数学解题新概念罗增儒

数学解题新概念师大学数学系罗增儒 ：710062 ：2 ：zrluosnnu.edu.对于数学教师来说，再也没有比“数学解题〞更熟悉的专业词汇了，再也没有比“解题教学〞更平常的专业活动了，但是，“什么叫题、什么叫解题、什么叫解题教学、怎样学会解题〞我们都能说清楚、讲明白、做到位吗？说来见笑，笔者确实曾经想了好多年没有想清楚，确实曾经担忧会面临这样的为难：解了一辈子题说不清“什么叫解题〞，教了一辈子书说不清“什么叫解题教学〞．于是，笔者思考、实践、并最终写出了“数学解题学〞的书〔参见文【1】、【2】等〕，但是，个人的解题思考〔包括今天的发言〕“与其说是记录了一些研究的成果，不如说是提出了一些思考的课题〞，我告诫自己：“表达是商讨性的、名词是描述性的，画一个问号作为丑陋的开头，把完善、完整、完美的句号留给读者〞〔参见文【1】前言〕．〔我半路出家从事数学教育，至今对数学和教育都一知半解，有时候，从门缝外往里看，好似看到点什么，其实什么也没有看清楚〕让我们从介绍一个简单的练习开场.1解题新概念的认识 1-1 表达解题新概念的引例——自行车问题 第一、案例的呈现例1-1 一个自行车新轮胎，假设安装在前轮则行驶5000后报废，假设安装在后轮则行驶3000后报废．如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，则这辆车将能行驶多少？ 〔请用方程或算术等多种方法求解．求解后想想如何让学生也学会解〕解法1解法2解法3这是不是一道数学题？是！则，什么叫数学题呢？我们拿到一道数学题会做什么？找答案——解题，则，什么叫数学解题呢？怎样进展数学解题呢？数学解题的过程是什么样的？我们是怎样学会数学解题的呢？困难在哪里？●不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了．●感觉好似什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚．●理不清题目的条件是什么．特别是自行车的“前轮〞“后轮〞把“甲乙两个轮胎〞与“自行车前后两个位置〞穿插在一起，理不清自行车的“前轮后轮〞的数学含义是什么．〔参见图2〕〔4〕理不清题目的结论是什么．外表上，结论是求“这辆车将能行驶多少〞写得很清楚，但这与“交换〞前、后轮胎有关，并且“交换〞好似是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废〞呢？排除解题的干扰因素，结论是否应为“一对新轮胎行驶多少〞？如果你不能求解，没关系，请先做第2题．例1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时开工，甲工程队干前半段、乙工程队干后半段一定时间后，甲、乙两工程队交换〔交换时间不计〕，使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？〔属于什么题型？中途交换如何处理？〕如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3 一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？〔中途交换去掉了，属于什么题型？〕如果你能求解第3题，请返回做第2、第1题；如果你不能求解第3题，请看第4题． 例1-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 这是标准的工程问题了．你最终至少要用两个以上的解法完成第1题．再想一想有什么体会．第二、案例的分析.案例分析1：关于解法．让我们从新开场，缺什么就设什么，有解法1：〔方程解法〕设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有〔方程组〕两式相加，得③则 〔〕． ④〔这是2009年初中数学联赛的参考答案〕作为“怎样解题〞任务是完成了，但作为“怎样学会解题〞这只不过是新的开场——反思分析．反思1：当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧．特别是，这个解法对“用字母表示数〞的运用很熟练，“缺什么设什么〞、引进过渡性的字母，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求〞〔像化学反响中的催化剂〕，表现出解题的艺术．但也正是这些技巧会给我们的教学讲解和学生承受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，这是“怎样想到的〞也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好承受一些？首先，既然都只有辅助的作用，而①、②式的等量关系也被更实质性的③式代替了，则，我们能不能一开场就抓住③式这个更本质的构造呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前〔后〕轮，磨损率是一样的，交换是非实质的〔比方说打隧道是不是一定要在中间相遇？交换与不交换影不影响工程量？〕，就是说，假设设一对新轮胎可走，则一对轮胎在前轮走了，在后轮也走了，有〔可以不列方程组，列方程就行了〕解法2：〔方程解法，去掉〕设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎可走，则一对轮胎分别在前后轮各走了，有则 〔〕． ⑤说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部〞的话，则新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理〞了；原解法将两个“局部〞列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、“整体〞得出④式了．反思2：这个解法中只有辅助作用，能不能也去掉，怎么去？另外，由④及⑤中的运算式，我们看到了一种构造——工程问题〔这正是上述教学设计的一个根本考虑〕，我们能不能一开场就抓住这个本质构造呢？有解法3：〔算术解法，用1代替〕设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由得，安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎的磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶〞〔〕．说明2：这个题型小学说是“工程问题〞，到中学可以说是“调和平均〞〔高中〕或“反比例函数模式〞〔初中，参见案例分析3〕．反思3： 解法3是在④、⑤中取〔这是小学的惯例〕，只能取1吗？由后面的运算知：取5000与3000的最小公倍数更方便．有解法4：〔技巧解法〕假设自行车行驶了15000，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶〔〕．〔结论是什么？“一对新轮胎行驶多少〞〕说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理〞．由这个解法可知，前、后轮的磨损有3：5的比例关系，从而可以改写为解法5：〔按比例分配〕假设自行车已走了3000，后轮磨完，则一对轮胎只剩下前轮的2000磨损量；接下来按3：5的比例分配，前轮会磨掉2000的〔后轮会磨掉2000的〕，由知，一对轮胎可走3000+750=3750〔〕．反思4：解法1由目标牵引，进展了①、②“两式相加〞，而由两式相减呢，立即可得，就是说，假设一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程．这个实事有明显的几何意义：方程组①、②中的两条不平行直线〔或说两个互为反函数的图像〕关于对角线对称，其交点在对角线上，有解法6：〔创设解法情景〕设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到时，磨掉了一半的磨损量〔正好等于一个轮胎的磨损量〕，有〔如图1〕：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废．于是一个新轮胎的总磨损量前进的磨损量交换前后轮返程的磨损量，有 ， 〔这就是方程③〕 得 ． 图1不管题目还会有多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法．这可以认为是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到〞．案例分析2：关于教学设计的意图．这是一个“亲身参与〞的解题教学案例，表达解题教学是解题活动的教学，当中有四个根本的考虑．〔1〕解题化归的教学设计：如果你不能求解第1题，请先做第2题；……，如果你也不能求解第3题，请先做第4题，一路转化为基此题型．这就是化归：把一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题．〔2〕提醒问题的深层构造：自行车问题有工程问题的深层构造〔自行车问题是工程问题的一个现实原型〕．可列表说明如下：例1-1自行车问题例1-2工程问题一对轮胎的磨损〔感觉磨损有破坏性〕一件工程〔感觉工程有建立性〕磨损量〔从新轮胎到报废〕工程量〔完成一件工程〕轮胎有两个工程有两段〔甲乙轮胎对应前后两段工程〕甲、乙轮胎磨损量相等前、后两段工程量相等轮胎放在前面位置行驶5000报废甲工程队干前段5000小时完成轮胎放在后面位置行驶3000报废乙工程队干后段3000小时完成如果行驶一定路程后，交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废〔交换前、后轮胎好似是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废〞？〕如果两工程队同时开工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换，使前、后两段同时完工〔甲、乙两工程队交换不交换是非实质的，使前、后两段同时完工即可〕这辆车将能行驶多少？整个工程几小时完成？ 可见，“自行车问题〞与“工程问题〞有一样的构造！这时，是从“工程问题〞的角度重新理解题意，体会“条件是什么、结论是什么〞的最好时机．甲乙轮胎对应前后两段工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队〔如图2，轮胎是工程、位置是工程队、磨损是干工程〕．于是，从“工程问题〞的观点看例1-1，可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎，自行车的前轮位置需走5000〔相当于完成工程前半段甲工程队需5000小时〕，其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需走3000〔相当于完成工程后半段乙工程队需3000小时完成〕；结论是：磨完两个新轮胎需走多少〔相当于甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成〕．图2〔3〕沟通一题多解的在联系．从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，我们说三类解法不是各别孤立的．由③〔或⑤〕式有〔〕．这是方程解法的结果，约去〔或说令〕便是工程解法，而取，就是技巧解法．所以，三类解法是可以沟通的．也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层构造，形成优化的认知构造．〔4〕呈现解题分析的两个关键环节——解题思路的探求和解题过程的反思．解题思路的探把“题〞作为认识的对象，把“解〞作为认识的目标，重点展示由条件到未知结论的沟通过程，说清怎样获得题目的答案〔这是一个认知过程，如找出解法1〕．解题过程的反思是继续把解题活动(包括题目与初步解法)作为认识的对象，不仅关注如何获得解，而且寄希望于对“解〞的进一步分析而增强数学能力、优化认知构造、提高思维素质，学会“数学地思维〞，重点在怎样学会解题〔这是一个再认知过程，如找出解法2至解法6〕．案例分析3：工程问题的深层提炼． 题目 完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题〞，其根本关系是： 工作效率×工作时间=工程总量〔定值〕．对这个根本关系作抽象，有 单位量×单位数=总量〔定值〕． 再作形式化抽象，得〔定值〕．可见，“工程问题〞的本质是一个反比例函数模式：〔1〕一件工程，对应着存在一个反比例函数关系．这是反映题型特征的根本关系〔对应工作效率，对应工作时间，对应定值工程总量〕．〔2〕甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着在反比例函数中因变量取，．〔3〕甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值：． 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数〔工程总量〕和自变量，〔每个工程队的工作效率〕，也能求出函数值〔两个工程队一齐干的工作时间〕．〔4〕更一般地，“工程问题〞的反比例函数模式是：对反比例函数，给出函数值，求．其求解步骤是：首先将表示为，然后代入所求式．计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数和自变量，也能求出函数值．〔5〕如果把工程平分为段，个工程队干每一段分别需天，则个工程队一起干需天完成〔调和平均〕．有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同〞的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决．例1-5 〔*地中考题〕*人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟．〔一个思路是分解为相遇问题与追及问题〕解法1设人的速度为，公共汽车的速度为，又设在一个发车间隔的时间里公共汽车走千米．由“每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车〞知，汽车与人相向而行〔相当于相遇问题〕，有，由“每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车〞知，汽车与人同向而行〔相当于追及问题〕，有， 于是，汽车本身的速度为，得发车间隔时间为．〔分钟〕 说明1：比照自行车问题的求解〔〕．立即可以发现，它们有完全一样的数学构造〔工程问题或调和平均〕，只有具体数字的微小差异，当然也可以取6与12的最小公倍数来处理，请看解法2．解法2假设人从甲地出发往乙地走了12分钟，依题意，其间必有一部公共汽车从他的后面开过来，然后他立即掉头〔掉头时间忽略不计〕，再走12分钟返回到甲地，依题意，又必有2部电车与他迎面相遇，于是，在24分钟的时间从甲地发出了3部车，得发车间隔为〔分钟〕．说明2：为什么例2-1与自行车问题有一样的构造呢？我们也拿一个工程问题来与例2-1来作比拟：例1-6一件工程，甲单独干一半6天完成，乙单独干一半12天完成，甲乙合起来一齐干，整个工程几天完成？解 设工程量为，则甲单独干的工作效率为，乙单独干的工作效率为，甲乙合起来的工作效率为，所以，一齐干完全工程所需要的时间为〔天〕．〔取了〕例2-1与例2-2列表对照如下〔左右两边有“相当于〞的对应关系〕：例1-5：发车间隔问题例1-6：工程问题一个发车间隔里的路程为千米设工程量为每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，汽车与人对向的相对速度为千米／分甲单独干一半6天完成，甲单独干的工作效率每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，汽车与人同向的相对速度为千米／分乙单独干一半12天完成，乙单独干的工作效率为汽车自己的速度千米／分甲乙合起来的工作效率为发车间隔时间=甲乙合起来完成工程的天＝例1-7 小王从甲地到乙地往返的时速分别为和〔〕，其全程的平均时速为，则〔 A 〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔2012高考数学文科第10题〕解 设甲乙的路程为S，则往返为2S，又小王从甲到乙用时为，从乙到甲用时为，往返共用时，其全程的平均时速为，下来取的特殊值便可比拟出算术平均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的得分率只有0．14，比随机答复的得分率0．25还低，这再次说明，人们认识“调和平均〞的构造是有难度的．例1-8 向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙头12小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？例1-9 有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要6小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走甲乙同样的距离需要几小时？例1-10 从甲地到乙地，客车需小时，货车需小时，现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？例1-11 *公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，一汽车上坡时速度为千米／小时，下坡时时速度为千米／小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度．例1-12 *生物生长过程中，在三个连续时段的增长量都相等，在各时段平均增长速度分别为v1，v2，v3,该生物在所讨论的整个时段的平均增长速度为 〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔2007高考数学文科第12题〕例1-13 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米．假设两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-14 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米．假设三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-15 如图3，在直线上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2米，3米，6米．现作一平行于底的直线，使截得三局部阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，求之间的距离． 图3案例分析4：方程解法与算术解法的比照．下面，我们来议论一个问题：方程解法与算术解法的比照．〔以解法2、解法3为代表〕 〔1〕根本情况：方程解法是设每个新轮胎报废时的总磨损量为，一对新轮胎可走之后，视总磨损量和路程均为数，从一对新轮胎可走出发，就可以求出在前轮位置的磨损率和磨损量、在后轮位置的磨损率和磨损量，得出轮胎磨损的等量关系〔方程〕，根据等量关系解出未知的，将未知数复原出来．算术解法是设每个新轮胎报废时的总磨损量为１，总磨损量成为数，然后，从数据“装在前轮行驶5000”、“装在后轮行驶3000”出发，算出一个轮胎的磨损率、一对轮胎的磨损率，一步步得出一对新轮胎可走多少． 〔2〕比照分析：由上面的根本情况可以看出这两种处理的两个不同．第一、对“未知〞的思想认识不同．在方程解法中与未知是辩证统一的，它是先把未知看作〔设未知数〕，然后参与运算，与相结合建立起通向未知的桥梁〔列方程〕，通过桥梁把未知复原为．而在算术解法中与未知是机械别离的，就是、未知就是未知，只能使用之间的关系铺设一条通向未知的路来，把结论作为最后的摸索目标．于是结论1：方程解法设出结论后比算术解法多了一个可供参与运算的条件，列出相关式子更容易、更方便；寻找等量关系的途径增加、思路开阔．第二、通向“目标〞的思维方向不同．方程解法把结论设为后，就以明确的目标为牵引，带动所有条件，建立起相关量〔包括与未知〕的平衡；而算术解法则要在所有条件建立起平衡之后才能呈现目标．就是说，方程解法把条件与结论同时抓、一起用，算术解法是看着结论用条件，列式、运算只用到条件．于是结论2：方程解法把条件与结论同时抓、一起用，比算术解法目标更加明确，对目标的使用更加自觉、更加给力，沟通条件与结论的联系更加容易、更加方便．〔3〕直观比喻：如果把解题比作过河，河的这边是条件〔〕，河的那边是结论〔未知〕，则算术方法就好似是趟水过河，人从的岸边开场，一步一步摸着石头、把着竹竿，摸索着走向对岸；方程解法则不同，它像是将一根带钩的绳子甩过河去，钩住对岸的目标〔未知数〕，拴紧绳子〔甚至装好滑轮〕后〔建立方程〕，人沿着绳子拉〔滑〕过对岸．两者的思维方向相反，一个是由条件摸索过去的，一个是由结论牵引过去的． 所以，从思想方法上看，方程解法优于算术解法，这并不否认算术解法也可以有精彩的技巧处理，但是，方程解法的一般性可以解释〔或导出〕精彩技巧的特殊性．下述变形可以解释“工程问题〞的算术技巧解法〔最小公倍数、按比例分配〕．1-2 数学解题新概念的根本要点有11个要点：〔1〕对数学题、数学解题、数学解题教学作出了初步的界定．〔2〕认为如何构建概念、如何发现定理也是题，而构建出概念、论证了定理就是解题！ 〔3〕总结了解题化归论、解题推理论、解题信息论、解题差异论、解题系统论、解题坐标系等解题观点． 〔4〕认为数学家解题是发现和创造的过程，教学解题是师生再发现与再创造的过程．要把习题看做是精细研究的对象，而把解答问题看做是设计和创造的目标，解题也是获取数学新知识和数学新技能的学习过程〔不仅仅是熟练和稳固〕．〔5〕认为数学解题是数学学习中不可或缺的核心容，数学解题的思维实质是发生数学．〔6〕认为数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学．〔7〕认为数学解题是评价学习时不可削弱的根本构成，解题测试的根本理念是呈现数学〔即通过数学容去测试数学水平〕．〔8〕认为解题活动是一种思维活动，解题教学不仅要教解题活动的结果〔答案〕，而且要呈现解题活动的必要过程——暴露数学解题的思维活动．〔仅仅满足于获得答案意味着理解的死亡〕〔9〕认为暴露数学解题的思维活动有两个关键的过程．其一是“从没有思路到获得初步思路〞的认知过程，其二是对初步思路反思的元认知过程，解题教学不仅要有第一过程的暴露〔已引起重视〕，而且还要有第二过程的暴露〔想知道很多又有很多不知道〕．〔10〕科学的解题习惯有四个步骤：理解题意、思路探求、书写表达、回忆反思．〔11〕学会解题要经历四个阶段：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析．2数学题2-1数学题的初步界定给数学题作出严格定义是一件困难的事情，我们就把数学上答复起来有困难、需要解决的事情作为数学题的宽松界定．〔1〕界定．数学题(简称题)是指数学上要求答复或解释的事情，需要研究或解决的矛盾．其之所以成为数学题〔而不是语文题、化学题等〕还因为它须运用〔或构建〕数学概念、理论、方法等数学容才能解决．〔参见文【2】P．29〕〔2〕解释．对数学家而言，仅当命题的真假未被证实时才成为问题，如“哥德巴赫猜测〞，而一旦解决了就称为“定理〞(公式)，不成为问题了．这更多地表达了“需要研究或解决的矛盾〞， 我们称为研究型的数学题．在数学教学中，则把结论的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是一样的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求答复或解释的事情〞上．容包括〔而非全部〕一个待进展的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等．呈现方式有课堂上的提问、例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进展的探究性、研究性课题等．这是一类教学型的数学题.〔3〕特别提示．有人认为，上课的前半局部是讲概念、定理，后半局部做的才是题，其实，如何构建概念、如何论证定理也是题！比方，如何构造有理数〔无穷数集〕与直线〔无穷点集〕的对应，从而建立数轴的概念，就是一道题.通过改造直线〔主要是加上三要素：原点、单位和方向〕，然后，把整数“放〞在格点上，把两整数之间的分数“放〞在相应两格点之间，建立起数轴，就是解了一道数学题；学生在这个数学活动中，学到了数轴的概念，感悟了“集合与对应的思想〞、体验了“数形结合的思想〞，经历了数学化的提炼过程等，就是在学习解题.又如〔见例5〕，如何由“猜价格游戏〞提炼出连续函数和它的应用——二分法，就是一道题．下来，设商品的价格为元，它在元与元之间，人猜的价格为元，得连续函数，定义域为；并且．“人猜对〞对应着方程的根……〔略〕，就是解了一道数学题．学生在这个数学活动中，学到了二分法，看到连续函数的应用，感悟了“函数与方程的数学思想〞“近似逼近的数学思想〞“数形结合的数学思想〞“特殊与一般的数学思想〞“程序化地处理问题的算法思想〞等，经历了数学化的提炼过程，就是在学习解题，就是在通过学习数学去学会思维．2-2 数学题的深入理解〔1〕数学题的实质．〔两要素、三特征、一统一〕数学题的标准形式包括两个最根本的要素：条件与结论．条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，到达目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍．因此，问题具有目标性，障碍性和相对性〔三特征〕，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾〔图4〕．图4在问题情景中，“未知的〞一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“的〞客观决定着，构成“已隐蔽地确定〞与“未明显地给出〞的统一．解题的思维活动，正是从明确地给予的、的东西出发，去发现隐蔽存在的、待求解〔求证〕的结论．这是一个积极而生动的发现过程、创造过程．〔2〕两类数学题．〔练习题、问题〕①构造良好的封闭题．在数学教学中，出于稳固知识容和熟练常规思路的目的，大多使用构造良好的封闭题，其容是熟知的，形式是标准的，方法是现成的，答案是确定的，条件恰好不多不少．学生通过对教材的模仿和操作性练习，根本上就能完成．题目的挑战性不是没有，而是还不算很强，这类题目可以称为常规“练习题〞．②问题解决．作为数学教育口号的“问题解决〞，对问题的障碍性和探究性都提出了较高的要求，倡导情境、开放和非常规．1988年第6届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．〞这类题目可以称为“问题〞．而“问题解决〞则是指：综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学部的问题．日常教学既需要常规“练习题〞又需要启发创新精神的“问题〞．下面是几个“好问题〞的例子．2-3 深入理解数学题的例如数学题不仅仅是形式化、符号化的运算和推理〔如课本中的例题、作业题，高考题，竞赛题等〕，还包括更广泛的问题．例2　如图5，表示*人从家出发任一时刻到家的距离与时间之间的关系，请根据图象编两个故事．〔编题或创设情境也是题，参见文【2】P．32〕讲解1 在**的一次听课中〔2004年〕，图5同学们说的故事很多，也都得到教师的完全认可，但抽象出来的运动特征根本上都是：①在上匀速直线运动；②在上静止；③在上匀速直线运动．课后与教师交流时，笔者问为什么都“在上静止？〞，教师解释说，到家的距离不变，所以是静止．我说，到家的距离不变就是“到定点〔家〕的距离为定长〔不变〕〞，这样的点一定是定点吗？教师立即反响过来．这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长〞的数学情景时，只想到静止、想不到运动〔轨迹！圆周运动，空间为球〕，数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能还有“距离〞与“路程〞的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．〔封闭1〕值得注意的是，当进一步问会有多少种不同的运动方式时，对“静止或运动〞也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回．〔封闭2〕 讲解2 这是一个表达问题解决的“好问题〞，承受性，障碍性，探究性，情景性，开放性全都表达了：〔1〕自然涉及“圆〞的概念和逻辑“或〞，触及“明确知识的认识封闭现象〞，并且有明显的3个层次．①一种情况：在上静止．有静无动，能背熟圆的定义，面临圆的情景时看不见圆．②两种情况：看到静止时全静止，看到运动时全运动．有进无退，逻辑“或〞对的全程．③无数种情况：看到静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退；逻辑“或〞对的每一点．〔2〕考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及：①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系．②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法．③一次函数的增减性与图象形状的关系．④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数⑤可考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的根本能力．〔3〕设计为开放题．①需要将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的．②每个学生都可以答复以下问题，但不同的思维水平会到达不同的层次．例3“糖水加糖变甜了〞〔糖水未饱和〕，请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．〔提炼命题也是题，参见文【3】P．205〕讲解 这是一个好问题，理由是：〔1〕来源于日常生活中再简单不过的常识〔托儿所小孩子都知道的生活现象〕，沟通生活与数学的联系非常自然．但是，“糖水〞里有数学吗？能提炼出数学命题吗？能提炼出什么数学命题呢？如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了．〔2〕含有“真分数不等式〞的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模〞过程：①怎样进展“变甜、变淡〞状态的数学描述——用不等式．②怎样进展“甜、淡〞本身的数学描述——用浓度．③怎样进展“加糖〞的数学描述——分子、分母同时加一个正数．这就得到：假设，，则．由此还可得，在上是增函数． 〔3〕可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等二三十种多种证明方法，非常典型．〔如，又如，由定积分的几何意义可得，即．〕〔4〕情境本身有很大的拓展空间．如①将3小杯浓度一样的糖水混合成一大杯后，浓度还一样．由这一情境可得等比定理：．②将两杯浓度不一样的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，具有“中间不等式〞的必要因素与必要形式：对，，有．③取4杯糖水，第1杯比第3杯浓，第2杯比第4杯浓，把第1、2杯混合成甲杯、把第3、4杯混合成乙杯，问甲乙两杯哪杯糖水较浓？这是一个很容易出错的问题．④取浓度不等的杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个较大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比拟与的大小，可与契比雪夫不等式沟通．〔5〕真分数不等式本身是原高中课本的一道例题，并在1985年的，1989年的，以及1995、1998、2001、2004、2009年全国高考中屡次用到．例4 进展解题活动，逐一完成下述问题．例4-1 〔1〕你今年28岁，每年长1岁，从今年算起，第3年几岁？第5年几岁？第年几岁？〔这一问太容易了，逐年相加便得第年为岁〕〔2〕设*人小时走了米，第1小时走了米，以后每小时都走米，则〔逐小时相加〕．即第1小时走了米：，第2小时走了米，第3小时走了米，……第小时走了米，得这个人小时的路程是这个小时路程的总和：．〔3〕由此作类比，则等差数列的通项公式为．说明这里，通过生活现实的比喻，引出等差数列的通项公式和穿插消去法，不仅得出了坚信不疑的结论，而且终生难忘．〔4〕作类比，求解下题： 例4-2 设是关于自然数的两个表达式，如果〔1〕，〔2〕当时，有，则．讲解 设想是两个小孩小红和小明，如果1岁时小红〔〕比小明〔〕高，以后每年小红〔〕都比小明〔〕长得快，则无论什么时候都有小红〔〕比小明〔〕高．学生从这个比喻中，很容易明白问题的结论，并感悟证明．证明1 由有，〔1岁时小红比小明高〕，〔以后每年小红都比小明长得快〕，……相加 ． 〔无论什么时候小红都比小明高〕说明提炼穿插消去法也是题，其实，这也是数学归纳法的一个变形〔参见文【1】P．281数学归纳法的12种变化形式〕证明2 〔1〕当时，由有命题成立．〔2〕假设命题当时成立，即．则 ，这说明命题对时成立． 由数学归纳法知，命题对均成立．例5“二分法〞教学中的两个问题．例5-1在“二分法〞课题的教学中，我们常常见到教师创设商品“猜价格〞游戏，每次猜后教师都会给出“多了〞还是“少了〞的提示，说高了的往低猜，说低了的往高猜，不断调整，逐步接近商品的真正价格，由此引入“二分法〞．然后，以求一个具体方程〔如〕的近似解为例，经历求近似解的过程，总结出“二分法〞的一般程序．但是，学生学完这节课之后，感到“猜价格〞与“二分法〞之间，现实情景与数学容是两皮．比方，在“猜价格〞情景里，学生见不到“连续函数〞，见不到“区间端点的函数值异号〞，见不到“函数零点〞，见不到“方程〞，见不到“方程的解〞等等．对此产生了两种观点：观点1：认为“猜价格〞游戏不具有“二分法〞的必要因素与必要形式，所以，现实情景与数学容必然是两皮．观点2：认为“猜价格〞游戏与“二分法〞可以建立起数学联系，问题只在于教学没有组织学生去建立联系，教师也没有发挥出主导作用．你赞成哪一个观点，说明你赞成的理由．〔提炼二分法也是题〕讲解这是一个问题，谁来答复？要由数学界来答复．怎样答复？数学建模．下面是一个数学化的提练过程〔表达观点2〕： 〔1〕设商品的价格为元，它在元与元之间〔〕，人猜的价格为元，得连续函数，定义域为；并且．“人猜对〞对应着方程的根．〔2〕取中点〔实践中多取靠近中点的整数〕，假设猜得高了，说明，则在区间上再取中点；假设猜得低了，说明，则在区间上再取中点．〔3〕余此类推，区间长度越来越小，也就是猜的价格越来越接近真实价格，所猜的价格是方程的近似解；猜对时就是方程的准确解．〔4〕于是，我们可以用不断取中点的方法来求方程的近似解——“二分法〞．这里，有函数与方程的思想，近似、逼近的思想，数形结合的思想，特殊与一般的思想，程序化地处理问题的算法思想等．例5-2 大家都说在“二分法〞课题的教学中有“数形结合〞的数学思想，请就“用二分法求方程ln*+2*-6=0的近似解〞具体说明“二分法〞课题中是怎样的“由数到形〞的．〔具体理解数学思想也是题〕解这里，既有“由数到形〞、又有“由形到数〞，是一个双流向的“数形结合〞．〔1〕由数到形．经历：方程的解——方程组的解——函数零点——函数图象与轴的交点．①首先是求一元方程的近似解．这是一个纯代数的问题，一维的、静态的．②令为，问题转化为二元方程组的解．这还是一个纯代数的问题，保持静态特征，但已经是二维的了，便于向坐标系过度．③把方程转变为函数，把方程转变为函数值为零．这虽然还是一个纯代数的问题，但已经是二维、动态的了．④通过坐标系把函数转化为图象，把转化为图象与轴的交点〔零点〕．这就把数变成了形，零点在轴的2与3之间．〔如图3〕可见，数式逐渐演变为形象，几何味越来越重、越来越浓．〔2〕由形到数．经历：坐标系——数轴——表格——二分法．①坐标系．在二维坐标系上可以看到函数的图象与轴的交点〔零点〕，这个交点〔零点〕在轴的2与3之间．这是二维坐标系的形象．〔如图6〕图6②数轴．因为是找轴上的零点，考虑一维数轴上的区间[2，3]就够了，取区间[2，3]的中点，用区间套逐步逼近零点．这是一维数轴上的形象，零点在区间[2，3]上被逼近．〔参见图3中的轴〕③表格，把逼近的形象用数值反映出来，计算端点的函数值，填写在表格上，区间两端点的数值越来越接近零点．这就把一维形象通过表格呈现为数．④得出“二分法〞的一般程序．这是一维的纯代数表达．可见，形象逐渐演变为数式，代数味越来越重、越来越浓．例6直观猜测趋向于多少？〔合情推理也是题，参见文【4】〕例6-1 〔背景题：2010高考数学卷理科第4题〕〔　〕． 不存在　　　　　请猜一猜：，和会是多少？讲解 这应该是高中甚至大学生思考的问题吧？但大家听完我数形结合的演示之后，一定会对自己充满信心．演示2　〔直观、具体〕如图7，取的矩形，将其三等分，每个小矩形的面积为1，左右各放一等分，留下中间的小矩形〔实现求和的第1项〕；将中间小矩形三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形〔实现求和的第2项〕；……如此类推，则中间留下的局部面积趋于0，而左右两边小矩形面积之和趋于．………………图7演示2　〔半直观、半具体〕如图8， 取一条长度为3的线段，将其三等分，左右各放一等分〔实现求和的第1项〕；，留下中间的长度为1的小线段；将中间的小线段三等分，左右各放一等分〔实现求和的第2项〕，留下中间的小线段；……如此类推，则中间留下的的小线段越来越短、无限接近于0，而左右两边的小线段长度之和趋于3，于是，左边的小线段长度之等于右边的小线段长度之和、都趋于．……………………图8演示3　〔应用〕自己在找. 图9推广 请猜一猜：，和会是多少？讲解 取一条长线段，将其等分，把等份分别给个同学〔实现求和的第1项〕，留下1等份；将留下的小线段等分，把等份分别给个同学〔实现求和的第2项〕，留下1等份；……如此类推，则留下的小线段越来越短、无限接近于0，而个同学的小线段之和越来越长、无限接近于．于是，每个同学的小线段之和趋于．我们认为，这个演示有助于渗透辩证思维，如数与形，特殊与一般，有限与无限，量变与质变等．〔罗增儒．无穷过程的直观演示[J]．中学数学研究〔〕．2012，2〕例7阅读下述事实，先给出数学解释，然后对自身的解题活动写一篇认知分析小论文． 〔1〕事实：网上发布了“明天气温是今天气温的2倍〞的信息，各地有不同的反响： ●一位南方的网友作出的第一反响是：“明天升温了〞； ●一位北方的网友作出的第一反响是：“明天降温了〞；●另一位北方的网友作出的第一反响是：“明天的气温没有变化〞．请从数学上解释为什么会有不同的反响．〔2〕认知分析小论文：在上述数学活动中，无论你作出了何种解释，你一定都进展了认真的数学思考，并积累起数学活动经历．请把你做了什么、怎样做的、做得怎么样等进展自觉的反思与理论的小结，然后写成不少于600字的教育叙事，充分展示你的数学功底和教育理论修养．〔2009年本科师生选修课考试题，提供解释也是题〕讲解 这个问题的数学背景是实数的三岐性．设今天的气温为，则明天的气温为，将两天的气温作比拟，有所以，位于不同环境的人作出了不同的反响．学生在写作小论文时谈到了：〔1〕网友获得的不仅仅是“明天的气温是今天气温2倍〞这12个字，人对输入的信息总是以已有知识经历为根底，对信息进展主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征．〔建构主义〕 〔2〕表达了数学与生活的联系．〔3〕表达了环境与认知的关系．〔4〕是一个微型数学建模．〔5〕有助于“数感〞的培养．等例8是指数函数吗？〔概念的理解也是题，参见文【5】〕讲解第一种观点认为是，根据定义，它就是的指数函数．第二种观点认为不是，它是与的复合函数．它与相等，只说明它们是两个相等的函数．第三种观点认为，取决于对表达式中的先与运算还是先与运算：，假设则是复合函数，假设则是指数函数．分歧的实质是对函数概念的理解．我们说，〔1〕指数函数的定义是说：只要定义域为全体实数，对应关系能表达为指数形式的函数都叫做指数函数．〔2〕代数式注重外形，函数注重对应关系的本质，两者是不同的．对代数式根据外形称为分式，虽然它等于整式；而函数不宜称为分式函数，其对应关系是“自变量的平方加1〞．同一个对应关系可以有不同的表达方式〔列表、图象、多个解析式〕，只要定义域也一样就是一个函数，而不是“两个相等的函数〞．〔 定义域一样，对应关系一样，就是一个函数〕所以，我们 赞成是指数函数．同理可以讨论函数是不是对数函数．这几个小例子已经从单纯解答别人的题转变到也自己提出问题〔编题、猜测、提炼命题〕，已经从单纯获得结果转变到兼而经历过程〔提炼二分法、理解数形结合〕，已经从形式化习题的形式化解法转变到也提炼方法、理解概念、提供解释，已经从单纯算答案转变到也写教育叙事．而对这几个数学题的讲解亦已经涉及到解题和解题教学了．3数学解题3-1 数学解题的初步界定解题就是“解决问题〞，即求出数学题的答案，这个答案在数学上也叫做“解〞，所以，解题就是找出题的解的活动．小至一个学生算出作业的答案，一个教师完成概念的构建、定理的证明、例题的讲解，大至一个数学课题得出肯定或否认的结论，一个数学技术应用于实际、构建出适当的模型等，都叫做解题．“如何给出一个非语言极限的定义〞这是一个题，景中院士给出了“极限概念的非语言定义法〞就是解了一个题．〔特别提醒：构建概念、论证定理也是解题！〕这种界定很好理解，但只是对解题作了形式上的描述，而对数学解题的实际过程或思维实质缺少提醒〔可以背熟，但可能连一道题都解不了〕．出于对解题的过程与性质的不同认识，人们还对解题谈了很多更具实质性的看法．〔详见文【2】第二章〕3-2 数学解题的深入理解〔1〕常规的数学题包括两个要素：条件与结论．解题就是沟通条件与结论之间的联系〔演算或论证〕，又包括解和解题依据〔论据〕，因此解题一共有4个要素：①条件，②结论，③解〔沟通条件与结论的联系〕，④解题依据．〔2〕解题就是将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程．〔3〕解题是一种心理活动，即面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理方法的一种心理活动．〔4〕波利亚说：解题就是“解决问题〞，即求出问题的答案．“掌握数学就是意味着善于解题〞．波利亚的"怎样解题表"把解题分解为4个步骤：弄清问题，拟定方案，实现方案，回忆．〔解题化归论〕〔5〕弗里德曼认为：解数学题，这就是要找到一种一般数学原理的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论，得到习题所要的东西，即习题的答案：〔解题推理论〕〔6〕如图10，数学解题就是解题者在数学思想方法的指导下，运用数学根底知识和数学根本技能分析问题、解决问题的过程．它是促使学生熟练掌握根底知识、根本技能、根本方法，积累根本经历，开展智力，特别是数学思维能力，培养良好的心理品质的重要手段．图10〔7〕解题是这样一个三位一体的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合．这三个步骤往复循环、依信息的反响而由大脑来调节．〔解题信息论〕可示意为一个框图：图11〔8〕解题就是消除目标差的过程．如果我们把系统的现状与系统运动要到达的目标之间的差异称为目标差，则，解题的本质就在于设计一个目标差不断减少的过程．即通过系统不断地控制后果与目标作比拟，使得目标差在一次又一次的控制中慢慢减少，最终到达解题的目的．〔解题差异论〕〔9〕在解题坐标系上，解题是连结条件与结论间的一条折线．〔解题坐标系〕〔参见图12〕图12〔10〕解题的心理机制是这样一个“扩散——激活〞的过程：在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些知识点，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进展筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．〔参见图12〕． 4 数学解题的根本过程我们把寻找习题解答的活动叫做解题过程．解题过程不仅仅是“书写解答〞，它应该包括从拿到题目到完全解出的所有环节或每一步骤，通常有四个根本的阶段〔看题、想题、答题、回题〕：理解题意、思路探求、书写解答、回忆反思．科学把握好这四个阶段是一种良好的解题习惯．应该说，大家对这个自然的过程并不陌生，问题在于，能不能够给学生说清楚、讲明白、做到位．比方：大家都知道解题的首要前提是审题，但审题“审什么、怎么审〞能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的思维核心是思路探求，但探求“探什么、怎么探〞能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道解题的最终呈现是书写，但书写“写什么、怎么写〞能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？大家都知道学会解题的好途径是反思，但反思“思什么、怎么思〞能够给学生说清楚、讲明白、做到位吗？4-1 理解题意理解题意也叫做审题，主要是弄清题目已经告诉了你什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样解这道题〞的逻辑起点、推理目标、及沟通起点与目标之间联系的更多信息．特别要抓好“审什么的三个要点、怎么审的四个步骤〞．〔1〕“审什么的三个要点〞是： 要点1：弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何．首先，条件包括明显写出的和隐蔽地给予的，弄清条件就是要把它们都找出来；其次，也是更重要的，是弄清条件的数学含义，即看清楚条件所表达的到底是哪些数学概念、哪些数学关系；有时，明显写出的条件是非实质的，还要清醒地排除．题目的条件告诉我们从何处下手、预示“可知〞并启发解题手段，弄清了条件就等于弄清了行动的起点、也准备好了行进中的加油站． 要点2：弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何．题目的结论有的是明显给出的，如“求证〞题〔还有选择题等〕，关键是要弄清结论到底与哪些数学关系、哪些数学概念有关；而有的题目结论是要我们去寻找的，如“求解〞题、探索题〔还有填空题等〕，这时的弄清结论，就是要弄清“求解〞〔探索〕的性质或围，它们与哪些数学关系、哪些数学概念有关，以明确推理或演算的方向．题目的结论告诉我们向何方前进、预告“需知〞并引导解题方向．弄清了结论就等于弄清了行动的目标、也随身带上了纠正偏差的指南针．数学解题的心理活动总是由意识控制的、被目标支配的、受实践的目的制导的．要点3：弄清题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的构造．即在弄清条件的数学含义、结论的数学含义的根底上，继续弄清条件知识与结论知识之间存在哪些数学联系，这些联系就表现为题目的构造．为了更接近问题的深层构造，审题不仅开场于解题工作的第一步，而且贯穿于探求的过程与结果的反思．应该是循环往复、不断深化的过程． 题目的条件和结论是“怎样解这道题〞的两个信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下手、向何方前进的信息与启示．〔2〕“怎么审的4步骤〞是：步骤1：读题——弄清字面含义．审题首先要逐字逐句读懂题目说了什么，按每分钟阅读300 ~ 400个印刷符号的速度计算，通常读完一道题用不了一分钟，但未必读懂了，因而，还应该从语法构造、逻辑关系上作出分析，真正弄清哪些是条件，哪些是结论，各有几个，这是读题最实质性的工作．其次要从答题形式、数据要求上明确题目的技术性细节，比方在考试中，有的题目要求保存小数点几位等等，如果不按这些要求来，解答就会被认为不完整〔存在扣分的危险〕，虽然有的同学并非不会做．步骤2：理解——弄清数学含义．看懂题目的字面含义还不能算真正审清题意，它只是为实质性的数学理解扫清了语言障碍，关键是要能进展文字语言、符号语言、形象语言、表格语言之间的转化，从题目的表达中获取数学“符号信息〞，从题目的图形中获取数学“形象信息〞，弄清题目的数学含义．这当中，我们常常要“回到定义〞、激活相关的数学知识，常常要辅以图形或记号，使条件和结论都数学化，并被我们所理解． 步骤3：表征——识别题目类型．信息在大脑的呈现叫做表征．弄清条件、弄清结论的同时，条件与结论之间的关系会在头脑呈现，这种呈现不仅会激活相关的数学知识，而且也会调动相关的解题经历．对于大量的常规题来说，条件与结论之间的关系构造是记忆储存所现成的——每个人的头脑里都或多或少、或优或劣储存有根本模式与经典题型，题意弄清楚了，题型就得以识别，提取该题型的相应方法即可解决〔叫做模式识别〕．即使是新的“陌生情景〞，我们也有了解决它的逻辑起点与推理目标，继而可以用“差异分析〞、“数形结合〞等措施，进入下一阶段——思路探求．〔见图13〕解题所做的脑力工作就在于回忆他的经历用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．步骤4：深化——接近深层构造．简单题一旦弄清题意，题型就得以识别，思路随之打通，但有时认识是浅层的．对于变通过的、“形似而质异〞的、或综合性较强的题目，则还要不停顿地“弄清问题〞．因而，“弄清题意〞的工作在“识别题目类。