数学建模试卷及答案

《数学模型》试卷一、基本问题本大题共2小题，每小题20分，共40分）1．在七项全能中对于跳高运动的记分点方法由下式给出：其中是跳的高度（按cm计）求跳的高度为183cm的记分点，并确定积分1000点需要跳的高度2．铁匠用直条铁做蹄铁，把直条铁弯成通常铁蹄的形状为求得铁条需要的长度，要测量蹄的宽度（W英寸），并用下列形式的公式：求得需要的条长度（L英寸）试用下列数据求的和的估计值并得出该公式的估计式宽W（英寸） 长L（英寸）6.50 12.005.75 13.50二、渔场捕捞问题本大题共3小问，每小问20分满分共60分三、在渔场中捕鱼，从长远利益而言，通常希望既使渔场中鱼量保持不变，又能达到最大的捕获量假设：（1）在无捕捞的情况下，鱼量的变化符合Logistic模型：，其中：为固有增长率，是渔场资源条件下最大鱼量；（2）在捕捞的情况下，设单位时间的捕捞量与渔场中的鱼量成正比1．建立在有捕捞的情况下，渔场的产量模型；2．研究该模型鱼量的稳定性；3．找出该模型下适合的捕捞量《数学建模》考试卷（答案）一、1．解：把代入记分公式，得 = （=1016.5） 由公式，有，解得公式： 把代入上式，得 （=106.7+75.0=181.7） 2．解：把两组数据和分别代入公式 得方程组： 解得： 所以的估计值为：。

从而得回归方程为：二、解：1．记时刻渔场中的鱼量为，渔场资源条件所限制的最大量，鱼的固有增长率为，单位时间的捕捞量为，其中为捕捞率（表示单位时间内的捕捞量与渔场中鱼总量之比）可以人为控制 于是，在有捕捞的情况下，满足产量模型为： （1） 2．在渔场中的鱼量保持稳定性，是我们关心的问题由常微分方程稳定性判断的知识，不需具体求解方程（1），只需讨论由方程（1）所确定的平衡点的稳定性即可为此： 令：，可解得方程的两个平衡点为： （2） 由 （3） 把和分别代入（3）式，得： ，，则，当时，有： ， 所以，此时是稳定的平衡点，而是不稳定的平衡点，且无实际意义 因此，是捕鱼所必须遵循的条件即捕捞率必须小于渔场中鱼量的固有增长率，才能保证在渔场中鱼量稳定。

3．如何控制捕捞率，使在保证渔场中鱼量稳定的条件下，获得最大的捕捞量，即为适合的捕捞量这即是求函数 （4） 在条件 （5） 下的极大值 由式（5）得： （6） （6）代入（4）得： （7） 在式（7）中，由得 由式（7）： （8） 于是，，所以是式（4）条件下式（3）的极大值此时， （9） （10） 又，，所以是稳定的平衡点。

由此可得结论：当控制捕捞率时，就可获得最大的捕捞量，而且又能保持渔场中鱼量稳定（即稳定在最大鱼量的一半）。