平面向量期末复习

数学必修4平面向量复习一基本概念:1.向量:既有大小,又有方向的量． 数量：只有大小,没有方向的量．零向量：长度为的向量．2.单位向量：是模(长度）为1的向量，若其坐标为(x，y)，其中x，y满足x2+y2=13.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行,．4.相等向量:长度相等且方向相同的向量．5．向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a==xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标，记作a==（x,y）．二、向量运算：向量加法运算:⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：．⑷运算性质:①交换律:；②结合律：;③．⑸坐标运算:设，，则．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设,，则．设、两点的坐标分别为，，则．注意:正反思维：向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时,的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算:设，则．平面向量的数量积：1．向量的夹角：向量a和b，作=a，=b，则AOB=q(0q180)叫做向量a和b的夹角．2。

数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．坐标运算：设两个非零向量，，则．即3性质：设和都是非零向量,则①当与同向时即θ=0,； 当与反向时即θ=180,;⑶或． ③．4运算律：①；②；③．5特别注意:①向量的投影:向量b在a方向上的投影是：|b|cosq②当q为锐角时，且与不同向；当q为钝角时，且与不反向；当q=90时,③数量积不适合乘法结合律如（ab）ca（bc) (∵(ab)c与c共线，而a(bc）与a共线）．④．数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且ac=bc，并不能得到a=b．三、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．1．不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法:设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为则∴ 当四、向量的应用：（一）求长度①若，则，或②两点间的距离:若，，，（二)证垂直:向量垂直的条件：（三)向量平行(共线)的充要条件：①向量与共线即，存在唯一实数，使②三点A、B、C共线共线 （四)求向量夹角：是与的夹角，设、都是非零向量，,,则．注意：的范围:五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得.2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式1）是的重心；若是的重心,则故;为的重心。

2）是的垂心；若是（非直角三角形）的垂心，则故3）是的外心若是的外心,则故4） 是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁.如果记的单位向量为,则刚才是内心的充要条件可以写成是内心的充要条件也可以是若是的内心，则故；的内心;向量所在直线过的内心（是的角平分线所在直线);六、基础训练（1）已知，且，则向量在向量上的投影为(2）已知A（3,y），B(，2),C（6，)三点共线,则y=_________.（3）非零向量和满足：,则与的夹角等于.七、典例讲解 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行 ② 向量与垂直例2、平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2)当点Q满足1)的条件和结论时，求的值例3. 已知向量，，（1）若 求的值 （2）求的最小值3)求函数=的单调增区间八、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0),B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分别为( ）A．-7，2 B．5，2 C．-7, D．5，2、向量，满足，，则的取值范围是．3、已知,，，则．4、已知+，２－，则向量+2与2－(）A、一定共线 B、一定不共线C、仅当与共线时共线 D、仅当=时共线5、已知ABC顶点A（―1，)，B（2,3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0,0）和A(6，3）两点,若点P在直线OA上，且,又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知｜｜=|｜,，且(+）（k—），则k的值是（ ) A．1 B．-1 C．0 D．—28、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0)，A（1，2)，B(4,5),为一动点，及，(1）t为何值时，P在x轴上?P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。

10、已知，，且与的夹角为（1）求，， （2）证明：与垂直11、已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=(1，2）（1）若||=2,且‖，求的坐标（2）若｜|=，且+2与2—垂直，求与的夹角12、已知等边三角形的边长为2,⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径,（Ⅰ）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；（Ⅱ)求的最大值．平 面 向 量 A组（1）如果，是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( ）(A） (B) (C) (D） （2）在四边形中，若，则四边形的形状一定是 （ ）（A) 平行四边形 （B) 菱形 （C)矩形 （D） 正方形（3）若平行四边形的3个顶点分别是（4，2)，(5，7），（3，4）,则第4个顶点的坐标不可能是（ )（A）(12，5） （B)（—2，9) （C）（3，7） （D)(—4，—1)（4）已知正方形的边长为1，，，，则等于 ( ） （A） 0 (B） 3 (C) (D)（5）已知，，且向量，不共线，若向量与向量互相垂直，则实数 的值为 ．（6）在平行四边形ABCD中，,，O为AC与BD的交点，点M在BD上，，则向量用，表示为；用，表示为 ．（7)在长江南岸渡口处，江水以12。

5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，则航向为 ．（8）三个力,,的大小相等,且它们的合力为0，则力与的夹角为．（9）用向量方法证明:三角形的中位线定理．（10）已知平面内三点、、三点在一条直线上，，，，且,求实数,的值．B组（11）已知点、、不在同一条直线上，点为该平面上一点，且,则 （ ）（A） 点P在线段AB上 (B）点P在线段AB的反向延长线上（C） 点P在线段AB的延长线上 （D） 点P不在直线AB上（12)已知D、E、F分别是三角形ABC的边长的边BC、CA、AB的中点，且，，，则①，②，③,④中正确的等式的个数为 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D)4（13）已知向量，，则向量在方向上的投影为 ．（14)已知,，点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则向量用、表示为．（15）已知向量，,若向量与的夹角为直角，则实数的值为 ；若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．(16）已知，，，点为坐标原点，点是直线上一点，求的最小值及取得最小值时的值．平 面 向 量C 组1．下列各组平面向量中,可以作为基底的是( ）A．B．C．D．2．已知向量＝(1,2）,＝(x，－4），若∥，则（ ）A．4 B．－4 C．2 D．3．设是单位向量，且则的最小值是（ ）A． B． C． D．4．已知三点、、，则等于（ ）A．－2 B．－6C．2 D．35．已知向量,，若∥,则等于（ ）A． B． C． D．6．若向量，，，则（ ）A． B． C． D．7．与向量平行的单位向量为（ )A．B．C．或D．8．已知向量=（2，3），向量=（—4，7），则在上的投影为（ )A． B． C． D．9．已知点为的外心，且则（ ）A．2B．4C．6D．810．已知平面向量，且∥，则（ ）A．—3 B．—9C．9 D．111．已知平面向量的夹角为,（ ）A． B． C． D．12．定义：，其中为向量与的夹角，若，则等于( ）A．8 B．－8 C．8或－8 D．613．已知向量,，，若用和表示，则= ．14．向量，满足，且，,则在方向上的投影为 ．15．若非零向量，满足,且，则与的夹角为__________．16．设非零向量与的夹角是，且，则的最小值是．17．（10分)已知向量（1)求的坐标表示;（2）求的值．18．（10分)已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2,求m的值．19．（12分）在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知：＝1：2，：＝3:2,连结AQ、BP，设它们交于点R,若＝a，＝b． （1）用a与 b表示;（2）过R作RH⊥AB,垂足为H,若｜ a｜＝1, ｜b|＝2, a与 b的夹角的范围．20．（12分）设向量满足（1）求的值（2）求与夹角的正弦值．21．（12分）已知向量，,设与的夹角为．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值．22．(14分）已知向量=（3，－4），求：（1）与平行的单位向量；（2）与垂直的单位向量(3）将绕原点逆时针方向旋转45得到的向量的坐标． 6。