牛顿莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)•定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,X]],[X],x2]...[Xn，Xni]，其中x=a，xn=b，第i个小区间Axi=xi-xi1(i=1,2_n)o由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为ASi=f(^i)Axi，为此定积分可以归结为一个和式的极限即：€bf(x)dx…limXf(8i)A%ian.i…1性质1证明Jcdx=C(b-a)，其中C为常数.nT„€bf(x)dX…limSf…limc(x1，x0+x2，x1+...+xn，xn,1)anT„..i=1…limc(x一x0)=c(b一a)m„几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)二G(x)+C,C为常数.设K(x)=F(x)-G(x)定义域为KF(x)=G(x)=z(x)K'(x)=F'(x)一G(x)=z(x)一z(x)=0.用：)=limK(x+心)-K(x)=oAxT0Ax即对任意的xWK,都存在一个以|€|为半径的区间,使得K(x+€x)=K(x)・••函数值在K内处处相等，K(x)=CK(x)为一直线即:F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)Wg(x),则,f(x)dx—,g(x)dxaa设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)WO.Jbk(x)dx=lim另k(£i)€xi—0n„gfafn„i=1ff即•Jbk(x)dx=Jb[f(x)-g(x)]dx=Jbf(x)dx-J&g(x)dx—0fafaaa.•.Jbf(x)dx—Jbg(x)dxaa•相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x$[a,b],取m为f(x)的最小值,M为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点£W(a,b),有f(£)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续，若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点£$(a,b),有f(£)=0设xl,x2G[a,b],且xl
严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查查.积分中值定理：若函数f(x)在区间［a,b］上连续,，则在区间［a,b］上至少存在一个点£e(a,二f(€)(b—a)几何意义：曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等即：mWf(x)WM设f(x)在区间［a,b］的最大值为M,最小值为m,.„Jbmdx…Jbf(x)dx…JbMdxaa「anm(b一a)…Jbf(x)dx…M(b一a)raJbf(x)dxnm…a…Mb一a由介值定理：在区间［a,b］上至少存在一个点£$(a,b),有Jbf(x)dxf(€)=ab一a•积分上限函数(变上限的定积分)的定义设函数f(x)在区间［a,b］上连续，则定积分Jf(x)dx的值由区间［a,b］与ai匕f(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为Jf(t)d；而对于积分J"f(t)dt，当xe［a,b］时，都会有一个由积分Jf⑴dtaIa所确定的值与之对应，因此积分J"f(t)dt是上限x的函数.记为：fa申(x)=Jxf(t)dta0(x)=f(x)显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用W(x)的定义，用到导数的定义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。
因为有的人是在看，有的人是在观察，这明显存在很大的差别)„(x+Ax)—„(x).Jx+Axf(t)dt—Jxf(t)dt=li^maaAxtOAxJx+Axf(t)dtJx+Axf(t)dt__a=limAxAxtoAx„'(x)=limAxtOAxJaf(t)dt+=lim•AxtO由积分中值定理，有：Jx+Axf(t)dt=f(€)Ax(其中&是在x与x+Ax之间)Jzf(t)dtf(£)Ax<„(x)=limx=lim—=limf(€)AxtOAxAxtOAxtO这就是你想看到的，显然，当Ax->0时，€->x<・„(x)=limf(€)=f(x)Axt0•通往真相的最后一*步证明:Jbf(x)dx=F(b)—F(a)a设F(x)为f(x)的原函数„(x)=Af(t)dt也是f(x)的一个原函数a由性质2f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有F(x)=„(x)+CF(b)=„(b)+CF(a)=„(a)+CJaf(t)dt=0Jbf(t)dt与积分变量无关=Jbaa.
