结构动力学教程
1.6 单位脉冲激振和单位阶跃激振1.6.1 单位脉冲激振脉冲函数：=t时的脉冲荷载，冲量Ip =门+At Pdt = Pb 令:：二1,At A0,p Ta f单位脉冲 "p(t) f5P函数(Dirac函数或delta函数)，记为：5 (t -1) 5函数的性质：1[0 t 丰 t5 (t -1)訂 1i [a t 二 t「5 (t -1 )dt 二 1; ja f (t)5 (t -1 )dt 二 f (t)1 1 13(0-a -ap(t)j ip 一t1dt图 3—41• 研究单位脉冲作用下的响应问题： 5(t)mx + cx + kx = 5 (t) x + 2匚① x + ① 2x = x + x匚① .—0 0——n sin ® t® ddf积分求速度与位移x(t) = e-辆 x cos ® t +0dt = 0 t 0+加速度 mx = 5 (t) T x =址 mx = J0 + xdt = J00 0 0x =J0 + xdt = J0 0 0 0 1代入得：x(t) = e-3/ sin@ t)=m® dd• 单位脉冲响应函数：「01h(t)=
x = 0根据第一式：x = 0 n tp兀 TO t =兀；t = = —nn p p o 2nx (t)=roF—n 0Sin o t kn oFF 0 [sin o t — sin o n k0 sin O tn x(t)= kn(0 < t < t )0(F—|t )] / (t 汗)0 10- cos® t) 0 knFxx = 2—0 = 2x ; B = p = 2p k st x st响应峰值发生在脉冲作用时间内根据第二式：x = 0 n tp( 、 O ttg (o t ) = —Ctg-^; tn p 2 p 2onoFx (t) = n 0kt T t+ -0 = -n + -0 > t2 4 2 0[sino t—sino (t—t )]0nTt < n02b t、——n 0l 2丿响应峰值发生在脉冲作用时间后x 二 2—sinpkT 位移响应有最大值t0 2为静位移2倍=2x sinst'兀t '~Tl T丿;p =-^ = 2 sin xst'兀t '~Tl Tn 丿T 位移响应小于静t V no 6 位移pt / T0n矩形脉冲响应谱2.0图1-25 半正弦脉冲响应谱1.7任意激振(八x(t)=m®1・7・1 t=T时的脉冲荷载fdt —* dT; t —* (t —t )/、 PdT .(、x(t) = e—4” (t —t ) sin ® (t —T)m® d1・7・2任意动荷载作用下的振动 运动方程的标准形式： x(t) + 20 (t) + ① 2 x(t) = P (t)”m微脉冲 引起的位移反应：PdTdx(t) = e—4” (t —t ) sin ® (t —T)m® d动荷载作用下在t时刻的位移反应：h(t)=1— e -0®”t sin(① t)ndp(t >T )tI HT d Tp (t).■tt1Ie-©<” sin(① 1 — Q 21)m® \1 — Q 2 ”(t V0)(t > 0)”t P(T) t (Duhamel 积分，卷积)x(t) = J' e-Q®”(t-T) sin® (t —t)dT = Jt P(t)h(t —t)dT0 m® d 01.7.3稳态反应的卷积T *T + dT 的冲量 f (T )dT脉冲响应函数h(t —T ) f (T )dT T杜哈美积分x(t) = Jt h(t —t)f(P)dP(P<0,f = 0)Jt h(t —t)f(T)dT0(稳态，t T—g|g h(t —T ) f(T)dT= f (t )* h(t)—gf (t ) = Jg F @) exp(iet )d®—gF(①)=—Jg f (t)exp(—iet)dt 2兀—g1.8 频率响应函数单自由度体系的运动方程：心迪恣乜kx = f⑴傅里叶变换频率响应函数(动柔度 输入单位简谐荷载产生的动位移-机械导纳)H (®) = = 1 F (®) k 一 m® 2 + i®c机械导纳的倒数-机械阻抗(动刚度——产生单位简谐位移所需的荷载)Z (®) = = k 一 m® 2 + i®cH(®)频率域响应(根据叠加原理)：x(t) = Jg F(®)H (®)exp(i®t)d®—g=Jg 丄 Jg f (t )exp(—i®T )dT H (®)exp(i®t)d®—g _Jg 丄 H(®)exp[i®(t —t)]d® dT—g 2兀X (①)=F (①)H (①)x(t) = Jg F(®)H(®)exp(i®t)d®—g—g = Jg f (T )—g 又根据稳态卷积：x(t) = Jg h(t—T)f(T)dTn h(t —t) = Jg — H(①)exp[i®(t—T)]d®-g 2兀—g令 t —T = u 得h(u)=丄 Jg H (①)exp(i®u)d® 2兀—gH@) = Jg h(u) exp(—iwu)du 单位脉冲函数与频响函数为傅里叶对。
时域反应分析与频域反应分析的转换1.9 阻尼1.9.1 阻尼的分类(1) 粘性阻尼(大小与速度成正比；方向与速度相反)f = —cx相当于物体在空气中低速运动的介质阻力数学上便利微振动精确使用广 泛2) 滞后阻尼(结构阻尼大小与位移成正比；方向与速度相反)—m® 2 X @) + i ① cX @) + kX @) = F (①) f = —igx结构内部振动变形引起的能量耗散如图所示为椭圆 耗散的能量与应变有关而与频率无关x g .f =—igx = — g x = — xn g = c® g x ®阻尼在振动一周内的作功(下页推导) W = J f dx = —J — — xdx =gA 2g g ®振动一周的能量散耗：对数衰减率：)厂］x x x九=2兀q = ln i = ln 1 = ln 2 x x xi+1 2 3xxn e-九=t = —3 =…xx12将e-展开成级数：e-X = 1-九+匕上+… 2! 3!1 ”1 2 2 2'x=…n e九=ix2x=2 =x311每周开始时的能量：V = — kx2,V = = kx2,••-振动一周的能量散耗比1 ： 2 1 2 2AV V 一 V x2 一 x2w = 1 = 1 2 = 1 2V V x 21 1 1n AV u 4兀匚V =兀cwx2 n 兀cwA2 111对结构阻尼：屮 hgA22x 22Ig = cw二 1 - e 一2九二 2 九1 1 cV = — kx 2 = — mw - wx 2 = wx 212 12 1 4匚 i_ c2w mn3)干摩擦阻尼(库仑阻尼。
大小与正压力成正比；方向与速度相反)xxsgn(x)=—xf =-R N sgn( x)F运动方程：mx + sgn( x) + kx = 0解：• x = A cos w t + A sin w t - pN sgn(x)/ k1 n 2 n初始条件：—x = -x , x = 0 解为 0 0 0 x=[pNsgn(xx)/k-x ]cosw t-pNsgn(xx)/k 0n第一个半周(w t =兀)的位移：x = x -2pNsgn(x)/k 减少2pN/k -全周减少4pN/k -呈线性减少(非负指数)1.10阻尼与频率一振幅曲线的关系 共振区附近阻尼对振幅影响大 可利用实测幅频曲线求体系阻尼共振时w = w ; B = 1/2匚在两边找 "使其动力系数均为：B = B max =1,2 v2 2 点代入动力放大系数：b =12解得的两个根：(w )2 = «(1-w22)2+ (2+5②2亦小阻尼时忽略高次项：(假定w ,w关于w对称)1 2 nI (w /w )2 = 1 -2匚 w -w Aw(w )2 = 1 土2匚 n{ 1 n Rn©=T 1 =1,2 I (w /w )2 = 1 + 2匚 2w 2w2 n n n=一 xg1.11 地震响应 mx + cx + kx = -mx n x + 2qw x +w 2x r r r g r n r n单将mx(t) = ft0自P由度体系的弹性地震反应计算 上 T -X (t)代入杜哈美积分， gP(1) . / 、」e-4” (t-)sm ①(t -T )di m® dd当设体系的初始条件为零x = 0,X = 0时，地震作用下的解为0 0 1 tx(t) = - Jt X (t)e-口”(t-t) sin® (t-t)dT ® 0 g d 上式对时间t 一次和二次求导 可得速度和加速度：X (t) = Jt0I ®X (t )e-3” (t-t )1 ” sin ® (t -t ) 一 cos® (t -t )g I ® d dd n&d丿=J - cXdx = J - cX2dt = J - c[®A cos(①t - a )]2 dt =―兀①cA2 =兀® cA2=硕 cA2nmX(t) = ft01.9.2 等效粘性阻尼W稳态响应中粘性阻尼在振动一周内作功 W = 阻尼主要在共振区内起作用T W非粘性阻尼力在振动一周内作功W ” D 其等效阻尼系数： Dc = W / 兀® A2eq D n m等效阻尼比：匚=C /c = W /2兀kA2eq eq c D mx (t )e-迥(t-t)11 一 g dl一 cX(t)sin ①(t 一t ) + cos ①'(t 一t ) >dT — X (t)d结构阻尼：W = W =KgA2 n c = g /® 工=g /2kD g m eq n eq干摩擦阻尼：W = W = 4yNA n c = 4yN /兀® A ;匚=2yN /兀kAD F m eq n m eq m。
