(人教A版选择性必修第二、三册)专题3单变量存在恒成立与存在性问题-(学生版)

单变量恒成立与存在性问题 恒成立问题、存在性问题归根到底是最值问题.1 恒成立问题(1)∀x∈D,fx≥0恒成立⟺在D上的fxmin≥0；(2)∀x∈D,fx≤0恒成立⟺在D上的fxmax≤0；2 存在性问题(1)∃x∈D,fx≥0恒成立⟺在D上的fxmax≥0；(2)∃x∈D,fx≤0恒成立⟺在D上的fxmin≤0；3常见处理方法方法1 直接构造函数法：求fx≥g(x)恒成立⇔hx=fx-gx≥0恒成立.方法2 分离参数法：求fx≥a∙g(x) (其中gx>0)恒成立⇔a≤fxgx恒成立. 方法3 变更主元：题型特征(已知谁的范围把谁作为主元)；方法4 数形结合法：求fx-gx≥0恒成立⇔证明y=f(x)在y=g(x)的上方；方法5 同构法：对不等式进行变形，使得不等式左右两边式子的结构一致，再通过构造的函数单调性进行求解；方法6 放缩法：利用常见的不等式或切线放缩或三角函数有界性等手段对所求不等式逐步放缩达到证明所求不等式恒成立的目的；学习各种方法时，要注意理解它们各自之间的优劣性，有了比较才能快速判断某种题境中采取哪种方法较简洁，建议学习时一题多解，多发散思考.方法1 直接构造函数法与分离参数法以下通过几题让大家感觉下直接构造函数法与分离参数法的优劣性！【典题1】 若alnx+12x2-1+ax≥0恒成立，求a的取值范围. 【典题2】已知函数fx=ex-ax-1．(1)当a=1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)≥x2在[0 ,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【典题3】设fx=xex-1-ax2，(1)若a=12，求fx的单调区间；(2)若当x≥0时，fx≥0恒成立，求a的取值范围.1 (★★) 已知函数f(x)=ex+ax，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为 .2 (★★) 已知函数f(x)=1+ln(1+x)x(x>0)，若f(x)>kx+1恒成立，则整数k的最大值为 .3 (★★)已知函数f(x)=xlnx．(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有fx≥ax-1，求实数a的取值范围．4 (★★)已知函数f(x)=(x2-1)ex，其中a∈R．(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程；(2)∀x≥0，fx≥ax-1，求实数a的取值范围．5 (★★★)已知函数f(x)=(m-lnx)x(x>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若fx-2x-m<0恒成立，求正整数m的最大值．参考数据：ln5≈1.61．6 (★★★)已知函数f(x)=eaxbx在x=1处取得极值e．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式kx+lnx≤x2fx-1在(0 ,+∞)上恒成立，求实数k的取值范围．方法2 变更主元法【典题1】 若不等式mx2-2x+1-m<0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围．1 (★★)已知定义在R上的函数fx=ax3-2ax2+b(a>0)在区间[-2 ,1]上的最大值是5，最小值是-11．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若t∈[-1 ,1]时，f'(x)+tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．2 (★★★)设函数y=f(x)在区间D上的导数为f'(x)，f'(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，gx<0恒成立，则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，fx=x412-mx36-3x22.(1)若y=f(x)在区间[0,3]上为“凸函数”，求m的取值范围；(2)若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”，求b-a的最大值.方法3 数形结合法【典题1】已知函数fx满足fx=f'1ex-1-f0x+12x2，若fx≥12x2+ax+b，求(a+1)b的最大值.【典题2】已知函数fx=aex-lnx-1，若f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　．1(★★) 已知函数fx=a-12x2-2ax+lnx.当x∈(1,+∞)时，不等式fx<0恒成立，则实数a的取值范围是________．2(★★★) 设函数f(x)=lnx－mx2+2x，若存在唯一的整数x0使得f(x0)>0，则实数m的取值范围是　 　．3(★★★) 已知fx=(ex-a)(3ax+1)，若fx≥0(x∈R)成立，则满足条件的a的个数是 .4(★★★) 若ax+cosx≤1+sinx，x∈[0,π]，则实数a的取值范围是　 　．方法4 同构法【典题1】已知函数f(x)=emx-1mlnx，当x>0时，f(x)>0恒成立，则m的取值范围为 .【典题2】已知函数fx=x+alnx+e-x-xa(a<0)，若f(x)≥0在x∈[2 ,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为 . 1(★)已知a>0，若alnx≤xlna恒成立，则a的值是　 　．2(★★★) 若关于x的不等式ex-alnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为　 　．3(★★) 证明：xex≥x+lnx+1．4(★★★) 函数fx=xex-ax2,gx=lnx+x-x2+1-ea，a>1时，fx-agx≥0恒成立，求a的范围. 方法5 放缩法【典题1】已知函数fx=mex-lnx-1(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当m≥1时，证明fx>1.1(★★)求证:当n≥2且n∈N*时，lnn>12+13+…+1n.2(★★★)已知函数fx=xex﹣2lnx-x2+x-2．(1)求函数f(x)图象在x=1处的切线方程；(2)证明：fx>0．3(★★★) 设函数fx=lnx+ax-1a>0(1)当a=130时，求函数fx的单调区间；(2)当a≥12，x∈(1,+∞)时，求证lnx+ax-1>1.。