向量法求空间角

向■法求空间角1. (本小题满分10分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形■四边形ADPQCD丄平面ADPQ .是直角梯形，AD丄DP , AB=AQ=^DP.(1) 求证：P0丄平面DCQ ；⑵求平面BCQ与平面ADPQ所成的税二面角的大小.2. (满分13分)如图所示.正四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心•侧棱PA 与髓ABCD所成的角的正切值碑.(1) 求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2) 若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3) 冋在棱AD上是否存在一点F,使EF丄侧面PEC,若存在，试确定点F的位置; 若不存在•说明理由.3. (本小题只理科做.满分14分)如图己知AB丄平面ACD.DE//AB.a ACD是正三角形,AD=DE=2AB •且F是CD的中点.(1) 求证:AF//平面BCE;(2) 求证:平面BCE丄平面CDE;(3) 求平面BCE与平面ACD所成税二面角的大小.4. (本小题满分12分)如图■在四棱锥P-ABCD中，PD丄底面ABCD^底面ABCD 为正方形,AD=PD=2,EFG分别为PC. PD.CB的中点.(1) 求证:AP〃平面EFG;(2) 求平面GEF和平面£>£尸的夹角.5. 如图.在直三棱柱ABC-A^C,中，平面A{BC丄 侧面且4人=人3 = 2・(I) 求证：43丄BC；(II) 若直线AC与平面A.BC所成的角为求锐二面角6A-A.C-B的大小.6. 如图，四边形ABCD是正方形，E4丄平面ABCD9 EA// PD. AD = PD = 2EA9F . G. H分别为EB, PC的中点.(1) 求证：FG 〃平面PED；(2) 求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.CAB参考答案1. (1)详见解析；(2) £4【解析】试题分析：(1)根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA, DP,DC两两垂直，可以£>为原点，DA. DP、QC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.表示出图中各点的坐标：i&AB=a9则D(0.0.0)9 C(O,Ov).0(a , a , 0) . P(0,2d , 0),则可表示出 DC = (0,0, a) 9 DQ = (a ,a ,0),PQ = (ay-a,0),根据数量积为零与垂直的充要条件逬行证明，由药•苑=0,DQ PQ = 0,故页丄甩，万◎丄甩，即可证明；⑵ 首先求出两个平面的法向量,其中由于反丄平面ADPQ,所以可取平面ADPQ的一个法向量为丘= (0,0,1)；设平面的一个法向量为心=(x,y,z),则n2 QB = 0 , n2-QC = 0 ,故一© +心0,即］-cix-ay + az = 0 y—¥+7=0'c取y贝收=°・故兀=(o丄1)转化-x-y+ z = 0. 9为两个法向量的夹角.设“讪夹角汰贝心=帚=存弓.即可求出平面BC0与平面ADP0所成的税二面角的大小.试题解析：(1)由已知，DAt DP, DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所 在直线分别为兀轴、y轴、乙轴建立空间直角坐标系.\S.AB=at 则£>(0,0,0), C(0,0,o), Q(a,a90)t P(0,2o,0),故DC = (0,0,f/)t 页= @,d,0),范=@, —d,0),因为药•范=0, DQ PQ = 0t故況丄甩，宛丄范即 DC丄 PQ, D0丄 PQ,又DCHDQ = D所以，P0丄平面DCQ.(2) 因为反丄平面ADPQ,所以可取平面ADPQ的一个法向量为瓦=(o o 1),F+心0,即］-cix-ay + az = 0.设平面的一个法向量为心= 则n2 QB = 09 n2^QC = 09 _ y + Z = 0,取y = z = i.贝l」x = 0, -x-y+z=0.故心=(011).设小与斤的夹角为0,则COS0 = ¥^ = A =芈.Mil"」V2 2所以.平面与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为£4考点：1•空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2. (1) 60°; (2) 学；(3) F是AD的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：(1)取AD中点连接MO. PM.由正四棱锥的性质知ZPMO为所求二面角V6P-AD-O的平面角，ZPAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角AtanZPAO= 2 ■设AB返 迪 打=a.贝IJ AO= 2 a, PO= 2 a, MO= 2 , tanZPMO = 3 ,ZPMO = 60°; (2)依题意连结AE, OE,则OE//PD ,故ZOEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易1 1 , 逻证OA丄平面POE，故为直角三角形，OE= 2pD= 2 7^+^^ = 4 a AtaiiAO 2a/ToZAEO= EO = 5 . (3)延长 MO 交 EC于N,取 PN 中点 G,连 EG, EG, MG,易得EC丄平面PMN.故平面PMN丄平面PEC,而△ PMN为正三角形.易证MG丄平面PEC,B取MA的中点F,连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而MG试题解析：(1)取AD中点M,连接MO, PM,依条件可知AD丄MO, AD±PO.则/PMO 为所求二面角P-AD-O的平面角(2分)VPO丄面 AECD.AZPAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角..\tanZPAO= 2V2设 AB = a, AO= 2 a,PO = AO-taii.ZPOA = 2 a.PO tanZPMO = MO =忑. .\ZPMO = 60°. （4 分）（2） 连接 AE, OEt VOE // PDf/.ZOEA为异面直线PD与AE所成的角. （6分）TAO丄ED. AO丄PO. •••AO丄平面 PBD. 又 OE u 平面 PED. ••• AO±OE.VOE =丄 PD =丄 y]PO2 + DO2 = —a,2 2 4/.tanZAEO= — = . （8 分）EO 5（3） 延长MO交EC于N.取PN中点G.连EG. EG, MG.TEC丄MN. BC±PNt :.BC丄平面 PMN・•・平面PMN丄平面PBC. (10分)又 PM = PN, ZPMN = 60°, •••△PMN 为正三角形.・・・MG丄PN.又平面PMNA平面PBC = PN, /.MG丄平面PBC. (12分)••• F是AD的4等分点，靠近A点的位置 (13分)考点：立体几何的综合冋题3. (1)见解析；(2)见解析；(3) 45°.【解析】试题分析：(1)取CE中点P,连接FP、BP,根据中位线定理可知FP||DE,且且FP冷DE.,而 AB||DEt 且 AB= - DE. 5111 ABPF 为平行四边形，则 AF||BP, AF(Z 平面 ECE. EP?平面 2BCE,满足线面平行的判定定理，从而证得结论；⑵根据AE丄平面ACD, DE||AB,则DE丄平面ACD,又AF?平面ACD,根据线面垂 直的性质可知DE丄AF.又AF丄CD, CDADE = Dt满足线面垂直的判定定理.证得AF丄平面CDE.又BP||AF,则BP丄平面CDE. BPu平面ECE.根据面面垂直的判定定 理可证得结论；(3) 由(2),以F为坐标原点，FA, FD, FP所在的直线分别为x, y, z轴建立空间直角 坐标系F-xyz・设AC=2.根据线面垂直求出平面ECE的法向量n.而m= (0. 0. 1)为平面ACD的法向量，设平面ECE与平面ACD所成锐二面角为a,根据cosa=」“川.可"|・|川求出所求.tz试题解析：(1)解:取CE中点R连结FP、ER・・・F为CD的中点，呵DE,"冷皿又 AB||DE,且 AB= | DE. .\AB||FP,且 AB=FP, •••ABPF为平行四边形，•••AF||EP又 V AF (Z 平面 BCE.BP U 平面 BCE, •••AF||平面 BCE(2) VAACD 为正三角H^/.AF丄CD.•••AB丄平面 ACD.DE||AB. •••DE丄平面ACD,又AFU平面ACD, •••DE丄 AF・又 AF丄 CD,CDCIDE=D•••AF丄平面CDE又 BP||AF,ABP1 平面 CDE.又 TEPu 平面 BCE, •••平面BCE丄平面CDE(3) 法一、由(2)，以F为坐标原点，FAJD^FP所在的直线分别为xyz轴(如图)，建立空间直角坐标系F—xy乙设AC=2, 则 c (0,—1,0) , B(—V3,0,1), E, (0,1,2).设齐=(兀” Z)为平面BCE的法向量， ■n.CS = 0,n.CE = 0y-r^X+y + Z = ° ,令 11=1,则心（0,-1,1）2y + 2z = 0显然,〃7 = (0.0J)为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成税二面角为久则 cos a =1 _V2 .|〃7卜| 川 y/2 2a = 45°・即平面BCE与平面ACD所成税二面角为45°法二、延长EE、DA,设EE、DA交于一点O,连结CO. 则面 EBCH 面 DAC = CO.由AB是\EDO的中位线，则DO = 2AD・在AOCD 中-/OD = 2AD = 2AC, ZODC = 60°.OC丄CD ,又OC丄DE・ :.OC 丄面 ECD 而 CEU 面 ECD, /. OC丄CE、・・・ ZECD为所求二而角的平面角在 Rt'EDC 中.•••ED = CD.・・ZECD = 45°即平面ECE与平面ACD所成锐二 面角为45°.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定.4. 证明见解析【解析】试题分析：：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标， 从而将几何证明转化为向量运算•其中灵活建系是解题的关键.(2)证明线面平行，需证线线 平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(3)把向量夹角的余弦值转化为两 平面法向量夹角的余弦值；(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运算.应用的核心是要 充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写 出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：⑴ 如图.以D为原点，以DA.DC.DP为方向向量建立空间直角坐标系D - JQZ,则 P(0,0,2),C(0,2,0),G(l,2,0),E(0,l,l),F(0,0,l),4(2,0,0).AP= (—2,0,2),乔=(0-l,0),EG= (lj-l).设平面EFG的法向量为n = (x, y,込)y = 0.呼0,即严=0, h・EG = 0、 [x+y-z = 0.・.• 〃・ AP = 1x(-2) +Ox 0 + 1x2 = 0,.・・ n 丄 AP.又 APcz平面 EFG,:. 4P〃平面 EFG(2) v底面ABCD是正方形，・•・AD丄DC、又•.・PD丄平面ABCD.•.AD 丄 PD 又 PDC\CD = D..\AD 丄平面 PCD.••向量丽是平面PCD的一个法向量•丽= (2Q0)又由(1)知平面EFG的法向量.••cosvS^nN".=厶=邑\DA\-\川 2 近 2二面角G-EF-D的平面角为45°.考点：(1)证明直线与平面平行；(2)利用空间向量解决二面角问题.5. (I)详见解析；(II) p【解析】试题分析：(I)取A0的中点D,连接AD,由已知条件推导出AD丄平面\BCt从而AD丄BC,由线面垂直得4&丄BC.由此能证明43丄BC. (II)方法一：连接CD,由已知条件得ZACD即为直线4C与平面A{BC所成的角.ZAED即为二面角A-A.C-B的一个平面角.由此能求出二面角A-A.C-B的大小.解法二(向量法)：由⑴知丄BC且丄底面4BC,所以以点B为原点，以BC、BA. 所在直线分 别为X』忆轴建立空间直角坐标系B-xyz ,设BC = a ,则4(0.2,0). 5(0,0,0), %,0,0). A(0,2,2), BC = (a,0,0)t 两>(0,2,2), AC = (a-2,0)9 亦= (0,0,2).&专得沁才翳=点血「2,求出平面\BC的一个法向量q=(x,y,z),设直线4C与平面A.BC所成的角为0.则1 ——解得a = 2,即AC = (2-2.0),求出平面&AC的一个法向量为心=(1丄°)・设税二面角A-A.C-B的大小为a ,则cosa = cos =PM Ph经2 =扌，且aw(0,#),即可求出税二面角A-A.C-B的大小.试题解析：解(1)证明：如图,取AB的中点D.连接AD9因AA = AB t则AD丄 由平面A{BC丄侧面A.ABB,,且平面A.BC fl侧面A.ABB, = A.B ,得4D丄平面A0C,又BC u平面A.BC,所以4D丄BC.因为三棱柱ABC—A^C,是直三棱柱，则人人丄底面ABC,所以4人丄BC.又AA A AD=A ,从而BC丄侧面A.ABB,,又侧面A.ABB,,故43丄BC.——6分解法一：连接CD,由(1)可知4D丄平面40C .则CD是4C在平面A/C内的射影・・・Z4CD即为直线AC与平面40C所成的角，则ZACD=^ 在等腰直角中,6AAl = AB = 2t 且点D是AB中点，・・・ AD = -AlB = ^.且ZADC=-t ZACD=-2 2 6・・・AC = 2忑过点A作4E丄AC于点E,连DE,由（1）知4£>丄平面40C,则4D丄^C.且aehad=a・・・ZAED即为二面角A-A.C-B的一个平面角且直角AA/C中：4一型竺=仝攀=迹，又A",沁二 ...AC 2馆 3 2・ 忑 >/3sin ZAED=——=—=——•AE 2V6 2T且二面角A-A.C-B为锐二面角・・・ZAED=^ ,即二面角A-A.C-B的大小为彳-—12 分解法二（向量法）：由（1）知43丄BC且丄底面4BC,所以以点B为原点，以BC、BA. 所在直线分别为兀〉，忆轴建立空间直角坐标系B-xy^z,如图所示，且设BC = a •则 4(0,2,0), 5(0,0,0), C(a,0,0),人(0,2,2),貳= @,0,0),两= (0,2,2),AC = (a.—2,0).0=（002） 设平面40C的一个法向量q=（x,y,z） •由3（^丄厲・34］丄耳得:xa = 0 一2* = 0令曰’得Z27则⑴。

丄T设直线AC与平面人眈所成的角为0,则8 = 2ACAC得 sm- =66I卜刀 =宁 解得2,即AC = (2,-2,0) j4 + °5 2又设平面A/C的一个法向量为耳，同理可得n2 = （1丄0）,设锐二面角A-A.C-B的大 小为则cos6Z = cos = .J,. " = -, fiae(0.-)f 得 a =-M 胆 2 2 3・•・锐二面角A-A.C-B的大小为彳.考点：1•用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系.6. (1)证明见解析；(2) 45°【解析】试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从 而将几何证明转化为向量运算•其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证 明直线的方向向量垂直；(3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值；(4) 空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体倚征，建立恰当的 坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算； 二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：(1)证明•・.・F,G分别为PF, FE的中点，FG H PE.又/FG(Z平面PED, PEu平面PQ,.•.FG 〃平面 PED.(2)解：・.・E4丄平面 ABCD, EA// PD, :.PD丄平面ABCD.AD,CD u 平面 ABCD, PD 丄 A£>, PD 丄 CD.四边形ABCD是正方形，.•.4D丄CQ.以D为原点，分别以直线DA、DC,DP为x轴，y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设EA = l.-.AD=PD = 2EA,.•.D(0,0,0), P(0,0,2), A(2,0,0), C(0,2,0), B(2,2,0), $2,0,1),PB = (2,2,-2), PC = (0,2,-2).•••F, G , H分别为PB, EE, PC的中点，.-.F(l丄 1), G(2,l,-), H (0,1,1),GF = (-1,0,,G// = (-2,0,-).（解法一）设〃严（WZJ为平面FGH的一个法向量，贝严竺"[nL GH = 0,令）1=1.得"1 = （0 丄。

・心 PB = 0 设从=（心）.乙）为平面PBC的一个法向量贝!）｛-・ ・・・ 从・PC = 0,令乙2 = 1，得隔=（°丄1） •2x2 + 2y2-2z2 = 02儿一2° = 0所以COS 所以平面FGH与平面PBC所成税二面角的大小为丄（或454（解法二）・・・血・葩=（0丄 1） （—2,0,0） = 0, DH PC = （0丄 1） （0,2,-2） = 0,. .DH是平面PBC-个法向量.•/ DC• W = （0,2,0）• （-1,0,0） = 0, 反 而=（0,2,0）・（1,0,-*） = 0,••• DC是平面平面FGH 一个法向量.cos （血 £>©| =DHDC2 _^2DH ・ DC平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为£ （或45 4（解法三）延长4E到2使得AE = EQ.连PQEQ・-PD = 2EA = AQt EA H PD、四边形ADPQ是平行四边形，PQ n AD.•••四边形 ABCD是正方形，BC H AD, PQ 〃 BC.•••F, H 分别为 PC 的中点，:.FH HBC、FH HPQ.•rFH(Z平面PE£>, PQ c=平面PED, :.FH "平面PED.FH P FG = F,FH、FG u 平面 ADPQ, /.平面 FGH 〃 平面 ADPQ.故平面FGH与平面PBC所成锐二面角与二面角D-PQ-C相等.PQ丄 CD,PQ1PD ,PDC\CD = D、PD、DC u 平面 PDC、：. PQ 丄平面 PDC.•・• PCu平面PDC,:. PQ丄PC, ZDPC是二面角D-PQ-C的平面角.AD = PD, AD 丄 PD,:. ZDPC = 45°.平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为£ （或45。

4考点：1、直线与平面平行的判定；2.平面与平面所成的角・。