相似三角形的判定+性质+经典例题分析

板块一、课前回顾一、比例性质ac1•基本性质：=oad€be（两外项的积等于两内项积）bdaebd2.反比性质：〒€—°=—（把比的前项、后项父换）bdae‘…aea，be，d,亠3.合比性质：〒=石=€（分子加（减）分母，分母不变）bdbd4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）aeem如果丁€_7==A=—(b+d+f+A+n„0)，那么bdfna+e+e+A+mb+d+f+A+n谈重点：（1）此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立5.黄金分割：Q内容⑥尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1.已知a、b、c是非零实数，且一-一b+e+dbea+e+db+a+d=k，求k的值.a+b+e例题2.已知-+-=丄，求-+-的值xyx+yxy板块二、新课讲解知识点一、相似形的概念概念：具有相同形状的图形叫相似图形.谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例――全等形.-1-/10知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：li#l2#l3oAB_DEAB_DEBC_EF—,€,€,EFACDFACDF则BC\eLL1112②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理角形的第三边如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三Q推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边（或其延长线），那么所截得的三角形与原三角形相似.推论Q的基本图形有三种情况，如图其符号语言：T〃，・•・△；判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似/102）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似例题精讲重难点高效突破】例题1.如图，直线DE分别与AABC的边AB、AC的反向延长线相交于D、E,由ED〃BC可以推ADAE出€吗？请说明理由用两种方法说明）BDCEA例题2.(射影定理)已知：如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD丄BC于D.求证：(1)AB2€BD•BC；(2)AD2€BD-CD；(3)AC2=CD-CBAFBE例题3.如图，AD是RtAABC斜边BC上的高，DE丄DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F则V=吗？说ADBD说你的理由..例题4.如图，在平行四边形ABCD中，已知过点B作BE丄CD于E,连接AE,F为AE上一点，且ZBFE=ZC（1）求证：△ABFs^EAD；（2）若AB=4,ZBAE=30。

求AE的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF的长即时训练】一、选择题1. 如图，AABC经平移得到△DEF,AC、DE交于点G，则图中共有相似三角形（）A．3对B．4对C．5对D．6对2. 如图，已知DE〃BC,EF〃AB，则下列比例式中错误的是（）AAD€AEBCE€EAc匹_ADDEF_CF•AB_AC•CF~FB'BC~BD'AB~Cb'3. 在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若ZAEF=90则一定有（）A. AADE^AAEFB.AECF^AAEFC.AADE^AECFD.AAEF^AABF4、如图，直线l〃l,AF:FB=2:3,12BC:CD=2:1，则AE：EC是(D.3：2C.2：1A.1对B.2对C.3对D.4对（5题图）（6题图）（7题图）（8题图）A.5:2B.4:16. AABC中，DE〃BC,且AD:DB=2:1,那么DE:BC等于(A.2:1B.1:2C.2:3D.3:27•如图，P是RtAABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P做直线截AABC,使截得的三角形与AABC相似,满足这样条件的直线共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条8. 如图，已知DE〃BC,EF〃AB，则下列比例式中错误的是()AAD_AEBCE_EACDE_ADDEF_CFAB~ACCF~FBBC一BDAB_CB9. 下列说法：其中正确的是（）①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.A.①②B.③④C.①④D.②③-3-/10、解答题1、如图，AABC中，BD是角平分线，过D作DE〃AB交BC于点E,AB=5cm,BE=3cm,求EC的长.2. 如图，在梯形ABCD中，AD丄BC,ZBAD=90°,对角线BD丄DC.(1) AABC与ADCB相似吗？请说明理由.⑵如果AD=4,BC=9,求BD的长.3. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.AADQ与AQCP是否相似？为什么？4. 如图，已知ADABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点E,交AB与F,试判定△BAE与△ACE是否相似，并说明理由。

E-5-/10-#-/105•如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ丄BD?7.如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高,6.已知：如图所示，D是AC上一点，BE〃AC,AE分别交BD、BC于点F、G,Z1=Z2.则BF是FG、EF的比例中项吗？请说明理由.ACAE=AF・AB吗？说明理由.AFBE8.如图，AD是RtAABC斜边BC上的高，DE丄DF,且DE和DF分别交AB、AC于E、F.则吗？说说ADBD你的理由.-#-/10-#-/10板块二、新课讲解知识点1.相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似.知识点2.直角三角形相似的判定一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.C-#-/10-#-/10母子形A型，X型交错型旋转型；「例题精讲【重难点高效突破】例题1.如图在4X4的正方形方格中，AABC和厶DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上.(1) 填空：ZABC=，BC=.(2) 判定△ABC与ADEF是否相似？并说明理由。

AC例题2.如图，在△ABC中，已知BD、已是4ABC的高，求证：△ADEs^ABC例题3.如图，已知AB丄BD,CD丄BD,AB=6cm,CD=4cm,BD=14cm,多少时，AABP与厶CPD相似？点P在BD上由B点向D点移动，当BP等于A与BE相交于点N,延长AM交BC于点G,AD与BE相交于点F,求证：（1）DE=AD;CECD（2）△BCEs^ADM；3）AM丄BE.例题4.已知：如图，在AABC中，ZC=90°,P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE丄AB交AC于E,点E不与点C重合，若AB=10,AC=8,设AP=x,四边形PECB的周长为y,求y与x的函数关系式.-7-/10-#-/10【随堂演练】A组1. 下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A、①③B、①④C、①②④D、①③④2. 如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点0,下列条件中不能使AABE和AACD相似的是（）A.ZB=ZCB. ZADC=ZAEBC. BE=CD,AB=ACD.AD:AC=AE:AB3. 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①AABC,②ABCD,③ABDE,④ABFG,⑤AFGH,⑥AEFK.其中②〜⑥中，与三角形①相似的是（）（A）②③④（B）③④⑤（C）④⑤⑥（D）②③⑥AB4•如图，匹与区不平行当AC=——时，AABC与^匹相似。

5.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE丄BC于E,AF丄CD于F.-6-/10-#-/10(1) AABE与AADF相似吗？说明理由.⑵AAEF与AABC相似吗？说说你的理由.6. 已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的中点.AADQ与AQCP是否相似？为什么？7. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交AB于F,连接FC%，AE)1.如图，正方形ABCD中，点E,F分别为AB，BC的中点,AF与DE相交于点0,则DO等于(2.如图，直线EF交AB、AC于点F、E,交BC的延长线于点D,AC丄BC,已知AB-CD=DE-AC,求证：AE-CE=DE-EF3.已知：如图，在梯形ABCD中，AB〃CD,ZB=90°,以AD为直径的半圆与BC相切于E点.求证:AB・CD=BE・EC.E4.如图所示，AB是00的直径，BC是00的切线，切点为点B,点D是00上的一点，且AD^OC.求证：AD・BC=0B・BD.C△AEFs^EFC吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由若ABCD为矩形呢？-#-/10-#-/105. 如图所示，在00中，CD过圆心0,且CD丄AB于D，弦CF交AB于E.-#-/10求证：CB2=CF・CE.6. 已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD,DF交AC边于E点，且AE=2EC.试求AF与FB的比.-9-/107. 已知：如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AH丄BC于H,以AB和AC为边在Rt^ABC外作等边厶ABD和厶ACE,试判断ABOH与AAEH是否相似，并说明理由.相似三角形的性质及其应用板块二、新课讲解知识要点：相似三角形的性质① 相似三角形的对应角相等，对应边成比例.② 相似三角形对应髙的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③ 相似三角形周长的比等于相似比.④ 相似三角形面积的比等于相似比的平方.【重难点髙效突破】例题1.(1) 两个相似三角形的面积比为si:s2，与它们对应高之比h:h2之间的关系为(2) 如图，已知DE〃BC,CD和BE相交于0,若S:SAAn12€9:16，AABC⑵题图(3)题图则AD:DB=-#-/10-#-/10(3) 如图，已知AB〃CD,B0:0C=l:4,点E、F分别是0C,0D的中点，贝EF:AB的值为:S:S四边形DFGE四边形FBCG⑷如图，已知DE//FG//BC，且AD:FD:FB=1:2:3,则S沁A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36c6c(5)梯形ABCD中，AD〃BC,(AD〈BC),AC、BD交于点0,若SS，则△AOD与AOAB25AABCD△BOC的周长之比为。

例题2•如图，在△ABC中，DE〃BC,且S^ADE:S四边形BCED=1:2,BC=276求DE的长例题3.如图所示，已知DE〃BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别相交于点D、E,F、G分别在边AB、AC上，且AF：FB=AG：GC,求证：△AFGs^AED例题4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，AD丄BC于点D,交EH于点M,BC=20cm,S=100cm2求矩形EFGH的面积A△ABC例题5.△ABC中，D为AB上一点，若ZABC=ZACD,AD=8cm,DB=6cm，求AC的长例题6.已知，如图△ABC中，ZBAC=90AB=AC=1,D为BC上一动点(不与B,C重合)，ZADE=45°(1) 求证△ABDs^DCE(2) 设BD=x,AE=y,求y与x的函数关系式(3) 若厶ADE为等腰直角三角形时，求AE的长例题7、如图，在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,AD=3cm,BC=7cm,ZB=60°,P为下底BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PE交DC于E,使得ZAPE=ZB.(1) 求证：AABPsApce；(2) 求等腰梯形的腰AB的长；A第7题图(3) 在底边BC上是否存在一点P,使得DE：EC=5：3，如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由.【随堂演练】1•两个相似三角形的面积比为4：9,那么它们周长的比为.2. 若x：y：z=3：5：7，3x+2y—4z=9则x+y+z的值为.3. 如图，ZAPD=90°,AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是()A.APABsAPCAB.APABsAPDAC.AABCsADBAD.AABCsADCAPBCD第4题4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，Z1=ZB,AE=EC=4,AB=12，则△ADE的周长为-13-/10-#-/10AA5. 某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1.5米长的竹竿影长0.9米，但当他马上测松树高度时,因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2.4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为米6. 如图，C为线段AB上的一点，△ACM'ACBN都是等边三角形，若AC=3，BC=2，则△MCD与△BND的面积比为7. 如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,AC、BD交于0点，S:S=1:9，则S:S=△AOD△COB△DOC△BOC1. 已知：如图，AABC中，ZA=36°，AB=AC,BD是角平分线.(1)求证：AD2=CD・AC；⑵若AC=a,求AD.2. 已知：如图，OABCD中，E是BC边上一点，且BE2EC,BD,AE相交于F点.⑴求ABEF的周长与AAFO的周长之比；⑵若&EF的面积S&EF=6cm2，求AAFD的面积3. 已知：如图，Rt^ABC中,AC=4,BC=3,DEIIAB.(1) 当ACDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求CD的长;(2) 当ACDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求CD的长.-#-/10。