概率统计龚王习题解答随机变量及其分布

1概率统计第二章习题选解概率统计第二章习题选解2 口袋中有口袋中有7 7只白球、只白球、3 3只黑球，每次从中任只黑球，每次从中任取一个，如果取出黑球则不放回，而另外放入一只取一个，如果取出黑球则不放回，而另外放入一只白球，求首次取出白球时的取球次数白球，求首次取出白球时的取球次数X的分布律的分布律P64P64 2 2、解解,7.0)1(XP,24.08.03.0)2(XP,054.09.02.03.0)3(XP.006.011.02.03.0)4(XPXP12340.70.240.0540.006所以所以X的分布律为的分布律为3 一批产品共有一批产品共有100100件，其中件，其中1010件是次品，从件是次品，从中任取中任取5 5件产品进行检验，如果件产品进行检验，如果5 5件都是正品，则这件都是正品，则这批产品被接收，否则不接收这批产品，求（批产品被接收，否则不接收这批产品，求（1 1）5 5件件产品中次品数产品中次品数X的分布律；（的分布律；（2 2）不接收这批产品的）不接收这批产品的概率P P6464 4 4、解解(1)(1)5,4,3,2,1,0,)(510059010 kCCCkXPkk51005901)0(1CCXP (2)(2)4 设一个试验只有两种结果：成功或失败，设一个试验只有两种结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为且每次试验成功的概率为 ，现反复试，现反复试验，直到获得验，直到获得k次成功为止。

以次成功为止以X表示试验停止时一表示试验停止时一共进行的试验次数，求共进行的试验次数，求X的分布律的分布律)10(ppP P6464 6 6、解解 )(nXP 1 n次试验，其中成功次试验，其中成功 次次1 k称称巴斯卡分布巴斯卡分布 ,1,)1(11 kknppCknkkn5 一个工人同时看管一个工人同时看管5 5部机器，在一小时内每部机器，在一小时内每部机器需要照看的概率是部机器需要照看的概率是 ，求（，求（1 1）在一小时内）在一小时内没有没有1 1部机器需要照看的概率；（部机器需要照看的概率；（2 2）在一小时内至）在一小时内至少有少有4 4部机器需要照看的概率部机器需要照看的概率3/1P P6464 8 8、解解(1)(1)(2)(2),)31,5(BX;24332)311()0(5 XP.24311)31(32)31()4(5445 CXP6 某产品的不合格率为某产品的不合格率为0.10.1，每次随机抽取，每次随机抽取1010件进行检验，若发现有不合格品，就去调整设备若件进行检验，若发现有不合格品，就去调整设备若检验员每天检验检验员每天检验4 4次，试求每天调整次数的分布律。

次，试求每天调整次数的分布律P P6464 10 10、解解,6513.09.0110 p.0.6513),4(BX7设随机变量设随机变量 X 服从泊松分布，且已知服从泊松分布，且已知)2()1(XPXP，求，求)4(XPP P6464 12 12、解解,1,0,e!)(kkkXPk ,e!2)2(e!1)1(21 XPXP,2 24e!42)4(XP2e32 所以所以.09.0 8 假设某电话总机每分钟接到的呼唤次数服从假设某电话总机每分钟接到的呼唤次数服从参数为参数为5 5的泊松分布，求（的泊松分布，求（1 1）某分钟内恰好接到）某分钟内恰好接到6 6次呼次呼唤的概率；（唤的概率；（2 2）某分钟内接到的呼唤次数多于）某分钟内接到的呼唤次数多于4 4次的次的概率P P6464 13 13、解解(1)(1)56e!65)6(XP.1462.0 405e!51)4(kkkXP.5595.0(2)(2)(见见P197P197表表)9设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 P65P65 15 15、解解 31318.0114.010)(xxxxxF试求试求X的分布律的分布律XP-1130.40.40.210设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 P P6565 16 16、解解 111000)(2xxxxxF试试求求)5.0(XP，)25.01(XP。

)5.0(XP)5.0(F,41)25.01(XP)1()25.0(FF0161 .161 11设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为 P P6565 17 17、解解 000e)(22xxbaxFx求求(1)(1)常数常数a和和b；(2)(2)随机变量随机变量X的密度函数的密度函数1)(1);1)(aF因因为为)(xF 在在0 x处处连连续续，所以所以0)0()(lim0 FbaxFx.1 b(2)(2)000e)()(22xxxxFxfx 000e1)(22xxxFx12设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为 P P6565 19 19、解解 其它其它033)9()(2xxAxf(1)(1)求求（1）常常数数 A；（2）)0(XP，)2(XP，)11(XP；（3）分分布布函函数数)(xF2)(2)xxfd)(332d)9(xxA 302d)9(2xxA,136 A.361 A)0(XP 032d)9(361xx21 13)2(XP 322d)9(361xx272)11(XP 102d)9(181xx.2713(2)(2)0(XP 032d)9(361xx21 其它其它033)9(361)(2xxxf14,3 x 31331081412130)(3xxxxxxF,0)(xF所以所以(3)(3)xxxfxFd)()(,33 x xxxxF32d)9(361)(310814121xx 其它其它033)9(361)(2xxxf,3 x 332d)9(361)(xxxF1 15 城市每天用电量不超过一百万度，以城市每天用电量不超过一百万度，以X表示表示每天的耗电率每天的耗电率(即用电量除以百万度即用电量除以百万度)，它具有密度，它具有密度函数：函数：P P6565 21 21、解解 其它其它010)1(12)(2xxxxf(1)(1)(2)(2)若该城市每天供电量仅若该城市每天供电量仅8080万度，求供电量不够需要万度，求供电量不够需要的概率。

若每天的供电量上升到的概率若每天的供电量上升到9090万千瓦万千瓦.时，每天时，每天供电量不足的概率是多少？供电量不足的概率是多少？)8.0(XP 8.002d)1(121xxx;0272.062517 )9.0(XP 9.002d)1(121xxx.0037.0 16 假设某种设备的使用寿命假设某种设备的使用寿命X(年年)服从参数为服从参数为0.25的指数分布制造这种设备的厂家规定，若设备的指数分布制造这种设备的厂家规定，若设备在一年内损坏，则可以调换如果厂家每售出一台在一年内损坏，则可以调换如果厂家每售出一台设备可赢利设备可赢利100元，而调换一台设备厂家要花费元，而调换一台设备厂家要花费300元，求每台设备所获利润的分布律元，求每台设备所获利润的分布律P66P66 22 22、解解X的密度函数为的密度函数为 )1(XP 1025.0de25.0 xx1025.0ex ,2212.0e125.0 ,7788.0e)1(25.0 XP 0 ,0 0 ,e25.0)(25.0 xxxfx所以所以Y的分布律为的分布律为 XP100-2007788.02212.017 某仪器装有某仪器装有3 3个独立工作的同型号电子元件，个独立工作的同型号电子元件，其寿命其寿命X(小时小时)的密度函数为的密度函数为P P6666 24 24、解解 1000100100)(2xxxxf试求（试求（1 1）X 的分布函数；（的分布函数；（2 2）在最初的）在最初的150小时内小时内没有一个电子元件损坏的概率。

没有一个电子元件损坏的概率1)(1)xxxfxFd)()(100 ,0 100 ,d1001002xxxxx 100 ,0100 ,1001xxx18(2)(2)100 ,0100 ,1001)(xxxxF)150(XP)150(1F ,32 所以所以3个元件在最初的个元件在最初的150小时内没有一个损坏的小时内没有一个损坏的概率为概率为 278323 19 公共汽车站每隔公共汽车站每隔1010分钟有一辆汽车通过，分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的是等可能的，求乘客候车时间不乘客到达汽车站的是等可能的，求乘客候车时间不超过超过3分钟的概率分钟的概率P P6666 25 25、解解 候车时间候车时间 X 服从服从0,10上的均匀分布，所以上的均匀分布，所以 3.0)3(XP20设设)4,1(NX，（1）求求)50(XP；（2）求求)2(XP；（3）设设 c 满满足足95.0)(cXP，问问 c 至至多多为为多多少少？P P6666 26 26、解解(1)(1)50(XP)210()215()5.0()2(.6687.0)6915.01(9772.0 (2)(2)2(XP)22(1 XP)212()212(1 )5.1()5.0(1 .3753.09332.016915.01 21设设)4,1(NX，（1）求求)50(XP；（2）求求)2(XP；（3）设设 c 满满足足95.0)(cXP，问问 c 至至多多为为多多少少？P P6666 26 26、解解(3)(3)(cXP)21(1 c,95.0 05.0)21(c,)645.1(645.121 c29.2 c22某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）服从正态分布（百分制）服从正态分布),72(2 N，已知，已知 96 分以分以上的占考生总数的上的占考生总数的%3.2，试求考生的外语成绩在，试求考生的外语成绩在60 分至分至 84 分之间的概率。

分之间的概率P P6666 28 28、解解,023.0)7296(1)96(XP,977.0)24(,224 ,12 )7260()7284()8460(XP1)12(2 1)1(2 18413.02 .6826.0 23在在电电源源电电压压不不超超过过 200 伏伏、在在 200240 伏伏和和超超过过 240 伏伏三三种种情情形形下下，某某种种电电子子元元件件损损坏坏的的概概率率分分别别为为 0.1、0.001和和 0.2假假设设电电源源电电压压 X 服服从从正正态态分分布布)25,220(2N，试试求求(1)该该电电子子元元件件损损坏坏的的概概率率；(2)该该电电子子元元件件损损坏坏时时，电电源源电电压压在在 200240 伏伏的的概概率率P P6666 30 30、解解)25220200()200(XP)8.0(1 ,2119.0)25220240(1)240(XP)8.0(1 ,2119.0 1)8.0(2)240200(XP,5762.0 由全概率公式，该电子元件损坏的概率为由全概率公式，该电子元件损坏的概率为 .0641.0001.05762.02.02119.01.02119.0 (1)(1)24在在电电源源电电压压不不超超过过 200 伏伏、在在 200240 伏伏和和超超过过 240 伏伏三三种种情情形形下下，某某种种电电子子元元件件损损坏坏的的概概率率分分别别为为 0.1、0.001和和 0.2。

假假设设电电源源电电压压 X 服服从从正正态态分分布布)25,220(2N，试试求求(1)该该电电子子元元件件损损坏坏的的概概率率；(2)该该电电子子元元件件损损坏坏时时，电电源源电电压压在在 200240 伏伏的的概概率率P P6666 30 30、(2)(2)解解由贝叶斯公式，所求概率为由贝叶斯公式，所求概率为 .0090.00641.0001.05762.0 25设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 P P6666 31 31、解解XP-1 0 1 40.10.4 0.3 0.2试求试求2XY 的分布律的分布律YP0 1 160.4 0.4 0.226P P6666 32 32、解解设设随随机机变变量量 X 服服从从)2,1(U，定定义义 0101XXY试求随机变量试求随机变量Y的分布律的分布律32)0()1(XPYP31)1(YP所以所以Y 的分布律为的分布律为 YP-1 1313227设设随随机机变变量量 X服服从从)2,0(U，试试求求随随机机变变量量2XY 的的密密度度函函数数P P6666 33 33、解解当当40 y时时,)(yFYyYP 2yXP yXyP 0yXP ,2y 所以所以)()(yFyfyY ,41y 其它其它04041)(yyyfY所以所以28假假设设随随机机变变量量)1,0(NX，求求下下列列随随机机变变量量Y 的的密密度度函函数数：P P6666 35 35、解解(1)XYe；(3)|XY 。

1)(1)当当0 y时时,0)(yfY；当当0 y时时,)(yFYyYP eyPX lnyXP ,)(ln y 所以所以)(yfY)(ddyFyY yxxyx1)(ddln ,1e212)(ln21yy 于于是是XYe 的的概概率率密密度度为为 0 ,00 ,e21)(2)(ln21yyyyfyY 29假假设设随随机机变变量量)1,0(NX，求求下下列列随随机机变变量量Y 的的密密度度函函数数：P P6666 35 35、解解(1)XYe；(3)|XY 3)(3)当当0 y时时,0)(yfY；当当0 y时时,)(yFYyYP 所以所以)(yfY)(ddyFyY 于于是是|XY 的的概概率率密密度度为为 yXP ,1)(2 y1)(2dd yy,e22221y 0 ,0 0 ,e2)(221yyyfyY 30END。