直线过定点问题

直线过定点问题:取特殊值法给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于x,y的两个方程，从中解出x,y即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即可例1求直线(m+1)x+(m-1)y-2=0所通过的定点P的坐标解令m=-1，可得y=-1;令m=1，可得x=1将(1，-1)点代入原方程得(m+1)•+(m-1)(-1)-2=0成立，所以该定点P为(1,-1)由"pyo=k(x-xo)"求定点把含有参数的直线方程改写成y-yo=k(x-xo)的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点(xo,yo)例2已知(k+1)x-(k-1)y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线I必过定点，并求出这个定点的坐标证明由已知直线I的方程得(k+1)x=(k-1)y+2k■'■(k+1)x-k=(k-1)y+k(k+1)x-k-1=(k-1)y+k-1(k+1)x-(k+1)=(k-1)y+(k-1)即因此当k^l时，直线I的方程为直线的点斜式y-yo=k(x-xo)的当k=1时，原直线I的方程为x=1综上所述，不论k取任何实数值时，直线I必过定点M(1,-1)方程思想若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。

例3若2a-3b=1(a,b€R)，求证：直线ax+by=5必过定点解由已知得ax+by=5(2a-3b)，即a(x-10)+b(y-15)=0无论a,b为何值上式均成立，所以a,b的系数同时为0直线系观点过定点的直线系A1X+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示通过两直线I1:A1X+B1y+C1=0与I2:A2X+B2y+C2=0交点的直线系，而这交点即为直线系所通过的定点例4求证对任意的实数m，直线(m-1)x+2(m-1)y=m-5必过定点解原式可整理为(x+2y-1)m-(x+y-5)=0。