九章算术教师版

九章算术与高考数学创新题1.九章算术竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.1.【解析】设自上第一节竹子容量为al,则第九节容量为a9,且数列an为等差数列.a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a510d=3,3a5+9d=4,67联立解得a5=.662.九章算术是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论术比西方早一千多年，其中有这样一个问题： 今有圆材埋在壁中， 不知大小.以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）5(汪：1丈=10尺=100寸，兀=3.14sin22.5稔)A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸2.解析连接OA、OB,OD,设的半径为R,则（R1）2+52=R2,.1.R=13.D.633立方寸,_AD5，sin/AOD=AO=痴.，/AOD=22.5；即/AOB=45.一一一一一一一一一.457tx1321一，.S弓形ACB=S扇形OACB-SAOAB=-X10X12633寸.3602，该木材镶嵌在墙中的体积为V=S弓形ACBX100重33寸.选D.3.我国古代数学名著九章算术有米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A.134石B.169石C.338石D.1365石，、28,3.【解析】依题意，这批米内夹谷约为1534169石，选B.考点：用样本估计总体.2544.我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为:第一步：构造数列1,1,:,1 1，1.234n第二步：将数列的各项乘以n,得数列（记为）a1,a2,a3,，an.贝Ua1a2+a2a3+an1an等于（）A.n2B.(n-1)2C.n(n-1)D,n(n+1)nnnnnn1114.【解析】a1a2+a2a3+an-1an=12+23+2n=n27+西+(n-1)n1,1=n21一2+2一11n-1n5 .中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造种标准量器一一商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)若兀取3,其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为.6.解析由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成：(5.4-x)X3米1兀2-)2x=12.6,解得x=1.6.7 .中国古代数学名著九章算术中的用葭赴岸”是一道名题,内容为：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与齐.有边长为1丈的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为水岸齐接，问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图，记正方形水池的剖面图为部O为AB的中点，顶端为P(注芦苇与水面垂直).在牵引顶端P向水岸边中点D的过程中，当芦苇经过DF的中点E时，芦苇的顶端离水面的距离约为尺.(注：1丈=10尺，丽=24.5)6.解析设水深为x,则x2+52=(x+1)2,解得：x=12.水深12尺，芦苇长13尺，以AB所在的直线为x轴，芦苇所在的直线为y轴，建立直角坐标系，在牵引过程中，P的轨迹是以O为圆心，半径为13的圆，其方程为x2+y2=169,(-5x与512Wy13)D524E点的坐标为(5,12),，OE所在的直线万程为y=-x,、25/169X5703X24624V60124.549.则此时芦苇的顶端到水面的距离为翳-12=4f.7. 九章算术 是我国古代数学名著， 它在几何学中的研究比西方早角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖月需指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC.(1)求证：四棱锥B-A1ACC1为阳马，并判断四面体A1CBC1是否为鳖月需，若是写出各个面的直角(只写出结论).(2)若A1A=AB=2,当阳马B-A1ACC1体积最大时.求堑堵ABC-A1B1C1的体积；求C到平面A1BC1的距离.7.解(1)证明：由堑堵ABCA1B1C1的性质知：四边形A1ACC1为矩形.A1A，底面ABC,BC?平面ABC,BOXA1A,又BCAC,A1AnACA.A1A,AC?平面A1ACC1.BC平面A1ACC1,四棱锥B-A1ACC1为阳马，且四面体A1CBC1为鳖月需，四个面的直角分别是/A1CB,/A1C1C,/BCC1,(2).A1A=AB=2.由(1)知阳马B-A1ACC1的体积2114ACX=BpCXBC|(AC2+BC2)=XAB23.苴问水深葭长各几何1尺，将芦苇牵引向池岸,”意为： 今恰巧与/A1C1B.ABCD,芦苇根由联解得y=1千多年.例如堑堵指底面为直V=1S矩形A1ACC1BC=XA1AX33r”貂和图俯视阳当且仅当AC=BC=BC=小时，Vmaxg此时一,.1-堑堵ABCA1B1C1的体积V=SAABCAA1=f他9X上2.由题意与题图知，V三棱锥B-A1AC=V三棱锥BAIC1C=1V阳马B-A1ACC1=2.23又A1C1=也，BC1=RBC2+C1C2=啊设C到平面A1BC1的距离为d.则1SAA1BC1d=|.33即:p/2点d=I，d d= =后小=3出.8.我国古代数学名著九章算术中开立圆术曰:置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d16，八，V.人们还用过一.根据n=3.14159|判断， 下列近似公式中最精确的一个是些类似的近似公式33300B.d32VC.dVI IIwfIwf8.【解析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为a：b,表示出Tt,将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可.由V(d)3d设选项中的常数为-,则可知32.b6b，选项A代入得693.375，选项B代入得兀=6=3,选项C代入可知63.14,a162300611选项D代入可知3.142857,故D的值接近真实的值，故选D.219.九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需，如图2,在鳖月需PABC中,PA，平面ABC,ABBC,且AP=AC=1,过A点分别作AEPB于E、AFLPC于F,连接EF当AEF的面积最大时，tan/BPC的值是A.衣B.C.百D,乌()9.【解】显然BC平面PAB,则BCAE,又PBAE,则AE平面PBC,故AEEF,且AEPC,结合条件AFPC得PC平面AEF,所以4AEF、4PEF均为直角三角形，由已知得AF,而SAAEF211cc1c1-AE|EF-(AE2EF2)(AF)2,当且仅当AEEF时,2448取“=：所以，当AEEF工时,AEF的面积最大，此时tanBPCEFPF10.九章算术之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题,张丘建算经卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布）布, 现在一月（按30天计），共织A.B.A15C,”31390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织D,”,第一天织5尺）尺布.10.【解析】 由题可知每天的织布量构成首项是295,公差为d的等差数列，且前30项和为390.根据等3029.16差数列前n项和公式，有390305d,解得d16,故选D.22911.如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:A.1291,3,3,4,6,5,10,，记其前n项和为Sn,则S19等于（）B.172C.228D.ii.m m选D.杨辉三角形的生成过程，n为偶数时,283n4ann为奇数时,n3a1=1.a3=3,an+2=an+an-1=an+,21010.a3-a2=2,/2n1n4na5-a3=3,anan-2=,an=.S19=a1+a3+aQ9+a4+a18=(1+3+6+)56(3+4+5+1=220+63=283.,12.公元前3世纪,古希腊欧几里得在几何原本里提出:球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即VkD3,欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式VkD3中的常数k称为立圆率”或玉积率”.类似地,对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式VkD3求体积（在等边圆柱中，D表木底面圆的直径；在正方体中，D表布棱长）.球 （直彳仝为a）、 等边圆柱（底面圆的直径为a）、假设运用此体积公式求得正方体（棱长为a）的积率”分别为、k2、k3，那么ki*2*3(111A-/46B.一:24C.2:3:D.一:一:112.【解析】选D.1ViR3V2R2ak1一:1。

4考点：类比推理k13.ak3/殖入“1,N13 .图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法.的值为（）A.0B.11C.22D.8814.【解析】第一次循环：m121,n88;第二次循环：m88,n33;第三次循环：m33,n22；第四次循环：m22,n11;第五次循环：m11,n0;结束循环，输出m11,选B.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MJNQ,M，N,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割M,N,下列选项中不可能成立的是（）A.M没有最大元素，N有一个最小元素B.M没有最大元素，N也没有最小元素C.M有一个最大元素，N有一个最小元素D.M有一个最大元素，N没有最小元素14.【解析】设Mxx10,XQ,NXX10,XQ,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；MXXJ2,XQ,NXXJ2,XQ,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；MXX10,XQ,NXX10,XQ,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C.【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来.本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素.15. （2013?湖北）我国古代数学名著数书九章中有天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）15.【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.因为积水深9寸，所以水面半径为二（14+8）=10寸.则盆中水的体积为工五乂9（6之+102十&乂1。

588n（立方寸）.31所以则平地降雨量等于5S33（寸）.兀XI必16. 2002年在北京召开的数学大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如若输入m209,n121,则输出的m果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的角为那么cos2的值为；16.【解析】:大正方形面积为25,小正方形面积为1,大正方形边长为5,小正方形的边长为1.5cos-5sin0,=1.cos-Sin0=15，两边平方得：1-sin20/251,，sin20/=24.是直角三角形中较小的锐角，0兀/4,02兀/2.1cos2sin22=.2517.“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列an中，a11,a21an2an1an(nN)贝Ua7表不).a2014a2015所以数列an的前2015项和是m1.18.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表.其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=（弦矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中眩”指圆弧所对弦长，矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.3（1）计算弧田的实际面积；（2）按照九章算术中弧田面积的经验公式计算所得结果与（平方米？（结果保留两位小数）18.【解析】（1）扇形半径尸=3=3名,2分扇形面积等于工3 3，二1 1乂竺乂0#0#厂二5分223一 r-12元2727枢八弧田面积=缈一一尸玉也=9丹-（m2）7分2234;若a?。

m,则数列an的前2015项和是(用m17.【解析】a1,a21,a3a2a1112,a4a3a2213,a5a4a3325,a6a5a4a6a58513；a4a3a2,a5a4a3,a6a5a4,a?a6a；a2015a201422013,a2016a2015a2014,a2017a2016a2015,累加得a2017a2a1a2a31）中计算的弧田实际面积相差多少（2）圆心到弦的距离等于,所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得22弦矢+矢2）=纳竽4彳，1分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.19.（215高考湖北卷）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖月需.在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD,点E是PC的中点，连接DE,BD,BE.（I）证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖月需，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（n）记阳马PABCD体积为V,四面体EBCD的体积为V2,求V1的值.V219.【解析】（I）因为PD底面ABCD,所以PDBC.由底面ABCD为长方形，有BCCD,而PDP|CDD,所以BC平面PCD.DE平面PCD,所以BCDE,又因为PDCD,点E是PC的中点，所以DEPC.而PC。

BCC,所以DE平面PBC.由BC平面PCD,DE平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖月需，其四个面的直角分另是BCD,BCE,DEC,DEB.11（n）由已知，PD是阳马PABCD的局，所以V11SABCDPD1BCCDPD;由（I）知，DE是33鳖月需DBCE的高，BCCE,所以V21SBCEDE1BCCEDE.在RtPDC中，因为361_2V-BCCDPDPDCD,点E是PC的中点，所以DECE-CD,于是32V21BCCEDE620 .请阅读下列材料，杨辉三角”（126年）是中国古代重要的数学成就，它比西方的帕斯卡三角”（165穿）早了300多年（如表1）.在杨辉三角”的基础上德国数学家莱布尼兹发现了口下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形（如表2）9*竿竽一弓=5道侬*1.52平方米12分2CDPD,4.CEDE(I)记Sn为表1中第n行各个数字之和，求S4,S7,并归纳出Sn；(II)根据表2前5行的规律依次写出第6行的数.纯解二U)=2*S-64=252小11I1 1I1(ID表中每个数字韶是其两脚的数字而，故第白行为石而而而而|日分21.根据我国古代数学名著 九章算术 中的更相减损术”求99,36的最大公约数的操作步骤为：(99,36)一(63,36)一(27,36)一(27,9)一(18,9)一(9,9),那么99,36的最大公约数为()A.36B.27C.18D.921.解：99-36=63,63-36=27,36-27=9,27-9=18,18-9=9.99,36的最大公约数为9.，故选D.点评：更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止.22.用辗转相除法求1995与228的最大公约数为；把154(6)化二进制数为.22.【解析】19952288“|l71,2281711|()57,171573|0,所以最大公约数为57一2_1_0154(6)16564670,化为二进制为100011023 .用辗转相除法求459与357的最大公约数，并用更相减损术检验24.【解析】(1)用辗转相除法求459和357的最大公约数：因为459=3571+102357=1023+51102=512所以459和357的最大公约数是51(2)(1)中方法用更相减损术验证：因为459-357=102357-102=255255-102=153153-102=51102-51=51所以459和357的最大公约数是51.24.用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+2x3-8x+5在x=2时的值.24.【解析】f(x)=3x5+2x3-8x+5=(3x+0)x+2)x+0)x-8)x+5当x=2时，1111211311 146 641 11 15101051 1表回答下列问题：j_1 111XX_L_L36T1 1I I1I1I4 4121241IIII12030205表2v0=3,v1=3X2=6v2=6X2+2=14v3=14X2=28v4=28X2-8=48,v5=48X2+5=101所以，当x=2时，多项式的值是101.。