定积分的概念与性质课件

经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质复习导入复习导入不定积分定积分概念概念性质性质 计算计算 应用应用经济数学经济数学经济数学经济数学第第5章定积分及其应用章定积分及其应用 第第5章章 定积分及其应用定积分及其应用5.2 微积分基本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4 广义积分5.5定积分的应用5.1 定积分的概念与性质经济数学经济数学经济数学经济数学主要内容主要内容 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例 5.1.2 5.1.2 定积分定义定积分定义 5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质新课引入新课引入?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？下，有哪些计算公式？正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等5.1 5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例规则规则图形图形经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质?不规则图形（如图）的面积如何求？不规则图形（如图）的面积如何求？新课引入新课引入5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例我们把这类几何图形定义为曲边梯形我们把这类几何图形定义为曲边梯形上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即即 经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例?曲边梯形是由连续曲线曲边梯形是由连续曲线与三条直线与三条直线所围成的平面图形所围成的平面图形曲边梯形面积如何求？曲边梯形面积如何求？经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积xyoab四个小矩形四个小矩形xyoab九个小矩形九个小矩形经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质解决步骤：解决步骤：用分点用分点 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间(1)(1)分割分割第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为,即即5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积经济数学经济数学经济数学经济数学5.1(2)(2)近似代替近似代替在第在第i个小区间上任取一点个小区间上任取一点用以为宽，为高的小矩形的用以为宽，为高的小矩形的面积近似代替相应小曲边梯面积近似代替相应小曲边梯形的面积形的面积,即即 5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质(4)(4)取极限取极限(3)(3)求和求和5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积令令,则则经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程?5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例设设某物体作变速直线运动某物体作变速直线运动,已知速度已知速度,且且如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例解决步骤：解决步骤：用分点用分点 把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间(1)(1)分割分割第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为,即即经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质(3)(3)求和求和(2)(2)近似代替近似代替(4)(4)取极限取极限令令 ,则则2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积5.1.1 5.1.1 5.1.1 5.1.1 两个实例两个实例两个实例两个实例?计算结果有无共同点？计算结果有无共同点？和式的极限和式的极限经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定义定义51 5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，在上有定义，在 中插入中插入个分点，个分点，把区间分成把区间分成 个小区间个小区间每个小区间的长度依次为每个小区间的长度依次为经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ，作函数，作函数值值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积 ，并作和式（称为，并作和式（称为积分积分和式和式）记记 ，如果当，如果当 时，和式的极限时，和式的极限 存在，则称这个极限值为函数存在，则称这个极限值为函数 在在 上的上的定定积分积分（简称（简称积分积分），记作），记作 ，即，即定义定义51 经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义称为积分区间,ba经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定理定理51 闭区间上的连续函数必可积闭区间上的连续函数必可积。

说明说明l 定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有表示无关，即有l 规定规定5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义l 定积分定积分 的值与区间的分法以及点的值与区间的分法以及点 的取法无关；的取法无关；经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例1 1解：解：5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义则则取取根据定积分的定义，计算根据定积分的定义，计算 将将 0,1 n 等分等分,分点为分点为经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质解解：5.1.2 5.1.2 5.1.2 5.1.2 定积分的定义定积分的定义定积分的定义定积分的定义经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：为方便起见，我们可把积分为方便起见，我们可把积分简记为简记为1根据定积分的定义，证明根据定积分的定义，证明 即即经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积的负值；定积分的值等于曲边梯形面积的负值；5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义(2)(1)经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的值等于各部分面积的代数和定积分的值等于各部分面积的代数和5.1.3 5.1.3 5.1.3 5.1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义定积分的几何意义有时为正，有时为负时有时为正，有时为负时(3)经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：1利用定积分的几何意义计算利用定积分的几何意义计算 （答案：（答案：）2利用定积分的几何意义计算利用定积分的几何意义计算 （答案：）（答案：）经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质1性质性质2推广推广5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质(k 为常数)经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质3 (积分区间可加性积分区间可加性)5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质不论不论 位置如何，上式均成立位置如何，上式均成立经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质4性质性质55.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质在区间在区间 上上如果如果 和和 分别是在区间分别是在区间上最小值和最大值上最小值和最大值,则则 经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质例例2 2不计算定积分的值，比较下列定积分大小不计算定积分的值，比较下列定积分大小 解：解：5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质(1)因为当因为当所以所以时，时，(2)因为当因为当时，时，所以所以与与 与与 经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质课堂练习课堂练习：（答案：（答案：)2比较定积分比较定积分 与与 的大小的大小（答案：（答案：）1比较定积分比较定积分 与与 的大小的大小经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质性质性质6 (积分中值定理积分中值定理)上的平均值。

上的平均值5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质使得使得至少存在一点至少存在一点通常我们称通常我们称在在为函数为函数如果函数如果函数上连续，则在区间上连续，则在区间在闭区间在闭区间上上经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质积分中值定理的几何解释积分中值定理的几何解释：当当 时时,由曲线由曲线 ,直线直线 所围成的所围成的曲边梯形的面积，等于以区间曲边梯形的面积，等于以区间 为底为底、以该区间上某一点处的函数值以该区间上某一点处的函数值 为高的为高的矩形的面积矩形的面积 5.1.4 5.1.4 5.1.4 5.1.4 定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质定积分的简单性质经济数学经济数学经济数学经济数学5.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质1定积分的概念定积分的概念2用定积分定义计算定积分的方法用定积分定义计算定积分的方法 3定积分的几何意义定积分的几何意义小结小结 5比较定积分的大小比较定积分的大小4定积分的性质定积分的性质。