等差、等比数列的性质总结

等差、等比数列的性质总结 - 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：an?an?1?d〔d为常数〕〔n?2〕； 2．等差数列通项公式： an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d? 3．等差中项 〔1〕假如a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am； n?m2A?a?b 〔2〕等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 4．等差数列的前n项和公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222〔其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0〕 特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n?1-2n?1-a1?a2n?1-2?2n?1?an?1〔项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项〕 5．等差数列的断定方法 〔1〕 定义法：假设an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ?〔2〕 等差中项：数列?an?是等差数列?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b〔其中k,b是常数〕。

〔4〕数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,〔其中A、B是常数〕 6．等差数列的证明方法 定义法：假设an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ? 7.提醒： 〔1〕等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为根本元素只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2 〔2〕设项技巧： ①一般可设通项an?a1?(n?1)d ②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?〔公差为d〕； ③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?〔注意；公差为2d〕 8..等差数列的性质： 〔1〕当公差d?0时， 等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d； 前n和Sn?na1?为0. 〔2〕假设公差d?0，那么为递增等差数列，假设公差d?0，那么为递减等差数列，假设公差d?0，那么为常数列 〔3〕当m?n?p?q时,那么有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，那么有n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项222am?an?2ap. 注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2--， 〔4〕假设?an?、?bn?为等差数列，那么-an?b?，-1an-2bn?都为等差数列 (5) 假设{an}是等差数列，那么Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列 〔6〕数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,-?)仍为等差数列 〔7〕设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和 1.当项数为偶数2n时， *S奇?a1?a3?a5--?a2n?1?n?a1?a2n?1-nan 2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6--?a2n-nan?1 2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd S奇nana-n S偶nan?1an?1 2、当项数为奇数2n?1时，那么 ?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1-S奇?(n?1)an+1-? -S奇?S偶?an+1S偶n-?S偶?nan+1?〔其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项〕． 〔8〕?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且那么 An?f(n)， Bnan(2n?1)anA2n?1-?f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1〔9〕等差数列{an}的前n项和Sm?n，前m项和Sn?m，那么前m+n项和Sm?n-?m?n? (10)求Sn的最值 法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N。

法二：〔1〕“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 即当a1?0，d?0， 由?*?an?0可得Sn到达最大值时的n值． ?an?1?0 〔2〕 “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和 ?an?0即 当a1?0，d?0， 由?可得Sn到达最小值时的n值． a?0?n?1或求?an?中正负分界项 法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值〔或最小值〕假设S p = S q那么其对称轴为n?p?q 2 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： ①根本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程； ②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 等比数列性质 1. 等比数列的定义：2. 通项公式： an?q?q?0-n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?， 首项：a1；公比：q qn?m推广：an?amqn?m， 从而得q3. 等比中项 ?aan或q?n?mn amam2〔1〕假如a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?ab或A-ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔两个等比中项互为相反数〕 〔2〕数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q?1时， Sn?na1 (2) 当q?1时，Sn?a1?1?qn?1?q?a1?anq 1?q?5. 等比数列的断定方法 a1a?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'〔A,B,A',B'为常数〕 1?q1?q〔1〕用定义：对任意的n,都有an?1?qan或列 an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数an 〔2〕 等比中项：an2?an?1an?1〔an?1an?1?0〕?{an}为等比数列 〔3〕 通项公式：an?A?Bn?A?B?0-{an}为等比数列 nn〔4〕 前n项和公式：Sn?A?A?B或Sn?A'B?A'A,B,A',B'为常数?{an}为等比数列 6. 等比数列的证明方法 根据定义：假设-an?q?q?0-n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17. 注意 〔1〕等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为根本元素。

只要这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2 〔2〕为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an?a1qn?1 如奇数个数成等差，可设为?，示〕； aa,,a,aq,aq2?〔公比为q，中间项用a表2qq8. 等比数列的性质 (1) 当q?1时 ①等比数列通项公式an?a1q函数，底数为公比q n?1?a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类指数q②前n项和Sn?a1?1?qn?1?qa1?a1qna1a系数和-1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，1?q1?q1?q常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q (2) 对任何m,n?N*,在等比数列{an}中,有an?amqn?m,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性 (3) 假设m+n=s+t (m, n, s, t?N*),那么an?am?as?at.特别的,当n+m=2k时,得an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2-? ak(4) 列{an},{bn}为等比数列,那么数列{},{k?an},{ank},{k?an?bn}{n} (k为非零常bnan数) 均为等比数列. (5) 数列{an}为等比数列,每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,-?)仍为等比数列 (6) 假如{an}是各项均为正数的等比数列,那么数列{logaan}是等差数列 (7) 假设{an}为等比数列,那么数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,-?，成等比数列 (8) 假设{an}为等比数列,那么数列a1?a2--?an, an?1?an?2--?a2n, a2n?1?a2n?2---a3n成等比数列 (9) ①当q?1时， ②当0