值拟合得到的数据可以精确的计算出到达的先后顺序，可知无论是那种长度的滑雪板，竞速滑雪板都要比全地域滑雪板快上一点点，其差值，是其总时间的万分之六，长度越长的板其所用的时间都要比长度短的时间长，可见长度对滑雪板滑行有不利影响。

表4 运动员到达终点的速度m/s竞速滑雪板全地域滑雪板165cm长度板25.256325.2571185cm长度板25.244625.2456通过上表可以知道，在到达终点位置是，全地域滑雪板的速度要比竞速滑雪板的速度要高上0.001m/s左右，且长度越长的滑雪板要比长度短的滑雪板的速度更少，平均在0.011m/s左右，可以知道长度不利于速度的发挥加速度的不同也对谁最先到达终点具有一定的影响作用，已知，人力所能达到的最大初始速度大约在7m/s左右，我们利用matlab编辑好的程序funVo，进行结果的分析计算,我们可以分析出在不同的初始速度下，所用的时间和所能达到的速度的关系图如图13、图14所示：图13 不同初速度对到达终点时间的影响图图14 不同初速度对到达终点速度的影响图根据上图可以看出，初速度的增加对到达终点的时间有很明显的减少作用，无论不同长度，不同类型的滑雪板都是一致的，在初速度点1.1 m/s和5.5m/s两点处，时间有一段缓慢的减少过程，具体原因根据笔者的估计，是应为在此初始速度下，系统所增加的阻力与初始速度的增加相仿，导致时间减少缓慢，在初速度为（0.3~3）m/s之间终点所达到的最终速度缓慢减少，原因可能是速度的增加导致风阻和摩擦阻力的变大，导致速度最后会出现减弱的现象，而到了5.4m/s左右，速度飞速增加，原因是可能滑雪板突破了摩擦阻力的限制产生速度跃进。

5.3问题3模型的建立与求解5.3.1宣雪道雪痕深度与滑板速度关系模型的建立因为在滑雪比赛中，既有在硬雪道上举行的，也有很多比赛是在宣雪道（宣雪道是指自然降雪造成且没有人踩踏过，有一定厚度的松软雪的滑雪道）上举行的，在宣雪道上的滑雪比赛，运动员在上面滑行一次后，会压出两条较深的痕迹通过力学的分析可知，在宣雪道上滑雪板刻雪深度和速度有很大关系，速度越快的时候越浅同样，作用在上面的压强越小的时候越浅，不难得知，划过的深度对压缩阻力和冲击阻力都有很大的影响，因此有必要建立深度和速度的模型雪对施加的外力（压力）表现出黏弹性，如果外力（压力）作用时间不是很长，在雪被压缩至最厚实之前压力撤下，因此在作用时间和压强不同的情况下，压痕深度就不同，早在1946年M.de Quervain通过实验研究过雪的黏弹性，得出雪的机械特性可以定性地表示成一个由一个弹性单元（弹性模量）与一个阻尼单元（粘性阻尼常量为）串联组成的力学模型，如图15所示，图15 雪地受到压力作用模型对该系统进行分析， （28）式中：每平方米和的计算公式[7]分别是：按照控制工程中的解题方式解出来的，但是由于雪地被压实之后不会恢复原始状态，本文在建立的方程的中去除掉后面的，并且通过分析可以得知，滑板在雪上作用力时间长度为滑板划过雪上面的时间即：。

最后求解得到了雪痕深度，其计算公式为：；其中 是相应的正压力作用在雪上面，会产生的压痕深度的最大深度，其最大深度的公式为： （29）结合以上公式得到压痕深度的最终计算公式： （30）图16 宣雪浸入深度—速度图5.3.2宣雪道摩擦阻力模型的建立 通过上面的分析可以得知，在宣雪道上进行的滑雪比赛，雪道会产生很深的雪痕，正是由于雪痕的存在，是宜雪道的上的摩擦阻力模型不同于硬雪道的摩擦阻力的模型1：当滑雪板在宣雪道上滑行的时候，宜雪道将会产生塑性变形的压阻力和滑雪板与雪地之间的浸入力，这两个力将会产生一定的摩擦力，为了简化模型，文章将这两个力合并在，作为压缩阻力一起计算，得出压缩阻力的摩擦系数的公式： （31）2：滑雪板浸入雪地之后，滑雪板向前滑行的过程中，正前方的雪会被推离，这些雪造成的冲击阻力，而且当速度达到一定大小的时候，雪还会被滑雪板刮飞，这些作用力全部是对滑雪板产生的冲击阻力，通过分析可以看出，雪的密度，血斑的宽度和雪痕的深度都会对冲击阻力造成影响，通过对文献[3]的查询得到了冲击摩擦阻力的计算公式为： （32）5.3.3运动模型的建立可以利用5.1所建立的空气阻力模型，建立如图17的受力分析图图17 运动员受力分析图（33）本题结题所求的是体重为60kg的运动员。

将所得的方程导入matlab中，利用龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，初解取初速度为1，可以得到路程与时间的关系图以及速度与路程的关系图分别如图18、图19所示（程序见run3.m）： 图18 相同体重者使用不同滑雪板路程与时间的关系图图19 相同体重者使用不同滑雪板速度与路程的关系图根据上图可知竞速滑雪板比全地域滑雪板先一步到达终点；竞速滑雪板到达终点的速度也比全地域滑雪板的速度更快但是和硬雪面相比，在宜雪面所花的时间更多，速度也更快，且宜雪面有一定的速度限制，和硬雪面有一定的不同下表即是具体数值数据拟合所得：表5 运动员到达终点所需的时间/s竞技滑雪板全地域滑雪板60Kg运动员34.793135.1074表6 运动员到达终点的速度 m/s竞技滑雪板全地域滑雪板60Kg运动员19.510619.15485.4问题4的模型的建立与求解5.4.1骑自行车空气阻力模型的建立对于人体的迎风面积， 我们采用在5.1.1中建立的人体正面积，由于骑自行车的姿势与滑雪的不同，并且由于自行车的迎风面积的存在，因此文章对第一题迎风面积计算公式做一些改变，其中，正投影面积不变： （34）人体骑自行车的迎风面积是因为人体结构相同等方面的原因，文章取与滑雪一样的空气阻力系数和空气密度。

根据人的空气阻力计算公式有 （35）5.4.2自行车滚动摩擦力模型的建立自行车在柏油马路上面行驶时候，车轮在滚动的时候，轮胎与路面的接触区域产生法向、切向的相互作用力以及相应轮胎与支承面的变型，因为是柏油马路滚动，属于硬路面，因此，轮胎的变型是主要变型，轮胎的滚动摩擦主要是轮胎有内摩擦产生的弹性迟滞阻力，是轮胎变型时候他做的功不能完全收回图20 滚动力矩图轮胎的迟滞损失表现为拽车轮滚动的一种阻力耦，但车轮滚动的时候，在法向前后所对应的点和变型虽然相同，但由于弹性的迟滞现象，处于压缩过程的前部的点地面法向反作用力就会大于处在回复过程的点的法向反作用力因此，在车轮滚动式有滚动力耦矩阻碍车轮的滚动在图20中可以看出，欲使车轮在硬路上滚动，必须在中心加一个力，故，则可以得到这个就是滚动摩擦系数，在的表达式中可以看出，与成正比，而与作用在车轮上面的力（包括运动员的重量与自行车自重）成正比根据文献[6]查表取值，得到体重为60kg的人的滚动摩擦系数是，通过上面的分析比例关系得到体重为kg的运动员骑自行车的时候的滚动摩擦系数是5.4.2自行车运动模型的建立与求解建立骑自行车运动员在斜面上的受力分析如图21所示：图21 对骑自行车行驶的人手里分析对自行车进行受力分析之后，列出自行车的运动微分方程： （35）将所得的方程导入matlab中，利用龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，带入题目中做给的初始条件，可以得到路程与时间的关系图以及速度与路程的关系图如图22、图23所示（程序见run4.m）：图22 不同体重者使用自行车路程与时间的关系图图23 不同体重者使用自行车速度与路程的关系图假设终点在600m左右，根据上图可以看出，重量轻的先到达终点，在滑行到400m左右时，两个运动员的滑行速度保持一致性，随着时间的增加，重量大的运动员速度赶超重量轻的运动员。

在滑行速度在15m/s以下时，重量轻的要比重量大的运动更快，因为重量大的人所受的迟滞阻力在速度小的情况下更大，阻碍重量大的人速度的提升6模型评价和推广6.1模型的优点1：本模型充分考虑了影响运动员比赛速度的各个方面的因素，并且对各个因素都有完整的建模，数据来源充分合理2：空气阻力的模型针对不同的体重的运动员做了合理计算3：摩擦阻力的建模基本上涉及到了在雪面与滑雪板之间的所有可能出现的摩擦力，考虑了滑雪板本身的几何形状及其变形的影响并且对在不同的雪地上做了区分6.2模型的不足1：本模型是在运动员运动过程中姿势不变的情况下进行的，但是在滑雪过程中运动员通常要完成各种复杂的动作2：本文建立的道路都是直道，而在现实滑雪中，很多都是S或者弯道3：并没有对所有的点进行分析，只是对有限的点进行曲线拟合，结果未必十分准确6.3模型的推广本模型能够针对高山滑雪运动具有指导意义，对高山滑雪运动成绩的提高具有一定的实际的用处，模型1说明了运动员的体重是影响比赛成绩的因素，模型2得到的结果是：板的长度对于比赛成绩的影响不大，模型三说明在宣雪道，板的宽度对滑雪运动有一定的影响本文的模型对于滑雪运动员的训练和比赛都有一定的参考价值。

7.参考文献：[1] 陈礼滑雪运动生物力学仿真分析[D].博士毕业论文 2009[2] [[3] 彭旭东，雷毅，宗长畜，郭孔辉，谢友柏冰雪面上汽车轮胎的摩擦学研究[c]. 第七届全国摩擦学大会论文集2002,8:342-347[4] [[5] 余志生汽车理论[M]. 机械工业出版社2011[6] 李戈，吕俊苞人体表面积计算[J]中国法医学杂志. 2000,15: 55-57[7] 袁永丽，崔学政，张芬娜，马国强雪的机械特性及雪地行驶概述[J]科技论坛. 2006,11，51-53[8] 闰乃鹏影响高山滑雪运动员滑行阻力的主要因素[J]冰雪运动. 2006,5: 18-20[9] 司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用[M]，北京：国防工业出版社，2011[10] 张德丰，杨文茵，MATLAB工程应用仿真[M]，北京：清华大学出版社，20128、附录见电子稿程序文件夹（文章略）。