电大《经济数学基础》考试小抄(完整版电大小抄)中央电大专科考试小抄

经济数学基础积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若= 2，则k =（ A ）． A．1 B．-1 C．0 D． 3．下列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 4．若，则=（　D ）.　　A. 　 B. 　C. D. 5. （ B ）． A． B． C． D． 6. 若，则f (x) =（ C ）． A． B．- C． D．- 7. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B )． A． B．C． D． 8．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A． B． C． D． 9．下列无穷积分中收敛的是（ C ）． A． B． C． D．10．设(q)=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是（ B ）． A．-550 B．-350 C．350 D．以上都不对 11．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A． B． C． D． 12．微分方程的阶是（　C ）.A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 113．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 3）的曲线为（ C ）．A． B． C． D． 14．下列函数中，（ C ）是的原函数．A．- B． C． D． 15．下列等式不成立的是（ D ）． A． B． C． D． 16．若，则=（　D ）.A. 　 B. 　C. 　　 D. 17. （ B ）． A．B． C． D． 18. 若，则f (x) =（ C ）．A． B．- C． D．- 19. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( B )． A． B．C． D． 20．下列定积分中积分值为0的是（ A ）． A． B． C． D． 21．下列无穷积分中收敛的是（ C ）． A． B． C． D． 22．下列微分方程中，（ D ）是线性微分方程． A． B． C． D． 23．微分方程的阶是（　C ）.A. 4　　 　B. 3　 C. 2　　 　D. 124.设函数，则该函数是（ A ）.A. 奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数25. 若，则( A )．A. 　 B. C. 　　 D. 26. 曲线在处的切线方程为( A ). A． B． C． D． 27. 若的一个原函数是, 则=（　D）．　 　A．　　　　　B． C．　　 　D． 28. 若, 则（ C ）. A. B. C. D. 二、填空题1． ． 2．函数的原函数是-cos2x + c (c 是任意常数) ．　　3．若，则　　.　　4．若，则= .　　5．　0　　. 6． 0　 ．7．无穷积分是 收敛的 ．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + ．　　9. 是　 2 阶微分方程. 10．微分方程的通解是 ．11．12．。

答案：13．函数f (x) = sin2x的原函数是 ．14．若，则　. 答案：15．若，则= . 答案：16．　　　　　　. 答案：017． ．答案：018．无穷积分是 ．答案：1 19. 是　　 阶微分方程. 答案：二阶20．微分方程的通解是 ．答案： 21. 函数的定义域是(-2,-1)U(-1,2]．22. 若，则　4 　．23. 已知，则=　27+27 ln3　　　　　　　．24. 若函数在的邻域内有定义，且则　1　．.25. 若, 则　　-1/2　　　．． (三) 判断题11. . ( )12. 若函数在点连续，则一定在点处可微. ( ) 13. 已知，则= （ √ ）14. . （ ）. 15. 无穷限积分是发散的. ( √ 三、计算题⒈ ⒈ 解 2． 2．解 3． 3．解 4． 4．解 = =5． 5．解 == = 6． 6．解 7． 7．解 === 8．8．解 =-==9． 9．解法一 = =＝=1 解法二 令，则 =10．求微分方程满足初始条件的特解．10．解 因为 ， 用公式 由 ， 得 所以，特解为 11．求微分方程满足初始条件的特解．11．解 将方程分离变量： 等式两端积分得 将初始条件代入，得 ，c = 所以，特解为： 12．求微分方程满足 的特解. 12．解：方程两端乘以，得 即 两边求积分，得 通解为： 由，得 所以，满足初始条件的特解为： 13．求微分方程 的通解．13．解 将原方程分离变量 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14．求微分方程的通解.14. 解 将原方程化为：，它是一阶线性微分方程， ，用公式 15．求微分方程的通解． 15．解 在微分方程中，由通解公式 16．求微分方程的通解． 16．解：因为，，由通解公式得 = = = 17． 解 = = 18． 解： 19．解：= 20． 解： =（答案： 21． 解： 22． 解 =23． 24. 25．26．设，求 27. 设，求. 28．设是由方程确定的隐函数,求.29．设是由方程确定的隐函数,求.30. 31.32. 33.34.35. 36. 37. 四、应用题 1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 == 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小. 2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 2．解 因为边际利润 =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元. 3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 4．解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 5．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 5．解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 6．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 == 100（万元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.7．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 = 当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18即 C(x)= 又平均成本函数为 令 ， 解得x = 3 (百台)该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 8．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：已知(x)=8x(万元/百台)，(x)=100-2x，则令，解出唯一驻点 由该题实际意义可知，x = 10为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为10百台时利润最大. 从利润最大时的产量再生产2百台，利润的改变量为（万元）即利润将减少20万元. 9．设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 = 14 – 2x 令，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 8。