一元二次方程知识点总结

21章 一元二次方程知识点一、一元二次方程 1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程 注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程二、 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解一元二次方程的解也叫一元二次方程的根一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根三种类型：（1）的解是； （2）的解是； （3）的解是2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 （一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1） 把一元二次方程化成一般形式（2） 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3） 把原方程变为的形式4） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式 (2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； （3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式； （4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法一元二次方程的求根公式：用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；并判断方程根的情况；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0（即化为一般式）；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解关键点：（1）要将方程右边化为0（即化为一般式）；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）、十字相乘法注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦三、一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0（2）方程有两个相等的实数根=0（3）方程没有实数根﹤0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件四、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 如果方程的两个实数根是，那么，   ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解． ⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4 ⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 6．一元二次方程解的情况 ⑴b2－4ac≥0Û方程有两个不相等的实数根； ⑵b2－4ac=0Û方程有两个相等的实数根； ⑶b2－4ac≤0Û方程没有实数根 解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围  考点3：根与系数的关系:韦达定理    对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1 +x2 =—ab，x1●x2= ac 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商五、一元二次方程的应用知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答关键点：找出题中的等量关系一、一元二次方程的有关概念1．的一般形式是 ，其中二次项是 ， 一次项系数是 2．当= 时，方程有一根是0.3．若（b—1）2+a2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（ ）（A） ax2+5x – b=0（B） (b2 – 1)x2+(a+4)x+ab=0 （C）(a+1)x – b=0 （D）(a+1)x2 – bx+a=04.关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.5．方程（m－2）x＋x－4＝0是一元二次方程，则m的值为 6．已知 ,是关于的二次方程, 则＝ 7．已知是方程的一个根，则a=________，另一个根为_________；8．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 9．关于x的一元二次方程,当a+b+c=0时，方程的根为_____；当方程的一根为—1时，a,b,c满足的条件是______二、一元二次方程的解法1．方程的根是 2．已知代数式4x2 – 14=50, 则x的值为 2．8块相同的长方形地砖拼成面积为2400㎝2的矩形ABCD（如图），则矩形ABCD的周长为（ ）（A） 200㎝（B）220 ㎝（C）240 ㎝（D）280㎝3．已知关于x的二次方程（m+1）x2+3x+m2 – 3m – 4=0的一个根为0，求m的值4．请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ， 5．分式的值是0，则；6．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化为 D.3y2-4y-2=0化为7．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（　）．A.若x2=4，则x＝2 B.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则 D.若分式的值为零，则x＝1，28．方程的根是___________；方程的根是_____________；方程 的根是 ；方程x2-1=0的根为________； 的根是______ 9．设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 10.方程两根的平方和 倒数和 11．已知实数满足 ,那么的值为 12．已知方程（x+a）（x-3）=0和方程x2-2x-3=0的解相同，则a=_________14．等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为 （ ）A. 27 B. 33 C. 27和33 D. 以上都不对15．若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为 .16．请写出一个根为x= - 1，另一根满足的一元二次方程 一元二次方程解法练习题一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。

1、 2、 3、 4、二、用配方法解下列一元二次方程1、. 2、 3、 4、5、 6、 7、 三、用公式解法解下列方程1、 2、 3、4、 5、 6、 四、用因式分解法解下列一元二次方程1、 2、 3、 4、 5、 6、 7． 五、用适当的方法解下列一元二次方程1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13. 14. 15. x2+4x-12=0 16. 17. 18、3x2+5(2x+1)=0 19、 20、 三、一元二次方程根的判别式1．关于x的方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 .2．若关于x 的方程x2 – 2 (a –1 )x = (b+2)2有两个相等的实根，则a2004+b5的值为 3．若关于x的方程x2 – 2x(k-x)+6=0无实根，则k可取的最小整数为______________4．方程的根的情况是__________5 ．关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是 6．. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）7．关于的一元二次方程有两个相等的实数根,那么以a、b、c为三边的三角形是( )A、以为斜边的直角三角形 B、以为斜边的直角三角形C、以为底边的等腰三角形 D、以为底边的等腰三角形 8．关于的一元二次方程的根的情况是 ( )A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实数根 D. 不能确定9．已知关于的方程有两个相同的实数根，则的值是 ．10．关于的一元二次方程 有两个实数根，则的取值范围是 。

11 .已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果为____13．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值等于 .14．如果关于x的方程有实数根，则实数的取值范围是 ．15．求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.16.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由四、一元二次方程根与系数的关系1、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数； 当m= 时，两根互为相反数.2、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则 .x12+x22= .3、若x1 =是二次方程x2+ax+1=0的一个根，则a= ，该方程的另一个根x2 = .4、方程x2+2x+a–1=0有两个负根，则a的取值范围是 5、若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则 .6、已知方程的两根平方和是5，则= .7、如果把一元二次方程 x2–3x–1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是 .8.方程的两个根分别是两个根的一半，则；9．如果α、β是一元二次方程x2＋3x－2＝0的两个根，则α2＋2α－β的值是 ．10．已知三角形两边长是方程的两个根，第三边=3,则三角形的的周长是 考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a(1±x）2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。

注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成本⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．C二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽． 解：设与墙相接的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得 ， ∴ 又∵ 当时，当时，＞15 ∴不合题意，舍去．∴ 答：花圃的长为13米，宽为10米．【考题2】（2009、襄樊）为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为（） A.9﹪ B.10﹪ C. 11﹪ D.12 ﹪ 解：设年增长率为x，根据题意得10(1+x)=12.1，解得x1=0.1，x2 =－2.1．因为增长率不为负，所以x=0.1。

故选D考题3】（2009、海口）某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500－2 0 x)（10+x）=6000．整理，得x－15x＋50=0．解这个方程，x=5，x=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克应涨价5元．． 点拨：①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况． 【考题4】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.（1）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于4？（2）如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？PQBCA 解：（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于4， 则由题意得AP=x，BP=5－x，BQ=2x, 由BP·BQ=4，得（5－x）·2x=4， 解得，x=1，x=4． 当x=4时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。

故x=1 （2）由BP+BQ=5得（5－x）+（2x）=5, 解得x1=0（不合题意），x2=2．所以2秒后，PQ的长度等于5三、针对性训练：1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2．合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？3．在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为540米2，道路的宽应为多少？32m20m4．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%）5．如图12-3，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。

1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使△ABQ的面积等于8cm2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在AC边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6 cm2解：依题意，得：（6-x）·2x=8解这个方程得：x1=2，x2=4即经过2s，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；经过4s，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处故本小题有两解2）设经过x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14-x）cm,点Q移动到CA上，且命名CQ=（2x-8） cm，过Q作QD⊥CB于D∵△CQD∽△CAB，∴，即QD=依题意，得：（14-x）·=12.6，解这个方程得：x1=7，x2=11经过7s，点P在BC距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使S△PCQ=12.6cm2经过11s，点P在BC距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处， ∵14＞0,点Q已超出CA范围，此解不存在故本题只有一解例1、某种商品原价50元因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 .思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月平均涨价率为，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+）（1+）即50×（1—10%）×（1+），由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。

解：设4、5月份两个月平均涨价率为，由题意，得50×（1—10%）×（1+）=64.8整理，得（1+）=1.44.解得：（不合题意，舍去）所以4、5月份两个月平均涨价率为20%解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.思维点击：设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式.解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得(60－2x) (40－2x) ＝800.原方程可写成：解这个方程，得如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此不符合题意，应舍去答：截去正方形的边长为10厘米温馨提示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答.范例探究★基础思维探究探究点1、与图形有关的问题例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为300的矩形场地．组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物．问这个场地的各边长为多少？思维点击：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据矩形面积公式可列出方程式． 解：设与院墙垂直的边长为x m，则与院墙平行的边长为(55-2x)m，根据题意得：． 整理，得.解方程，得当x＝20，即与院墙垂直的边长为20米时，另一边长为20米，即与院墙平行的边长为15米．当x＝15，即与院墙垂直的边长为15米时，另一边长为25米，即与院墙平行的边长为25米．由于校园的院墙长20米，20＜25，所以此解不合题意，应舍去．答：与院墙垂直的边长为20米，与院墙平行的边长为15米．温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m，则与院墙垂直的边长为m ．根据矩形面积公式也可以列出方程式．但出现了分数，不如前一种设法好．探究点2、利润问题例2、某商场服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？思维点击：每天售出的童装件数×每件童装的利润=每天这种童装的总利润解：设每件童装应降价元，根据题意，得化简，得，解得因为要尽快减少库存，所以应取20答：每件童装应降价20元温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍探究点3、增长率问题例3、某厂1月份生产零件 2 万个，第一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率思维点击：解：设每月的平均增长率为x，依题意，得2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98经整理，得100x2+300x-99=0，解得x1=0.3=30%，x2=-3.3不合题意，舍去答：每月的增长率为30%温馨提示：（1）解本题的关键是理解“7.98 万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注意审题；（2）牢记公式，为增长率（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量.★综合思维探究例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2，那么水渠应挖多宽？ 图1 图2思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。

如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（162－2x）米，宽为（64－4x）米解：设水渠应挖x米宽，则根据题意，得答：水渠应挖1米宽温馨提示：此类问题可采用“靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的化归思想.★创新拓展思维探究例5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关⑴甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为60%，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？⑵乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？思维点击：（1）机械设备实际耗油量为用油量-重复使用的用油量；（2）若设技术革新后的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，则比技术革新前下降了（90-x）千克，从而重复利用率增加了，这样，就可以根据题意列出方程。

解：（1）由题意，得（千克）2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，由题意，得，整理，得，解得：（舍去），答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.解后反思：本题考查了考生灵活利用一元二次方程解决实际问题的能力。