2022余弦定理说课稿汇编5篇

2022余弦定理说课稿汇编5篇回余弦定理说课稿篇1一、 教材分析：（说教材）《余弦定理》是全日制中等教育国家规划教材（人教版）数 学第一册中第六章平面向量第六部分余弦定理是欧氏空间度量 几何的最重要定理，是解斜三角形的重要定理，是整个测量学的 基础余弦定理是勾股定理的推广，可用解析法、向量法等方法 证明余弦定理主要能解决有关三角形的三类问题:1）、已知 两边及其夹角，求第三边和其他两个角2）、已知三边求三个 内角；3）、判断三角形的形状以及相关的证明题二、 说教学思路本着数学与专业有机结合的指导思想，让数学服务于专业的 需要以及最大限度的提高学生的学习兴趣，在本节课，我不是 将余弦定理简单呈现给学生，而是创造设情境，设计了与机械相 关联并具有爱国主题的二个任务，通过任务驱动法教学，极大提 高了学生的学习兴趣，激发学生探索新知识的强烈求知欲望，在 完成数学教学任务的同时，强化了数学与专业的有机结合，培养 了学生将数学知识运用于自身专业中的能力同时通过任务驱 动，培养了学生自主探究式学习的能力；提升解决实际实际问题 的能力因为所设计的两个任务具有爱国主义题材，学生在完成 知识学习的同时，也极大的激发了爱国主义精神。

三、说教法在确定教学方法前，首先要求教师吃透教材，选择恰当的教 学方法和教学手段把知识传授给学生本节课主要采用任务驱动 法、引导发现法、观察法、归纳总结法、讲练结合法并采用电 教手段使用多媒体辅助教学1.任务驱动法教师精心设计与机械专业相关联的二个任务，作为贯穿整节 课的主线，通过具体任务的完成，提高学生学习的兴趣，激发求 知欲，启发学生对问题进行思考在研究过程中，激发学生探索 新知识的强烈欲望提升解决实际总是的能力，并极大的激发了 爱国主义精神2. 引导发现法、观察法通过对勾股定理的观察和三角形直角的相关变形，学生从中 受启发，发现余弦定理，并证明它3. 归纳总结法学生通过前期的探索研究，自主归纳总结出余弦定理及其推 论及判断三角形形状的相关规律4. 讲练结合法讲授充分发挥教师主导作用，引导学生自主学习练习让学 生从多角度对所学定理进行认知，及时巩固所学的知识，锻炼了 解决实际问题的能力，发挥出学生的主观能动性，成为学习的主 体四、 说学法学生学法主要有观察、分析、发现、自主探究、小组协作等 方法经教师启发、诱导，学生通过观察与分析去发现并证明余 弦定理，培养归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力，训练思 维品质。

五、 教学目标（一） 知识目标1、 使学生掌握余弦定理及其证明2、 使学生初步掌握应用余弦定理解斜三角形1（二） 能力目标1、培养学生在本专业范围内熟练运用余弦定理解决实际问 题的能力2、通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养 学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力3、通过对余弦定理的推导，培养学生的知识迁移能力和建 模意识，及合作学习的意识三）德育目标1、 培养学生的爱国主义精神、及团结、协作精神2、 通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系 理解事物之间普遍联系与辩证统一六、 教学重点教学重点是余弦定理及应用余弦定理解斜三角形；七、 教学难点分析勾股定理的结构特征，从而突破发现余弦定理，应用余 弦定理解斜三角形八、教学过程教学中注重突出重点、突破难点，从五个层次进行教学创设情境、任务驱动；引导探究、发现定理；完成任务、应用迁移；拓展升华、交流反思；小结归纳、布置作业一） 、导入1. 教师创设情境设置二个任务，做为贯穿本课的主线和数 学与专业有机结合的钮带，通过完成这二个任务，达到掌握余弦 定理并学会应用的目标2. 通过与直角三角形勾股定理引出余弦定理（快乐起点）经 教师启发、诱导，学生通过探索研究，合理猜想来发现余弦定理。

二） 、新课3. 证明猜想，导出余弦定理及余弦定理的变形经过严密逻辑推理证明得出余弦定理，这一过程中，锻炼了 学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力4. 解决二个任务5. 操作演练，巩固提高6. 小结：通过学生口答方式小结，让学生强化记忆，分清重点，深化 对余弦定理的理解7. 作业：分层布置作业，根据不同层次学生将作业分为必做题和选做题使不同程度的学生都有所提高九、板书设计板书是课堂教学重要部分，为再现知识体系，突出重点，将 余弦定理知识体系展示在板书中，利于学生加深印象，理清思路十、课后反思在教学设计上，采用任务驱动，教师精心设计与机械专业相 关联的二个任务，作为贯穿整节课的主线，通过具体任务的完成， 即提高学生学习的兴趣，又激发求知欲；知识点学习则循序渐进， 符合学生的认知特点经教师启发、诱导，学生通过观察、分析、 发现、自主探究、小组协作等方法在获取新知的同时，培养了归 纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力回余弦定理说课稿篇2一、教材分析1. 地位及作用〃余弦定理〃是人教A版数学必修5主要内容之一，是解决有 关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中〃勾股定理〃内容 的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中 的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生 产、生活实际问题的重要工具具有广泛的应用价值，起到承上启 下的作用。

2. 教学重、难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路二、 教学目标知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已 知〃边，角，边〃和〃边，边，边〃两类三角形能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运 用所学知识解决实际问题的能力情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程 体验数学在实际生活中的运用，激发学生学习数学的兴趣通过 主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学 的理性和严谨 教学方法数学课堂上首先要重视知识的发生过程，既能展现知识的获 取，又能暴露解决问题的思维在本节教学中，我将遵循〃提出 问题、分析问题、解决问题〃的步骤逐步推进，以课堂教学的组 织者、引导者、合作者的身份，组织学生探究、归纳、推导，引 导学生逐个突破难点，师生共同解决问题，使学生在各种数学活 动中掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和 思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣四、教学过程本节教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验， 让学生经历〃现实问题转化为数学问题〃的过程，发现新的知识， 把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。

又通过 实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑 的能力和增强了研究探索的综合素质帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识等方面进行分析 讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论你能够有更 好的具体的量化方法吗？问题可转化为已知三角形两边长和夹 角求第三边的问题，即：在 中已知AC=b,AB=c和A,求a.学生对向量知识可能遗忘，注意复习；在利用数量积时，角 度可能出现错误，出现不同的表示形式，让学生从错误中发现问 题，巩固向量知识，明确向量工具的作用同时，让学生明确数 学中的转化思想：化未知为已知将实际问题转化成数学问题， 引导学生分析问题在 中已知a=5,b=7,c二8,求B.学生思考或者讨论，若有同学答则顺势引出推论，若不能作 答则由老师引导推出推论，然后返回解决该问题让学生观察推论的特征，讨论该推论有什么用回余弦定理说课稿篇3大家好，今天我向大家说课的题目是《余弦定理》下面我 将从以下几个方面介绍我这堂课的教学设计一、教材分析本节知识是职业高中数学教材第五章第九节《解三角形》的 内容，与初中学习的勾股定理有密切的联系，在日常生活和工业 生产中也时常有解三角形的问题，在实际测量问题及航海问题中 都有着广泛的用，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时 常考一些解答题。

并且在探索建立余弦定理时还用到向量法，坐 标法等数学方法，同时还用到了数形结合，方程等数学思想因 此，余弦定理的知识非常重要特别是在三角形中的求角问题中 作用更大做为职业高中的学生必须学好学透这节知识根据上述教材内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特 征及原有知识水平，制定如下教学目标：① 理解掌握余弦定理，能正确使用定理② 培养学生教形结合分析问题的能力③ 培养学生严谨的推理思维和良好的审美能力教学重点：定理的探究及应用教学难点：定理的探究及理解二、 学情分析对于职业高中的高一学生，虽然知识经验并不丰富，但他们 的智利发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和 演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发和探讨以符合这 类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展三、 教法分析根据教材的内容和编排的特点，为更有效地突出重点，突破 难点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，本讲遵照以教 师为主导，以学生为主体，训练为主线的指导思想，采用探究式 课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生 独立自主和合作交流为前提，以“余弦定理的发现”为基本探究 内容，让学生的思维由问题开始，到发想、探究，定理的推导， 并逐步得到深化。

突破重点的手段：抓住学生情感的兴奋点，激 发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，以及及时地鼓励， 使他们知难而进另外，抓知识选择的切入点，从学生原有的认 知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给以适当的提 示和指导突破难点的方法：抓住学生的能力线，联系方法与技 能使学生较易证明余弦定理，另外通过例题和练习来突破难点， 注重知识的形成过程，突出教学理念的创新四、 学法指导：指导学生掌握“观察一一猜想一一证明一一应用”这一思维 方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自 己所学知识应用于对任意三角形性质的探究让学生在问题情景 中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体 现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形 成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神五、 教学过程第一：创设情景，大概用2分钟第二：实践探究，形成定理，大约用25分钟第三：应用定理，拓展反思，大约用13分钟（一）创设情境，布疑激趣“兴趣是最好的'老师”，如果一节课有个好的开头，那就 意味着成功了一半，从用正弦定理可解的两类三角形出发，揭示 勾股定理特点，说明正弦定理解三角形不完备，还有用正弦定理 不能直接求解的三角形，应怎样解决呢？需要我们继续探究，引 出课题。

二）逻辑推理，证明猜想提出问题，探究问题，形成定理，回顾分析，形成结论，再 认识结论，总结用途变形延伸，培养发散，对比特殊，认知推 广落实定理，构建定理应用体系三） 归纳总结，简单应用1・让学生用文字叙述余弦定理，引导学生发现定理具有对 称和谐美，提升对数学美的享受2•回顾余弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形 的问题四） 讲解例题，巩固定理1、 审题确定条件2、 明确求解任务3、 确定使用公式4、 科学求解过程五） 课堂练习，提咼巩固1. 在厶ABC中，已知下列条件，解三角形.（1）A=45° ,C=30° ,c=10cm(2)A=60° ,B=45° ,c=20cm2. 在厶ABC 中,已知下列条件，解三角形.（1） a=20cm,b=llcm,B=30°（2） c=54cm,b=39cm,C=115°学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答六） 小结反思，提高认识通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？1•用向量证明了余弦定理，体现了数形结合的数学思想2•两种表达3•两类问题七） 思维拓展，自主探究利用余弦定理判断三角形形状，即余弦定理的推论回余弦定理说课稿篇4尊敬的评委老师们：你们好，我今天说课的题目是余弦定理，（说教材）〃余弦 定理〃是人教A版数学第必修5主要内容之一，是解决有关斜三 角形问题的两个重要定理之一，也是初中〃勾股定理〃内容的直接 延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体 运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生 活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本节课是〃 正弦定理、余弦定理〃教学的第二节课，其主要任务是引入并证 明余弦定理，在课型上属于〃定理教学课〃.这堂课并不是将余弦定理全盘呈现给学生，而是从实际问题 的求解困难，造成学生认知上的冲突，从而激发学生探索新知识 的强烈欲望另外，本节与教材其他课文的共性是都要掌握定理内容及证明方法，会解决相关的问题下面说一说我的教学思路教学目的）通过对教材的分析钻研制定了教学目的：1. 掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法，会运用 余弦定理解决两类基本的解三角形问题2. 培养学生在方程思想指导下解三角形问题的运算能力3. 培养学生合情推理探索数学规律的思维能力4. 通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识的联系， 来理解事物普遍联系与辩证统一教学重点）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，（）是解三 角形的重要工具余弦定理是初中学习的勾股定理的拓广，也是 前阶段学习的三角函数知识与平面向量知识在三角形中的交汇 应用本节课的重点内容是余弦定理的发现和证明过程及基本应 用，其中发现余弦定理的过程是检验和训练学生思维品质的重要 素材教学难点）余弦定理是勾股定理的推广形式，勾股定理是余弦定理的特 殊情形，勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中，起到奠基作 用，因此分析勾股定理的结构特征是突破发现余弦定理这个难点 的关键。

教学方法）在确定教学方法之前，首先分析一下学生：我所教的是课改 一年级的学生他们的基础比正常高中的学生要差许多，拿其中 一班学生来说：数学入学成绩及格的占50%左右，相对来说教材难度较大，要求教师吃透教材，选择恰 当的教学方法和教学手段把知识传授给学生根据教材和学生实际，本节主要采用〃启发式教学〃、〃讲授 法〃、〃演示法〃,并采用电教手段使用多媒体辅助教学1. 启发式教学：利用一个工程问题创设情景，启发学生对问题进行思考在 研究过程中，激发学生探索新知识的强烈欲望2. 练习法：通过练习题的训练，让学生从多角度对所学定 理进行认识，反复的练习，体现学生的主体作用3. 讲授法：充分发挥主导作用，引导学生学习4. 演示法：利用动画、图片，激发学生的学习兴趣，调动 学生积极性这节课准备的器材有：计算机、大屏幕教学程序）1. 复习正弦定理（2分钟）：安排一名同学上黑板写正弦 定理2. 设计精彩的新课导入(5分钟)：利用大屏幕演示一座 山，先展示，后出现B、C,再连成虚线，并闪动几下，闪动边AB、AC几下，再闪动角 A的阴影几下，可测得AC、AB的长及ZA大小问你知道工程技术人员是怎样计算出来的吗？一下子，学生的注意力全被调动起来，学生一定会采用正弦 定理，但很快发现ZB、ZC不能确定，陷入困境当中。

3. 探索研究，合理猜想当AB=c,AC=b 一定，ZA变化时，a可以认为是A的函数， a=f (A)，Ae(0, n)比较三种情况，学生会很快找到其中规律2ab的系数-1、 0、1与A=o、n/2、n之间存在对应关系教师指导学生由特殊到一般，经比较分析特例，概括出余弦 定理，这种促使学生主动参与知识形成过程的教学方法，既符合 学生学习的认知规律，又突出了学生的主体地位〃授人以鱼〃， 不如〃授人以渔〃，引导学生发现问题，探究知识，建构知识，对来说，既是对数学研究活动的一种体验，又是掌握一种终身 受用的治学方法4. 证明猜想，建构新知接下来就是水到渠成，现在余弦定理还需要进一步证明，要 符合数学的严密逻辑推理，锻炼学生自己写出定理证明的已知条 件和结论，请一位学生到黑板写出来，并请同学们自己进行证明 教师在课中进行指导，针对出现的问题，结合大屏幕打出的正确过程进行讲解在大屏幕打出余弦定理，为了促进学生记忆，在黑板上让学 生背着写出定理，也是当堂巩固定理的方法5. 操作演练，巩固提高定理的应用是本节的重点之一我分析题目，请同学们进行 解答，在难点处进行点拨以第二题为例，在求A的过程中学生 会产生分歧，一部分采用正弦定理，一部分采用余弦定理，其实 两种做法都可得到正确答案，形成解法一和解法二。

在这道例题 中进行发散思维的训练，(在上例中，能否既不使用余弦定理， 也不使用正弦定理，求出ZA?)启发一：a视为B与C两点间的距离，利用B、C的坐标构 造含A的等式启发二：利用平移，用两种方法求出C'点的坐标，构造等 式使学生的思维活跃，渐入新的境界每次启发，或是针对一 般原则的提示，或是在学生出现思维盲点处点拨，或是学生〃简单一跳未摘到果子〃时的及时提醒6. 课堂小结：告诉学生余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律， 勾股定理是余弦定理的特例7. 布置作业：书面作业3道题作业中注重余弦定理的应用，重点培养解决问题的能力以上是我的一点粗浅的认识，如有不对之处，请老师评委们 给与指教，我的课说完了，谢谢各位回余弦定理说课稿篇5各位老师大家好！今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天 我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课下面我 分别从教材分析教学目标的确定教学方法的选择和教学过程 的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想一、 教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验 教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习 过了勾股定理平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本 节内容的学习起着铺垫作用。

本节内容实质是学生已经学习的勾 股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角 形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为 解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也 为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等 式提供了重要的依据在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦 定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及 证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用二、 教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学 学习的主人，教师是数学学习的组织者引导者与合作者”这一 基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节 课的教学目标有：1、 知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步 应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、 过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究 余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高 运用已有知识分析、解决问题的能力；3、 情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生 探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观 点解决问题的能力和意识、三、 教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》 中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启 发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发， 发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲 突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启 发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成 概念，获得方法，培养能力。

在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、 生动、形象的特点四、 教学过程的设计为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分 析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过 程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建 新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业具体过程如 下：1、 创设情境，引入课题利用多媒体引出如下问题：A地和B地之间隔着一个水塘现选择一地点C,可以测得的 大小及，求A、B两地之间的距离c设计意图】由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的 知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生 疑惑，激发学生探索欲望2、 探索研究、构建新知（1） 由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先 带领学生从特殊情况为直角三角形（）时考虑此时使用勾股 定理，得2） 从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三 角形中构造直角即作边的高，从而在构造的直角三角形中利用勾 股定理列出边之间的等式关系、（3）考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能 否推广到在为钝角三角形（）中通过解决问题可以得到在任意三角形中都有，之后让同学们 类比出……这样我就完成了对余弦定理的引入，之后总结给出余 弦定理的内容及公式表示。

设计意图】通过创设情景、引导学生探究出余弦定理这一 数学体验，既可以培养学生分析问题的能力，也可以加深学生对 余弦定理的认识、在学生已学习了向量的基础上，考虑到新课改中要求使用新 工具、新方法，我会引导同学类比向量法证明正弦定理的过程尝 试使用向量的方法证明余弦定理、之后引导学生对余弦定理公式 进行变形，用三边值来表示角的余弦值，给出余弦定理的第二种 表示形式，这样就完成了新知的构建根据余弦定理的两种形式，我们可以利用余弦定理解决以下 两类解斜三角形的问题：（1） 已知三边，求三个角；（2） 已知三角形两边及其夹角，求第三边和其他两个角3、例题讲解、巩固练习本阶段的教学主要是通过对例题和练习的思考交流、分析讲 解以及反思小结，使学生初步掌握使用余弦定理解决问题的方 法其中例题先以学生自己思考解题为主，教师点评后再规范解 题步骤及板书，课堂练习请同学们自主完成，并请同学上黑板板 书，从而巩固余弦定理的运用例题讲解：例1在中，(1) 已知，求；(2) 已知，求设计意图】例题1分别是通过已知三角形两边及其夹角求 第三边，已知三角形三边求其夹角，这样余弦定理的两个形式分 别得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的运用。

例2对于例题1(2)，求的大小设计意图】已经求出了的度数，学生可能会有两种解法： 运用正弦定理或运用余弦定理，比较正弦定理和余弦定理，发现 使用余弦定理求解角的问题可以避免解的取舍问题例3使用余弦定理证明：在中，当为锐角时；当为钝角时，【设计意图】例3通过对和的比较，体现了“余弦定理是勾 股定理的推广”这一思想，进一步加深了对余弦定理的认识和理 解课堂练习：练习1在中，(1) 已知，求；(2) 已知，求设计意图】检验学生是否掌握余弦定理的两个形式，巩固 学生对余弦定理的运用练习2若三条线段长分别为5, 6, 7，则用这三条线段()A、 能组成直角三角形B、 能组成锐角三角形C、 能组成钝角三角形D、 不能组成三角形【设计意图】与例题3相呼应练习3在中，已知，试求的大小设计意图】要求灵活使用公式，对公式进行变形4、课堂小结，布置作业先请同学对本节课所学内容进行小结，教师再对以下三个方 面进行总结：(1) 余弦定理的内容和公式；(2) 余弦定理实质上是勾股定理的推广；(3) 余弦定理的可以解决的两类解斜三角形的问题通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩 固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。

布置作业必做题：习题1、2、1、2、3、5、6；选做题：习题1、2、12、13设计意图】作业分为必做题和选做题、针对学生素质的差异进行分层训 练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高各位老师，以上所说只是我预设的一种方案，但课堂是千变 万化的，会随着学生和教师的临时发挥而随机生成预设效果如 何，最终还有待于课堂教学实践的检验本说课一定存在诸多不足，恳请老师提出宝贵意见，谢谢。