高等数学上72可分离变量的微分方程

一类复合函数导数的逆运算一类复合函数导数的逆运算!第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的可分离变量的微分方程微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的,dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为为微分方程的解微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12|lnCxy .2为为所所求求通通解解xCey 二、典型例题二、典型例题P300-1解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM ,dtMdM00MMt 代入代入,ln|ln1CtM ,tCeM 即即00CeM 得得,C teMM 0衰变规律衰变规律P301-2例例3 3 有高为有高为1 1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小孔水从它的底部小孔流出流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1 1平方厘米平方厘米(如图如图).).开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t 的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262.0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度P302-4cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262.0dtgh 21cms dhhh)200(2 ,262.0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(262.03dhhhgdt ,)523400(262.053Chhgt ,100|0 th,101514262.05 gC).310107(265.45335hhgt 所求规律为所求规律为()()0.4f xy ydxg xy xdy 例例求求方方程程通通解解,xyu 令令,ydxxdydu 则则,0)()(ydxduugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解可分离变量可分离变量代换代换分离变量法步骤分离变量法步骤:1、分离变量、分离变量;2、两端积分、两端积分-隐式通解隐式通解.三、小结三、小结作业:P304:1-(5)(7)(9),2-(3)思考题思考题求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答思考题解答,02cos2cos yxyxdxdy,02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy,2cos2Cx 为所求解为所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、0tansectansec22 xdyyydxx；2 2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3 3、0)1(32 xdxdyy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、xdxyydyxsincossincos,40 xy；2 2、0sin)1(cos ydyeydxx,40 xy.练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动,这外力这外力和时间成正比和时间成正比,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比.在在10 t秒时秒时,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边四、小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,设河宽设河宽h为为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比(比例比例k系系数数为为).).求小船的航行路求小船的航行路线线.练习题答案练习题答案一一、1 1、Cyx tantan；2 2、Ceeyx )1)(1(；3 3、Cxy 433)1(4.二二、1 1、xycoscos2；2 2、yexcos221 .三三、3.269 v厘厘米米/秒秒.四四、取取 0 0 为为原原点点,河河岸岸朝朝顺顺水水方方向向为为轴轴x,轴轴y指指向向对对 岸岸,则则所所求求航航线线为为)312(32yyhakx .。