新教材2021-2022学年人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数课时检测

第四章指数函数与对数函数1、n次方根 12、分数指数累、无理数指数幕 53、指数函数的概念 104、指数函数的图象和性质 145、指数函数及其性质的应用（习题课） 196、对数的概念 257、对数的运算 298、对数函数的概念 339、对数函数的图象和性质 3810、对数函数的图象和性质的应用（习题课） 4411、不同函数增长的差异 5012、函数的零点与方程的解 5713、用二分法求方程的近似解 6314、函数模型的应用 69章末检测 771、n次方根1 .下列各式正确的是（）A2 （-3） 2=—3 B.y^=aC.笹=2 D.丁（-2） 3=2解析:选 C 由于年（-3） 2=3,毎5=同,yf （—2） 3=-2,故 A、B、D 错误.2 .化简（x+3） 2-y] （x-3）’得（ ）A. 6 B. 2xC. 6 或ー2x D. 6 或 2x 或ー2x解析:选C 原式= |x+3|—（x—3）（当—3时,原式=6;当イ<—3时, 原式= -2x,故选C.3 .（多选）若や=a（xW0, n>\, nGN ）,则下列说法中正确的是（ ）A.当〃为奇数时,x的〃次方根为aB,当〃为奇数时,a的〃次方根为xC,当〃为偶数时,イ的〃次方根为土aD.当〃为偶数时,a的〃次方根为ix解析:选BD 当〃为奇数时,a的〃次方根只有1个,为X;当〃为偶数时, 由于（とザ=ゼ=。

所以a的〃次方根有2个,为±x.所以B、D说法是正确的, 故选B、D.4 .若 n0, .••原式=—（〃/+〃）一（Z〃ー〃）=—2〃!.5 .式子ヘ闩可化简为（）A、一a B.yfa6 .若81的平方根为a, - 8的立方根为ん 则a+b=.解析:因为81的平方根为±9,所以a=±9.因为一8的立方根为ー2,所以b=-2, 所以 a+b= — li 或 a+b=l.答案：一 11或77 .有下列说法："125=5；②^/§7 = ±3；③ y[~（x+y） 2=|x+y|.其中,正确的有（填序号）.解析：〃为奇数时,负数的〃次方根是ー个负数,2125 = -5,故①错误;ホ81 =3,故②错误;ヽ（x+y） 2是非负数,故J"（x+y） 2 =は+y|,故③正确. 答案:③8 .若 Vf+2x+1+W+6y+9=0,则(f02i»=.解析:因为・^Jji2+2A•+1+q1+6y+9=0,所以 ぐ (x+1) 2+ ヽ(y + 3)2 =ほ+“+レ + 3| = 〇,所以ス=一1, y=-3.所以(メ位ケ=[(—l)2021]-3 = (— 1尸=—1.答案:一 19 .求下列各式的值:(1)マ(-2)フ;(2)ヤ(3a-3) ”(后1)；(3)シ3 + す(1—a) 士解:⑴/(―2)2.(2)V：.yj (3a-3) 5=|3a-3| = 3|a-l|=3-3a.3l 4/ fl,。

< 1,(3)而+V (1—a) ^=a+\l—a\=][2 1, a>\.10 .已知v/?vO, n>\, 化简で"（ーh）"+§"（〃+〃）解:Va0),则デ+护=( )A. 0inし.2m-2D.学2'tn.15.设 al—a2=m.则皆等于（）A. zn2—2B. 2ー〃?C,加2+2D. m2解析:选C将a2—a 2=/n两边平方,得I1 n2=〃厂,解析:选B ボ+が=m +份（。

2 ー姉+"）=（〇 十 〇）［（〇 +か2 _ 3a力］=即 a—2+a,=〃！2,所以〃ー1=m2+2,即“+ラ=评+2,所以す=涼+2.6.计算:（一9.6）一ヌ+1.5解析:原式=1 一27,41：~~2= 1-3X2-2=1——3,3'-2=1.答案:1答案:1ンハ11〃―38 .如果 a=3, b=384,那么 a (―J71 =3[(128)7]n-3=3X2n-3.答案:3X2»-39 .化简下列各式:(2)(2a3M)( - 6a23ド(一 3a606)；(a>0, Z?>0).2di ,⑶一fa '.謳0, x^y92 (y—x) , x0时,/(x)=x2，+a—1,若/(—1)=ス，则a等于()A. -3 B. —2D. 0解析:选A •.•ズー 1）=不.,如）=ーズー 1）= ー不 即2け"一 1 = ース,即1 +〃=-2, 得 a= -3.12 .设a, £是方程5ゼ+10ズ+1=0的两个根,则2" • 2"=, (2°)解析:由根与系数的关系得a+4=-2, a 8=g.. 1贝リ 2° • 2°=2"4=2セ=不(2°ゾ=2 a 0=25.答案:4 2513 .已知あ"+"=2-2, a，，r=28（a>0,且aWl）,则ゴホ"的值为解析:因为,a2m+n=22グ厂”=28,所以①X②得a3»,=26,所以am=22.将グ"=22代入②,得22・相”=28,所以グ=2-6, 所以 ・グ=（メッ4 .グ= @2）4X2-6 = 22 = 4.答案:4グ+a x14 . （2021•安徽庐巣六校联盟髙一段考）已知函数/（x）=-2-3>°，a为常数,xGR).(1)若大m)=6,求ズ一m)的值;(2)若ズ1)=3,求ズ2),的值.a~m+am=6, .\/(ー加)= 2 =6.5 a"'+a~m解:(1)•.ズ加)=6,，―2—(2)V/1)=3, .\—2—=3,.,.。

小=6,.,-/2)=-a2 *+a 2 (a+，り2 — 2 =17.丄 !a2+a 2 = 2啦,丄 1\'(a2+a~ 2)2(1~%) 4， 4,~x ギ 4=a+a-|+2=8,1 _1a2+a _2__ 厂2 V 2.15.已知函数/(め=H万.⑴求バ3)+八一 2)的值;(2)求j(x) +ズ1 一幻的值.2 4解:(1)娟+23 23_2+ 42+23 2+2311 231 -+ T23+1 1+23バ 3)+大ー2)= 2+2し+2 + 2-4 2 + 26 + 25+126 2(2求幻+次1 _幻=2W/2+26「26+22 4v+22+4X,4、+2 2+4N「3、指数函数的概念1 .下列函数中,指数函数的个数为()①y=(；) ; (2)y=ar(a>0,且 aWl);③ドニド;④y=(J —1.A. 0个 B. 1个C. 3个 D. 4个解析:选B 由指数函数的定义可判定,只有②正确.a • 2X9 ス20,2.已知函数於)={ ' '若然ー 1))=1,则a=()12 工,x<0,A.； B.gC. 1 D. 2解析:选A根据题意可得バー l)=2i=2,•••心—D)=7(2) = 022= 1,解得。

故选 A.3.若指数函数y=/(x)的图象过点(2, 4),则大3)的值为( )A. 4 B. 8C. 16 D. 1解析:选B 设指数函数的解析式为ズス)=炉(4>0, aチ1),又由函数的图象 经过点(2, 4).则メ=4,解得a=2或一2(舍),即/(x)=2t所以/(3)=2コ= 8(故选B.4.已知心)=出+ar(a>0,且aWl),且ズ1) = 3,则ズ0)+ズ1)+ズ2)的值是( )A. 14 B. 13C. 12 D. 11解析:选 C 由/(ス)=ぴ+つ得7(0) = a°+a°=2.又/(1)=3,即 a+a '=3, •,.(a+a，2=a2+2+a ?=9, d^~\~ci ~=7,即バ 2)=7.因此,7(0)+/( 1)4-7(2)=2+34-7=12,故选 C.5 .(多选)设指数函数段)=砥>0,且aWl),则下列等式中正确的是()A. j(x+y)=j(x)J(y)f (x)B-かつ)=777Tc.娘二%)ー叔D. _Anx)=[Ax)]"("GQ)解析:选ABDズス+历=び+>=优3=/3貝y),故A中的等式正确;J(x-y) グ f (x) (x\ - ]=ペ二>'=び。

つ=示=/(、,),故B中的等式正确;化尸の=(グ)y,バx)-/W)=炉 1ーイキ(优)7,故C中的等式错误;次?优)=ザ=(グ)"=巩创",故D中的等式正确.6 .若函数/0)=(経ー2a+2)(a+l尸是指数函数,则a2—2a+2= 1,解析:由指数函数的定义得｛1>0, し+lWl,解得a=l.答案：17 .已知函数/(イ)=グ+伙a>0,且aWl),其图象经过点(- 1, 5), (0, 4),则 ズー 2)的值为.伍-i+b=5, ス, "V解析:由已知得)+ム=4 解得’2所以た)=Gノ+3,所以ズー2)=(0 +3=4+3 = 7.答案:78 .由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机 的价格降低;,则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为.解析:5年后价格为8 100x11—'； 10年后价格为8 100X0 ーザ;15年后价格为 8 100x(1ービ=2 400(元).答案:2 400兀9 .某生态文明小镇2018年底人口为20万人,人均住房面积为8 m2,计划 2022年底人均住房达到10 n?,如果该镇将每年人口平均增长率控制在1%,那 么要实现上述计划,这个城市平均每年至少要新增住房多少万平方米?(精确到1 万平方米)解:设这个城市平均每年要新增住房x万n?,据题意可得 20X8+4x=20(l + l%)4 • 10,所以 x=50X 1.0ドー40ル 12.所以这个城市平均每年至少需新增住房!2万m2.10 .已知函数/(イ)=(。

2+ー5)グ是指数函数.(1)求/(x)的表达式;(2)判断F(x)=/(x)—/(一x)的奇偶性,并加以证明.解:(1)由巒+ー5=1, fl>0.且 aWl,可得a=2或a=—3(舍去)，."(尤)=2*.(2)尸(イ)=2'—2ノ，F(—x)=-F(x), .,.Rx)是奇函数.11 .池塘里浮萍的生长速度极快,它覆盖池塘的面积，每天可增加原来的ー 倍.若一个池塘在第30天时刚好被浮萍盖满,则浮萍覆盖池塘一半的面积是 ()A.第15天 B.第20天C.第25天 D.第29天解析:选D 因为浮萍覆盖池塘的面积,每天可增加原来的一倍,且第30 天时刚好被浮萍盖满,所以可知第29天时刚好覆盖池塘的一半.故选D.12 .已知函数ズ处=(句,a为常数,且函数的图象过点(- 1, 2),则a= ,若 g(x)=4r—2,且 g(x)=/(x),则ス=.解析:因为函数的图象过点(- 1, 2),所以(チ)=2，所以1，所以/(x)=(ザ,g(x)=/(x)可变形为 4r-2"—2=0,解得2一,=2,所以ス=一1答案:1 一 113 .已知函数/(X)满足:对任意实数XI l).答案:y=2%底数大于1的指数函数即可)14 .有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率 为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现 有两种砍伐方案:甲方案：栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案：栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次.请计算后回答:10年内哪ー个方案可以得到较多的木材?解：设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为yi=a(l + 20%)5(1 +10%)5=a( 1.2 X1.1)5*4.01 a.乙方案在10年后的木材产量为”=2a( 1 + 20%)5=2a♦ 1 でて 4.98a.Va>0, .•.4.98a>4.01a,即”〉yi,.•.乙方案能获得更多的木材.、“マ小 -口 / (1) 1 f (2) 1 ハ〃)15 .已知函数 y=/(x), xGR,且・〇)=3,； (〇)"=な)マ1)..•ソ(“二い =白,〃 GN*,求函数y=/(x)的ー个解析式.解：当ス增加1时函数值都以］的袤减率衰减, 所以函数/(x)为指数型函数,令/(x)=aQ)(たWO),又/(0)=3,所以ん=3,4、指数函数的图象和性质1 .函数於)=茎^的定义域为()A. [-1, 0)U(0, +°o)B. (-1, +0°)C. [-1, +0°)D. (0, +8)解析:选A依题意得，ン+120,2X— 1W0,卜ユ 一 1, 即〈xヰ。

故函数«x)的定义域为［- 1, 0)U(0, 4-0°)r故选A.丄2 .已知>0且aWl,则函数y=の:的值域为( )A. (0, +8) B. (一8, 1)U(1, +8)C. (0, 1)U(1, 4-°°) D. (1, 4-°°)解析:选C 设，=チ,则y=d,其中rWO. ,.丁 WO, .•.メ手メ,即"チ1,又1">0,二»>0且yWl,即函数メ=の:的值域为(0, 1)U(1, 4-°°),故选C.3 .在同一坐标系中,函数y=ox+a与ッ=ゴ的图象大致是()解析：选B 函数,y=ox+a的图象经过(一1, 〇)和(0, a)两点,选项D错误;在图A中,由指数函数ぎ=び的图象得a>l,由y=の?+a的图象得0l,由y=ac+a的图象得a>l, 选项B正确;在图C中,由指数函数ぎ=を的图象得0<<1,由y=の:+a的图 象得a>\,选项C错误.故选B.4 .(多选)下列说法正确的是()A.函数y=3N与的图象关于y轴对称B.函数y=3X与y=0『的图象关于x轴对称C.函数y=3X与ヅ=一e)”的图象关于原点对称D.函数y=3X与ぎ=-3X的图象关于x轴对称解析:选ACD 易知函数y = °r与y = (1)エ。

］的图象关于y轴对称,且函数y=グ与y=—グ的图象关于x轴对称,所以函数y=o•，与y=—(チ)的图象关 于原点对称,所以B说法错误.5 . (2021•湖南衡阳ハ中高一月考)设a, b, c, d均大于〇,且均不等于1, y =出,y=か,y=グ,y=が在同一坐标系中的图象如图,则a, h, c, d的大小顺 序为()A. a\,则g(x)=t/+b为 增函数,当x=0时,g(0)=l+〃>0,故选C.7 .函数y=a「3+3(a>o,且会1)的图象过定点.解析:因为指数函数y=け、(a>0,且aWl)的图象过定点(0, 1),所以在函数 y=o1rイ+3中,令x—3=0,得x=3,此时y=l+3=4,即函数y=a「3+3的图 象过定点(3, 4).答案:(3, 4)(2X x<08 .若函数ズx)= … ハ则函数ズx)的值域是 .1一2 x>0,解析：由 xVO,得 OV2'V1； Vx>0, -x<0, 0<2-Jf0且yW1}.(2)由5x— 120得X2ラ,所以函数定义域为レエふセ］.由小x— 1 20得1, 所以函数值域为{y|y21}.10.已知函数;(x)=〃ーi(イ20)的图象经过点(2,ラ),其中。

>0且a#l.(1)求a的值;⑵求函数y=/U）（x 2 0）的值域.解:（1）函数图象经过点（2, 2所以メー|=ラ,则a=g.⑵由（1）知函数为危）=(x20),由 x20,得 x— 12一1.于是 0〈Q)ミe）=2，所以函数的值域为（0, 2].11. （2021 •广东珠海髙一月考）已知函数バス）满足ズx+1）的定义域是[〇, 31）, 则ズジ）的定义域是（）A. [1, 32） B. [-1, 30）C. [0, 5） D. （-8, 30]解析:选 C '.ソ"+1）的定义域是[〇, 31）,即 0Wx<31,，lWx+l<32, Z. 火x）的定义域是[1, 32）,，バジ）有意义必须满足2°= 1 く2y32=25, .•.〇

>0, aWl).(1)若"r)的图象如图所示,求のb的值;(2)在(1)的条件下,作出g(x) = |/U)|的草图;(3)在(2)的条件下,若方程g(x)—〃2=0有一个实数根,写出" z的取值范围.解:(1)由图可得:ズ0)=1+ム=一2,且/(2)=/+ム=°,解得:小,b=(2)g(x)=仪尤)|图象如图所示:(3)若方程g(x)一加=0有一个实数根,则g(x)的图象与直线ぎ=m只有一个交点,由(2)中函数图象可得m=0或かユ3.15 .设ズ幻=3ゝ g(x)=(g) .(1)在同一平面直角坐标系中作出ZU), g(x)的图象;(2)计算大1)与g(—1),バn)与g(—n),ズm)与g(一6)的值,从中你能得到什 么结论?解:(1)函数/(x), g(尤)的图象如图所示:ズ兀）=3", g（一 n）=g） =3":“「相ズm)=3両,g(-nz)=|j丿=3从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等, 即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.5、指数函数及其性质的应用(习题课)1 .若函数ズx)=(l - 2a尸在实数集R上是减函数，则实数。

的取值范围是A.e +8C."り D(-1, I)解析:选B 由已知,得〇<1 — 2a<1,解得0c>a B. b>a>cC. a>b>c D. c>b>a解析:选 A a=^/03 = 0.3°-5.•.ソ(©=0.3X在R上单调递减, /. 0.305<0.3° 2<0.3°=>a2°=1, ：.a0,且W1),若/(2)=4,则( )A.ズー2)»- 1) B.ズー1)次-2)C.大一2)次2) D,ズー4)43)解析:选AD 由7(2)=屋2=4得,即/U) = g)国=2叫故ズー2)》(一1),ズ-2)=バ2),バー4)=バ4)次3),所以A、D正确.4 .(多选)若バx)=3，+l,则( )A.バx)在[- 1, 1]上单调递增B. y=3x+1与メ=(;了+1的图象关于y轴对称C.バx)的图象过点(0, 1)D.バx)的值域为ロ, +«=)解析:选ABバx)=3，+l在R上单调递增,则A正确;y=3x+1与y=3-JC + 1的图象关于y轴对称,则B正确;由バ0)=2,得バx)的图象过点(0, 2),则 C错误;由3》>0,可得バx)>l,则D错误.故选A、B.5.若函数バx)=/2xF(a>o,且。

W1)满足ハ1)=：,则パx)的单调递减区间是 ()A. (一8, 2] B. [2, +00)C. [-2, +°°) D. (一8, -2]解析:选B由ハ1)=1,得/=1,于是a=《,/n|2x—4|因此危）=团令，=|2x—4］,所以//⑺=（g）为减函数.因为g（x）=|2x—4|在［2, +8）上单调递增,所以ズズ）的单调递减区间是［2, + 8）•故选B.6.不等式23一次<0.53尸4的解集为.解析:原不等式可化为23ーム<24-3因为函数y=2r是R上的增函数,所以 3~2x<4—3x,解得 x0,且aWl）的图象经过A（l, 6）,以2, 18）两点.若不等式（ダ+（牙ー后〇在XW（-8, 口上恒成立,则实数”［的最大值为解析:由已知可得ba=6,b/= 18,。

3, b=2,则不等式住）+（；）ー在xG（—8, 口上恒成立,设g（x）=（|） +（；）—m,显然函数g(x)=住)+e)ー加在(一8, 1]上单调递减, 2 1 7.•.g(x)2g(l)=w+5一 加=ぷ一 加,故％一〃z20,即〃，《不,.•.实数〃7的最大值为と答案號9 .已知函数於)=ぴ(a>0,且aWl)的图象经过点(2, 4).(1)求a的值;⑵若寻+セか一し求ス的取值范围.解:⑴=")=炉(a>0,且aWl)的图象经过点Q, 4), .•.02=4,又a>0,且 ナ 1 ,・' 4 = 2.(2)由(1)得2,由身+|<ズ「1,代入2,可得22x+i<23li,由指数函数的 单调性可知2x+l<3x-l,解得x>2,即x的取值范围是(2, +°0).10 .设OWxく2, y=4x—[―3-2*+5,试求该函数的最值.解:令 f=2" 00W2,，lWfW4.则 ^=2^-|-3-2^+5=!?-3/+5.配方得 y=；(L3)2+T，fG[l, 4],.,.y=1(r-3)2+1, fG[l, 3]上是减函数;tG[3, 4]上是增函数，...当 t=3 时,ymin = 2：当 t=i 时,ymax = 2.故函数的最大值为],最小值为11 .若不等式2?+1く(｝了 的解集是函数y=2X的定义域,则函数ぎ=2、B・苗,2D. ［2, +00)解析:选B由ボ+1 く即バ+lW —2x+4,解得一 3Wx《l,所以函数y=2T的定义域为［- 3, 1］,由于函数y=2、在R上单调递增,故当x=-3时取得最小值d,当x=l时取得最大值2,所以函数的值域为1，2 .故选B.12.已知a>0,设函数バ无）=2 01 夕+1+32 09+1（xG ［—a, a］）的最大值为AL最小值为N,那么"+N=( )B. 2 022A. 2 025C. 2 020D. 2019解析:选Bズス）=2 019v+l+2 019-2 0162 09+1= 2 01920161+2 019”•*«y(-x)=2 0192016 2016X2019-因此/(x)+バー x)( 1 , 2 019' ゝ=4 038-2 016し +2 019x+2 019-+ J=4 038-2 016=2 022.又/(x)在［一a, a］上是增函数,M+N=J(a) +;(- a)=2 022,故选 B./n-M+i13 .函数y=(う 的单调递增区间为;奇偶性为(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).解析:设〃=—|x| +1.则ぎ=（ス）.易知〃=—|x|+1的单调递减区间为［〇, + °°）, 是减函数,・••尸ザ・的单调递增区间为［0, +°°).A)是偶函数.答案:［0, +8)偶函数14 .已知定义在R上的偶函数T(x)满足:当x20时,/(x)=2*+1川)=2.(1)求实数。

的值;(2)用定义法证明大幻在(0, +8)上是增函数;(3)求函数んO在［一 1, 2］上的值域.解:(1)由题意得ズ1)=2+5=ラ,• '1.(2)证明:由(1)知1,，段)=2叶/ 任取 xi, X2G(0, +°o),且处"，回)一段2)=1ハ|+エ丿一戸2+エ=(2xi - 2x2)+ 7 — = (2x1 -2xi • 2x2(2xi +X2~~1)ム2) 2xi +X2 .• 01 ,• V/Ul)-/(X2)0 且 g(x)恒过(0, 1)点.写出ー个符合题意的函数g(x),并说明理由.3 3 1 3 1_解:(1)由题意知:/0)-22X^/2X2-2 = 20-22 X 22 X 2-2=l-22+2 ~2=1 —2°=0.(2)满足题意的函数g(x)=2*.理由如下:①因为/1(イ)=2，+2ー。

所以人(一幻=21+2-(ーめ=2-*+2'=/1(イ)，所以//(ズ)=2，+2七为偶函数.② h(x)=2ゝ+2七 2 2マ2、X 2二=2笹)=2而=2,当且仅当2ゝ=2ノ,即x=0时等号成立,③g(x)=2»〇, g(x)恒过(0, 1)点.6、对数的概念1 .(多选)下列指数式与对数式互化正确的有()A. e°=l 与 In 1 =01B. Iog39=2 与 应=3_1 J 1 ]C. 8 3二,与 log85=_?D. Iog77=l 与 7i = 7解析:选ACD log39=2化为指数式为32=9,故B错误,A、C、D正确.2 .方程210gM=(的解是()A -! ロ ー亚A. x一0 B. x一 3D. x=9C. x=小解析:选 A V21og3X=2-2, /.log3X=-2,3,在い=log3a-1(3—2〃)中,实数的取值范围是( )'J,加你+8)(3a—1>0, 解析:选B 要使式子log3a-i(3—2a)有意义,则< 3a—1W1,解得 、3—2a>0,”23 ,或ヌ<〃く/,故选B.4.若 10g3(k)g2X)=l,则 X 2 —( )A3 B. 士。

壷 »志解析:选 C V log3 (10g2X)=l, /. 10g2X= 3,.・ベ=23 = 8,则X—ラ=キ=志.5.若10g32=x,则3，+3的值为( )A. 6 B. 3C.| D.；解析:选A 由log32=x得3*=2,因此タ=(3ザ=4,所以3*+ジ=2+4=6, 故选A.6 .已知函数y=〃ー2+3(a>o且qWi)的图象恒过定点p,点尸在黑函数ぎ= バx)的图象上,贝(HogV(3)=.解析:函数ぎ=がーユ+3中,令イ—2=0,解得x=2, 此时y= 1+3=4,所以定点尸(2, 4).设默函数 y=Kx)=/(aWO),则 2°=4,解得 a=2,所以;(处二%2,所以7(3)=32=9, 所以 log矶3)=log39=2.答案:27 .已知log”=m, loga3=〃,贝リイせ2"等于.解析:Vlog«^=nz, log,3=〃,.'.am=^, a"=3.1 Q故 am+2n=am . (an')2=2^-32=2-答案：28 .使方程(lgx)2—lgx=0的イ的值为.解析：由 lgx(lgx-1)=0 得 Igx=0 或 lgx=l,即 x=l 或 x=10.答案：1或109 .求下列各式中的x的值:(l)logr27=2；2(2)logtr= T；(3)log5(log2X)=0；(4)x=log27g.3 3 2解:(1)由 log<27=7,得x2=27, .'.x=273 = 3~=9.2 --(2)由 log2%=—得 2 3=x,.__!__茲• »X一 一 0 , 謳(3)由 log5(log2X)= 0,得 log2X= 1.，え=2.(4)由X=log2吋,得27』看,即 33a=3-2,则 3x=-2,,ー 2..x 3.10.⑴证明:对数恒等式alog”N=Ma>0，且。

ナ1，№>0);ハ、ー1 + logo.5 3+log23 2—log39⑵求5 4和2 +3 的值.解:(1)证明:由a〈=N得x=logaN,把后者代入前者得alog“N=N.rn-l+logo.5 "ヽー1 /j\logi4⑵ 0 4=团・は, 2 =2X4=8.32 923+log23 + 32-log39=23X 210g23+8 X 3 +§=25.3 &11 . (2021 •江苏海安高ー月考)设x=log32,则32ス_； 2X的值为( )A 21 _ 21Aib B- -W「17 へ 13し.]0 リ.]0解析:选 A Vx=log32, ：.3X=2, 32x=4, 33-v=8.33x-3-3x 8-8 21 „,,32t-3-2x="—T=TU,故选 A'4ーn12 .已知人2叶1)=テ则バ4)=( )A，3log25 B，3log23「2 4c，3 d，3解析:选 B 令 2*+1=4,得 イ=log23,所以7(4)=glog23. w13 .若 loglx=",logly=m+2,则ス的值为 .2 4 》门丫麓 、nゝ2机解析:,Ilogp=〃2,・ン0ノ=x, x2=^2j.2“丫"+2 加+4Vlog_[y=m+2, ：.\^） =y, y=\^j ^4（1ゝ2加x2 ⑸ 加一（2机+4） （1ヽー4,・父小2/+4=G丿 =し丿=16答案:16314.已知 log2（log3（logM）） = 0,且 log4（log2y）=1.求屮•ジ的值.解:V Iog2（log3（log4x））=0, /.Iog3（log4x）= 1 , log4X=3, ...x=43=64.由 Iog4（log2y）= 1,知 log2y=4, .,.y=24= 16.3 3因此小, y4=V64X 164=8X8=64.15.已知log疝=logwz（a>0,且aWl； b>0,且bWl）.试探究a与b的关系, 并给出证明.解:a=わ或a=1.证明如下:テ殳 }Ogab = \0ghCl= k,则ハ=か,a=bk,所以い=（が）"=儿2,因为な>0,且/?W1,所以ピ=1,即ん=±1.当k= — !时,ラ=1;当た=1时,a=b.所以a = b或a=].7、对数的运算1 .化简ラlog612—210g6啦的结果为（）A. 672C. log6-\/3B. 12^2D. 2解析:选 C 原式= log6，H —Iog62 = k>g6毛-=log6小.2 .已知a, b, c是△ABC的三边,且关于x的二次方程メー2x+lg（/一け） -21g a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是（）A.锐角三角形 B,直角三角形C.等边三角形 D.钝角三角形解析:选 B 由题意知/=0,即（一2）2—4[lg（tr—tr） — 21g a+ 1 ] = 0,化简得 21g q-lglc2ーわ2）=0, 所以!gズ二戸=0,所以千=1，所以ノ+〃=/，故 △A3C是直角三角形.3 . 1g讳ー23g + lg間等于（）A. Ig2 B. Ig3C. Ig4 D. Ig5解析:选A 1gnー21g §+lgプ=怆慌.所X譜= lg2.故选A.4.计算(Iog32 + log23)2ー體!ー器!的值为()A. log?6 B. Iog36C. 2 D. 1解析:选 C 原式= (log32)2+21og32Xlog23 + (log23)2 —(log32)2 —(Iog23)2 = 2.5.已知Iga, Igb是方程ル-4x+l=0的两个根,则(1g3的值是( )A. 1 B. 2C. 3 D.4解析:选 B 由题意得 lg a+lg b=2, 1g a • lg 6=1,则(1 点)=(lg lg b)2 =(lg a+lg b)2—41g a • 1g /?=22—4x1=2.6 .若 1ogab Tog3a=4,则 b 的值为 .解析:logめ• log3a一]g 〇 .]g 3一 ]g 3-4,所以 1gわ=41g3=lg3セ 所以 い=34=81.答案:817 .化简:k)g3；+log3=+k>g34H Hog3所=.解析:原式= log3(jX§XwX …xW = log3时=一4.答案：一48 .已知 2，=3, logc=y,则 x+2y 的值为.解析:由 2*=3 得 x= log23,c, 88 2I°823x+2y=log23+210g4§=log23 —~^= log23+(3log22-log23)=3.答案：3_39 . (2021 •安徽安庆髙一月考)(1)计算:log23 —log《ー(為 4； 2(2)已知电5=。

怆7=ん 试用a, b表示log2849.ヽー3 3解:(l)log23—loglg—(靑)^ = log23+(log28—Iog23)—164=3—8 = -5. 2ei 一 整 49 21g 7 辿 2b(2)log2849-lg28~21g2+lg7~2 (l-lg5) +h~2~2a+b,10 . (2021•河北唐山一中高一月考)已知 log“3 = m, log“2 = 〃(a>0,且 aWl).(1)求グ"十ユ"的值;(2)若 04<1, x+x 1 =a,且 m+〃=log32+1,求 x2—x ユ的值.解:(1)由 log“3=m, loga2=〃 得メ"=3,グ1=2,因此ク"+2"=グ"・/"=3*22=12.(2)・・・〃z+〃=k)g32+1, log«3 + log«2=log6/6=log?6,即 a=3,因此 ズ+エ「=3.于是(x-スーり2=(ス+スー1)2—4=5,由0

则下列各数中与那最接近的是（参考数据:1g 3-0.48)( )A. 1033 B. 1053C. IO73 D. IO93解析:选 D 由已知得,lg^=lgM-|gN7361Xlg3 — 80X|g 107361X0.48 - 80=93.28=lg 1〇9328.故与日最接近的是1〇93.12 .（多选）实数a,万满足25〃=10,则下列关系不正确的有（）Aa+b=lB2+:=2a bDa+b=22 1__2__ 1a b~~ log210 + k)g510解析:选 BCD a=log210, b=log510,5+3=試而+詰而=怆 2+lg 5= 1, 故A正确.= lg4 + lg5 = lg 20*2,故 B 不正确.卄ア氤+前而=怆2+他25 = lg 5D不正确•故选B、C、 D.13 .已知a>0,の〇,且a+b=20,则lg a+lg b的最大值为.解析:•.7>（）, b>0, a+b=20, ：.20=a+b^2y[ab,当且仅当 a=b=10 时, 等号成立,即 abWlOO,而 lga+lgb=lgab〈lg 100=2,当且仅当 a=6=10 时, 等号成立，故lg a+lg。

的最大值为2.答案:214 .在不考虑空气阻カ的情况下,火箭的最大速度单位:m/s）和燃料的质 量用（单位:kg）,火箭（除燃料外）的质量6（单位:kg）満足ビ=[1+屹] （e为 自然对数的底数,In 3ル1.099）.当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量,〃的两倍时,求火箭的最大速度（单位:m/s）.2 000解:因为0=11111+加）=2 000-111^1+^）,所以 0=2 OOO4n372 000X 1.099 = 2 198（m/s）.故当燃料质量M为火箭质量n/的两倍时,火箭的最大速度为2 198 m/s.15 .已知ス, y, z为正数,且3'=4^=6Z.⑴求使2x=py成立的p的值;⑵求证:于ー解:⑴设 3*=4、'=6;:=&（显然た>0 且たエ1）,则 x=log3た,y=log4&, z=log6%,由 2x=py 得 210g3%=plog4Z=p•器!，因为 log3えホ〇,所以 〃 = 41og32.（2）证明:1ー康一康=1跳6—log«3=log立=タ8心=康=ま.8、对数函数的概念1 .函数段）=由一x+lg（x+l）的定义域为（）A. [-1, 3） B. （-1, 3）C. （-1, 3] D. [一 1, 3]3—x20,解析：选C 根据题意,得イ（ 解得一 14く3, [x+l>0,.•.函数ズx）的定义域为（- 1, 3].2 .（多选）下列函数表达式中,是对数函数的有（ ）A. y=log*x B. y=log y]zxC. y=1。

8涼 D. y=log2（x+l）解析：选AB 判断ー个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y =k）g“x”的形式，A、B正确.3.下列函数中,与函数y=x相等的是（）A. y=（y[x）2 B.C. y=21og2% D. y=k）g22”解析:选D 因为y=log22セ的定义域为R,且根据对数恒等式知y=x.4. （2021・湖北荆门高ー月考）函数ズx）=（/+5>log,ス为对数函数,则イ， 等于（）A. 3 B. -3C. - log?6 D. — logs8解析:选B ••・函数/（x） = （屋+ー5）k）gメ为对数函数,ー 5 = 1,・・.く>0, 解得〃=2, =log2X,、ナ 1,••./ミ）= log2、=-3.故选 B.5.函数段）=47-lgイ的定义域为（0, 10],则实数的值为（ ）A. 0 B. 10C. 1 D.正解析:选C 由已知,得a-lgx20的解集为（0, 10],由a-lgx20,得Igx Wa,又当04く 10时,IgxWl,所以a=l.故选C.6 .若/（x）=log«x+（a2—4a—5）是对数函数,则解析:由对数函数的定义可知,{a2—4a—5=0, a>0, a乎 1,解得 a=5.答案:57 .已知函数Z（无）= 10g3X,则方程[/（x）]2 = 2 — log9（3x）的解集是.解析:由已知得（10g3X）2 = 2 —log9（3x）,（log 犹）2 = 2 —；iog3（3x） = 2 —1（log33 + log3X）,（log3X）2 +|log3X—1= 0,令 r=log3X,则方程可化为产+キ一う=0,解得r=l或•=—す,•'•x=3 或f：.方程ホ尤)]2=2—Iog9(3x)的解集是13,專;答案:’3,明8 .某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x 万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=21ogバー2,某业务员要得到 5万元奖励,则他的销售额应为 万元.解析:由题意得5=21ogイー2,即 7 = logiv,得 x=l28.答案:1289 .求下列函数的定义域:ハ、 五一4⑴。