求变力做功的几种方法
求变力做功的几种措施 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功状况，对于变力做功的计算则没有一种固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下：一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简朴 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点迈进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于TT在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在变化，因此该问题是变力做功的问题但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的状况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功而拉力F的大小和方向都不变，因此F做的功可以用公式W=FScosa直接计算由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为：二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线提成无限个小元段，每一小元段可觉得恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边沿上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A 0焦耳 B 20π焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳 分析：把圆周提成无限个小元段，每个小元段可觉得与力在同始终线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故B对的三、平均力法 如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）替代变力，运用功的定义式求功 例3、一辆汽车质量为105公斤，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍其牵引力的大小与车迈进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力当车迈进100米时，牵引力做的功是多少？ 分析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故迈进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功由题意可知f0＝0.05×105×10N＝5×104N,所此迈进100米过程中的平均牵引力 ＝N＝1×105N, ∴W＝S＝1×105×100J＝1×107J。
四、图象法 如果力F随位移的变化关系明确，始末位置清晰，可在平面直角坐标系内画出F—x图象，图象下方与坐标轴所围的“面积”即表达功 例如：对于例3除可用平均力法计算外也可用图象法由F=103x+f0可知，当x变化时，F也随着变化，故本题是属于变力做功问题，下面用图象求解牵引力体现式为F=103x+0.5×105，其函数体现图象如图3根据F-x图象所围的面积表达牵引力所做的功，故牵引力所做的功等于梯形OABD的“面积” 因此 五、能量转化法求变力做功 功是能量转化的量度，已知外力做功状况可计算能量的转化，同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量变化的角度求功 1、用动能定理求变力做功 动能定理的内容是：外力对物体所做的功等于物体动能的增量它的体现式是W外=ΔEK，W外可以理解成所有外力做功的代数和，如果我们所研究的多种力中，只有一种力是变力，其他的都是恒力，并且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象自身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功 例4、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。
求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功 分析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求根据动能定理可知：W外=0， 因此mgR-umg-WAB=0 即WAB=mgR-umg=1×10×0.8-×1×10×3=6(J)2、用机械能守恒定律求变力做功 如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解 例5、如图5所示，质量m为2公斤的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功 分析：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增长，且弹力做的功的数值与弹性势能的增长量相等取B所在水平面为零参照面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参照点，则状态A： EA= mgh+mv02/2 对状态B： EB=－W弹簧+0 由机械能守恒定律得： W弹簧=－（mgh+mv02/2）=－125（J）。
3、用功能原理求变力做功 功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（不涉及重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一种变力做功，且其他力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功 例6、质量为2公斤的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条所有被提起时拉力F所做的功 分析：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求当链条刚被所有提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为： ΔE=mg L/2=2×10×1=20（J） 根据功能原理力F所做的功为：W=20J 4、用公式W=Pt求变力做功 例7、质量为4000公斤的汽车，由静止开始以恒定的功率迈进，它经100/3秒的时间迈进425米，这时候它达到最大速度15米/秒假设汽车在迈进中所受阻力不变，求阻力为多大 分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增长，因此牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值。
汽车所受的阻力不变，牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算由于汽车的功率恒定，汽车功率可用P=Fv求，速度最大时牵引力和阻力相等，故P=Fvm=fvm，因此汽车的牵引力做的功为W汽车=Pt=fvmt根据动能定理有： W汽车—fs=mvm2/2，即fvmt－fs= mvm2/2 代入数值解得： f=6000N变力做功的问题是一教学难点，在上述实例中，从不同的角度、用不同的措施论述了求解变力做功的问题．在教学中，通过对变力做功问题的归类讨论，有助于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力，有助于培养学生的发明性思维，开阔学生解题的思路．课后训练题1、如图所示，质量为2ｋｇ的物体从Ａ点沿半径为Ｒ的粗糙半球内表面以10ｍ／ｓ的速度开始下滑，达到Ｂ点时的速度变为2ｍ／ｓ，求物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力所做的功是多少?2、一条长链的长度为ａ，置于足够高的光滑桌面上，如图所示．链的下垂部分长度为ｂ，并由静止开始从桌上滑下，问：当链的最后一节离开桌面时，链的速度及在这一过程中重力所做的功为多少? 3、如图所示，一人用定滑轮吊起一种质量为Ｍ的物体，绳子每单位长的质量为ρ，试求人将物体从地面吊起高度为Ｌ的过程中所做的最小功．4、质量为5×105ｋｇ的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的0．06倍，机车通过5ｍｉｎ速度达到最大值108ｋｍ／ｈ，求机车的功率和机车在这段时间内所做的功．5、用锤子把铁钉打入木块中，设每次打击锤子时给铁钉的动能相似，铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比．如果钉子第一次被打入木块的深度为2ｃｍ，求第二次打入的深度和需要几次打击才干将铁钉打入4ｃｍ深处．6、将一根水平放置在地面上的长为6ｍ、质量为200ｋｇ的粗细均匀的金属棒竖立起来，至少要做多少功（设所施加的力始终垂直于棒）?课后训练题解答1、分析 物体由Ａ滑到Ｂ的过程中，受重力Ｇ、弹力Ｎ和摩擦力ｆ三个力的作用，因而有 ｆ＝μＮ， Ｎ－ｍｇｃｏｓθ＝ｍｖ2／Ｒ，即 Ｎ＝ｍ（ｖ2／Ｒ）＋ｍｇｃｏｓθ．式中μ为动摩擦因素，ｖ为物体在某点的速度．分析上式可知，在物体由Ａ到Ｃ运动的过程中，θ由大到变小，ｃｏｓθ变大，因而Ｎ变大，ｆ也变大． 在物体由Ｃ到Ｂ运动的过程中，θ由小到变大，ｃｏｓθ变小，因而Ｎ变小，ｆ也变小． 由以上可知，物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，摩擦力ｆ是变力，是变力做功问题． 解 根据动能定理有 Ｗ外＝ΔＥｋ． 在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中，弹力N不做功；重力在物体由Ａ运动到Ｃ的过程中对物体所做的正功与物体从Ｃ运动到Ｂ的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零．因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由Ａ运动到Ｂ的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量．则有 Ｗ外＝Ｗｆ＝ΔＥｋ，即 Ｗｆ＝（1／2）ｍｖＢ2－（1／2）ｍｖＡ2＝（（1／2）×2×22－（1／2）×2×102）＝－96Ｊ．式中负号表达摩擦力对物体做负功．可见，如果所研究的物体同步受几种力的作用，而这几种力中只有一种力是变力，其他均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类措施解决问题是行之有效的．2、分析 长链在下落过程中，下垂部分不断增长，因此，该部分的质量也在不断增大，即这部分所受的重力是变力，整个长链的运动也是在该变力作用下的运动，是变力做功问题．图2 解 取桌面为零势能面，设整个链条质量为ｍ，桌面高度为ｈ，下垂部分质量为ｍ０．则有 ｍ０／ｍ＝ｂ／ａ，ｍ０＝（ｂ／ａ）ｍ， 开始下滑时链条的初动能Ｅｋ1＝0， 初势能Ｅｐ1＝－ｍ０ｇ·（ｂ／2）＝－ｍｇ·（ｂ2／2ａ）， 机械能Ｅ1＝Ｅｋ1＋Ｅｐ1＝－（ｂ2／2ａ）ｍｇ． 设链条所有离开桌面的瞬时速度为ｖ，此时链条的势能Ｅｐ2＝－（ａ／2）ｍｇ， 动能Ｅｋ2＝（1／2）ｍｖ2， 机械能Ｅ2＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ， 根据机械能守恒定律有Ｅ1＝Ｅ2，即 －（ｂ2／2ａ）ｍｇ＝（1／2）ｍｖ2－（ａ／2）ｍｇ，解得 ｖ＝． 因此，在这一过程中重力所做的功为 ＷＧ＝ΔＥｋ＝（1／2）ｍｖ2－0＝（ｍｇ／2ａ）（ａ2－ｂ2）．3、分析 假定物体被匀速吊起，人将物体从地面吊起的过程中，人的拉力可表达为 Ｔ＝Ｍｇ＋ρｘｇ，式中ｘ为竖直方向绳的余长．当物体上升时，绳的余长ｘ减小，Ｔ减小，因而Ｔ为变力，故本题属变力做功问题． 解 设绳的重量全面集中在它的重心上，物体升高高度为Ｌ时，绳的重心上升Ｌ／2，则系统机械能的增量为 ΔＥ＝ΔＥ1＋ΔＥ2 ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2，式中ΔＥ1、ΔＥ2分别为物体和绳的机械能增量． 由功能原理知，人的拉力所做的功为 Ｗ＝ΔＥ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｋ1＋ΔＥｐ2＋ΔＥｋ2， 当ΔＥｋ1＝ΔＥｋ2＝0时，即缓慢提高物体时Ｗ最小，即 Ｗｍｉｎ＝ΔＥｐ1＋ΔＥｐ2 ＝ＭｇＬ＋（Ｌ／2）ρＬｇ＝［Ｍ＋（1／2）ρＬ］ｇＬ． 可见，在波及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较以便．4、分析 因机车的功率恒定，当机车从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等．在这段时间内机车所受阻力可觉得是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓａ来求解，但可用公式Ｗ＝Ｐｔ来计算． 解 根据题意，机车所受阻力ｆ＝ｋｍｇ，当机车速度达到最大值时，机车功率为 Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝ｆｖｍａｘ＝ｋｍｇｖｍａｘ ＝0．06×5×105×10×（108×103／3600） ＝9×106Ｗ． 根据Ｐ＝Ｗｔ，该时间内阻力做功为 Ｗｆ＝Ｐ／ｔ＝9×106／300＝3×104Ｊ． 根据动能定理Ｗ外＝ΔＥｋ得牵引力做功 ＷＦ＝ΔＥｋ＋Ｗｆ ＝（1／2）ｍｖｍａｘ2＋Ｗｆ ＝（1／2）×5×105×302＋3×104 ＝2．25×108Ｊ．5、分析 铁钉进入木块所受的阻力ｆ跟铁钉进入木块的深度ｘ之间的关系为ｆ＝ｋｘ，由此可知，阻力是一种变力．铁钉得到锤子予以的动能后，克服木块对它的阻力做功的问题，是一种变力做功的问题． 解 （1）根据题意做出ｆ－ｘ关系图线如图4所示．图4 第一次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ1等于图4中三角形ＡＯＣ的面积的值． 设第二次打击时铁钉被打入的深度为ｘ0，第二次打击时铁钉克服阻力所做的功Ｗ2等于图4中梯形ＡＢＤＣ的面积的值． 因ｆ＝ｋｘ，由图可得 ＝2ｋ，＝（2＋ｘ0）ｋ，则 Ｗ1＝（1／2）·＝（1／2）×2ｋ×2＝2ｋ， Ｗ2＝（（＋）／2）×＝（（2ｋ＋（2＋ｘ0）ｋ）／2）×ｘ0 ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2， 因每次打击时给铁钉的动能相等，故 Ｗ1＝Ｗ2，则 2ｋ＝（ｋｘ02＋4ｋｘ0）／2，解得 ｘ0＝2（－1）ｃｍ． （2）设打击ｎ次可将铁钉打入4ｃｍ深处，此时克服阻力做功为Ｗ3，即图4中三角形ＯＥＦ的面积的值． 由图可知，当ｘ＝4ｃｍ时，＝4ｋ，则 Ｗ3＝（1／2）·· ＝（1／2）×4×4ｋ＝8ｋ． 每次打击时克服阻力做功（即给铁钉的动能）为Ｗ1＝2ｋ，因此 ｎ＝Ｗ3／Ｗ1＝8ｋ／2ｋ＝4次． 一种看似复杂的变力做功问题，通过图象变换，使得解题过程简朴、明了．6、分析 如图5所示，用一始终垂直于棒的力将棒的一端匀速提起，由于力的方向和大小时刻在发生变化，因而也不能直接用公式Ｗ＝Ｆｓ来求解，但如果能求出变力Ｆ在棒竖起的过程中的平均值，就可用Ｗ＝ｓ来求解这一变力做功的问题．图5 解 如图5所示，在棒转动到与地面成θ角时，以Ｂ为转轴，可列力矩平衡方程 ＦＬ＝Ｇ（Ｌ／2）ｃｏｓθ，即Ｆ＝（1／2）ｍｇｃｏｓθ， 由数学知识可知，当θ由0°到90°的变化过程中，Ｆ的平均值为 ＝（2／π）Ｆｍａｘ＝（2／π）·（1／2）ｍｇ＝（1／π）ｍｇ， 因此，变力Ｆ所做的功为 Ｗ＝ｓ＝（1／π）ｍｇ·（1／4）（2πＬ）＝（1／2）×200×10×6＝6×103Ｊ． 。
