多维随机变量-课件

第五章多维随机变量第五章多维随机变量5.1 二维随机变量的概念二维随机变量的概念()5.2 边缘分布、条件分布边缘分布、条件分布()5.3 随机变量的独立性随机变量的独立性()小结小结课程要求课程要求习题选讲习题选讲本章测验本章测验5.4 数字特征数字特征()5.5 二维随机变量函数的概率分布二维随机变量函数的概率分布()5.6 中心极限定理简介中心极限定理简介()第一节第一节 二维随机变量的概念二维随机变量的概念5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布二维离散型随机变量的联合概率分布5.1.2 联合分布函数联合分布函数5.1.3 二维连续随机变量的联合概率密度二维连续随机变量的联合概率密度多维随机变量举例多维随机变量举例:2、考察某地区学龄前童的身体发育情况：、考察某地区学龄前童的身体发育情况：X：表示该地区学龄前儿童的身高；：表示该地区学龄前儿童的身高；Y：表示该地区学龄前儿童的体重；：表示该地区学龄前儿童的体重；则（则（X，Y）就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量1、对一目标进行射击：、对一目标进行射击：X：表示弹着点与目标的水平距离；：表示弹着点与目标的水平距离；Y：表示弹着点与目标的垂直距离；：表示弹着点与目标的垂直距离；则（则（X，Y）就是一个二维随机变量。

就是一个二维随机变量3、考察某地区的气候状况：、考察某地区的气候状况：X：表示该地区的温度；：表示该地区的温度；Y：表示该地区的湿度；：表示该地区的湿度；则（则（X，Y）就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量4、考察某钢厂钢材的质量：、考察某钢厂钢材的质量：X：表示该钢厂钢材的硬度；：表示该钢厂钢材的硬度；Y：表示该钢厂钢材的含碳量；：表示该钢厂钢材的含碳量；则（则（X，Y，Z）就是一个三维随机变量就是一个三维随机变量Z：表示该钢厂钢材的含硫量；：表示该钢厂钢材的含硫量；对于多维随机变量对于多维随机变量如二维如二维(X,Y)，其性质不仅与，其性质不仅与X 及及Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.因此因此,逐个地来研究逐个地来研究X 或或Y 的性质是不够的的性质是不够的,还需将还需将(X,Y)作为作为一个整体来进行研究一个整体来进行研究.1、二维离散型随机变量的定义、二维离散型随机变量的定义如果二维随机变量如果二维随机变量 的所有可能取的值是有限对或的所有可能取的值是有限对或),(),(可列无限对可列无限对,则称则称 是是离散型离散型随机变量随机变量.若若 及及 的全部不同的可能取值分别为的全部不同的可能取值分别为 ,:21nxxx,:21myyy 则则 的全部可能取值为的全部可能取值为:),(),(jiyx,2,1ni ,2,1mj 2、二维离散型随机变量的联合概率分布、二维离散型随机变量的联合概率分布5.1.1 二维离散型随机变量的联合概率分布二维离散型随机变量的联合概率分布 iimnmmmmppppy21 iinppppy1121111121 jnjjjjjippppinpxxx 21称概率函数称概率函数ijjipyxP ),(为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量 的的(联合联合)概率分布概率分布(律律).),(;,2,1 ni ,2,1mj 或列表为或列表为(概率分布也称为概率分布也称为联合分布列联合分布列)(1)(2)0 ijp1 ijijp3、概率分布的性质、概率分布的性质例例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现从现从这批产品中任意抽出这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 与二等品件数与二等品件数 的联合分布列的联合分布列.解解:,jiPpij 由古典概率公式由古典概率公式,有有其中其中4,3,2,1,0;3,2,1,0 ji且且,42 ji依上式可得依上式可得 的联合概率分布列如下的联合概率分布列如下:),(),(ji由已知条件，二维随机变量由已知条件，二维随机变量 所有可能的取值为：所有可能的取值为：),(410 i3 j5 ji42例例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现从现从这批产品中任意抽出这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 与二等品件数与二等品件数 的联合分布列的联合分布列.解解:,jiPpij 410 i3 j5 ji42012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101且且,42 ji例例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现从现从这批产品中任意抽出这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 与二等品件数与二等品件数 的联合分布列的联合分布列.012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101其中其中 41jijipp 31iijjpp3,2,1,0 i4,3,2,1,0 j解解:例例2 设设A,B为随机事件为随机事件,且且,21)|(,31)|(,41)(BAPABPAP令令 不发生不发生发生发生AAX01 不发生不发生发生发生BBY01求求:(I)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布;),(YX(II)X与与Y的相关系数的相关系数.(I)易见易见 的可能取值为的可能取值为:),(YX).1,1(),0,1(),1,0(),0,0(相应概率分别为相应概率分别为1,1 YXP)(ABP)|()(ABPAP 121 3141 0,1 YXP)(BAP)()(ABPAP 61 12141 1,0 YXP)(BAP)()(ABPBP 121 1212/112/1 )()|()(ABPBAPABP 1,1 YXP121 0,1 YXP61 1,0 YXP121 0,0 YXP121611211 32 于是于是 的概率分布为的概率分布为),(YXXY01013212112161例例2 设设A,B为随机事件为随机事件,且且,21)|(,31)|(,41)(BAPABPAP令令 不发生不发生发生发生AAX01 不发生不发生发生发生BBY01求求:(I)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布;),(YX(II)X与与Y的相关系数的相关系数.5.1.2 联合分布函数联合分布函数1、联合分布函数的定义、联合分布函数的定义),(),(yxPyxF 称为二维随机变量称为二维随机变量 的分布函数的分布函数(或称联合分布函数或称联合分布函数).),(设设 是二维随机变量是二维随机变量,对于任意实数对于任意实数 x,y,二元函数二元函数),(),(yx联合分布函数联合分布函数),(),(yxPyxF 的值就是随机点的值就是随机点 落在落在),(xyOD2、几何意义、几何意义 区域区域D内的概率。

内的概率性质性质1 对任意的对任意的 有有,yx;1),(0 yxF性质性质2 且有且有1),(F0),(),(),(FyFxF),(yxF是变量是变量 x 和和 y 的单调非降函数的单调非降函数;3、联合分布函数、联合分布函数 的性质的性质),(),(yxPyxF 如图：如图：),(1yxxyO),(2yx ),(),(21yxFyxF,21xx 对对显然有显然有于是我们得到于是我们得到),(21yxxyO),(22yx),(11yx),(12yx1x2x1y2y考虑随机变量考虑随机变量 落在矩形区域落在矩形区域D的概率，其中的概率，其中),(,|),(2121yyxxD D),(2121yyxxP ),(22yxF),(21yxF),(12yxF),(11yxF 容易得到容易得到性质性质3 2121,yyxx 对任意的对任意的),(2121yyxxP 且且0),(),(),(),(11122122 yxFyxFyxFyxF),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF 总有总有),(),0(yxFyxF ),()0,(yxFyxF 性质性质4),(yxF对任意的对任意的 x(或或 y)都是右连续的都是右连续的,即对任意的即对任意的,yx均有均有4、二维离散型随机变量的分布函数、二维离散型随机变量的分布函数ijjipyxP ),(设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 的联合的联合概率分布概率分布为为),(;,2,1 ni ,2,1mj 则有则有 xxyyijijpyxF),(进行的。

进行的这个求和式是对满足这个求和式是对满足 及及 的一切下标的一切下标 i 和和 jxxi yyj 解解:由分布函数的性质得由分布函数的性质得)arctan)(arctan(limyCxBAyx ),(F)2)(2(CBA1)arctan)(arctan(limyCxBAx ),(yF)arctan)(2(yCBA 0 同理同理),(xF由由(1),(2),(3)解得解得,12 A,2 B.2 C(1)(2)(3)2)(arctan(CxBA0 例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为),()arctan)(arctan(),(yCxBAyxF 试确定常数试确定常数a,b,c 的值并求概率的值并求概率),(yx).10,10(P由由(1),(2),(3)解得解得,12 A,2 B.2 C)10,10(P)0,0()0,1()1,0()1,1(FFFF 于是于是),(yxF)arctan2)(arctan2(12yx 从而从而22)42(1 )42(212 2)42(12 2212 161 例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为),()arctan)(arctan(),(yCxBAyxF 试确定常数试确定常数a,b,c 的值。

并求概率的值并求概率),(yx).10,10(P5.1.3 二维连续型随机变量的联合概率密度二维连续型随机变量的联合概率密度1、联合概率密度的定义、联合概率密度的定义对于二维随机变量对于二维随机变量 的联合分布函数的联合分布函数 ，),(yx),(yxF如果存在一个二元非负值函数如果存在一个二元非负值函数),)(,(yxyxf使得对任意使得对任意,yx有有xydxdyyxfyxF),(),(则称则称 为为二维连续型随机变量二维连续型随机变量.),(yx),(yxf称为二维连续称为二维连续型随机变量的型随机变量的联合概率密度函数联合概率密度函数.（简称（简称联合密度函数联合密度函数或或联合密度联合密度）记为记为),(),(yxF 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,表示一曲面表示一曲面,此曲面此曲面),(yxfz 称为称为分布曲面分布曲面.(,)zf x y xydydxyxf),(记记2、联合密度函数的性质、联合密度函数的性质（1）;0),(yxf（2）1),(dxdyyxf具有性质具有性质(1),(2)的二元函数的二元函数f(x,y),必是某个必是某个,),(),(xydydxyxfyxF注意到注意到,1),(F以及以及可得可得注注:二维连续型随机变量的密度函数。

二维连续型随机变量的密度函数分布曲面与分布曲面与xoy 面所面所夹部分的体积为夹部分的体积为1.（3）RdxdyyxfRP),(),(设设R为为xoy 平面内任一区域平面内任一区域,则有则有（4）),(yxf在在 的连续点处，有的连续点处，有),(),(2yxfyxyxF 以以R为底为底,以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积以分布曲面为顶的曲顶柱体的体积.dvduvufyxyxyxFxy),(),(22),(yxf,),(),(xydydxyxfyxF由由两边同时对两边同时对x 和和y 求偏求偏导数导数(假定偏导数存在假定偏导数存在).得得几何意义几何意义:),(2121yyxxP ),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF 例如，特别地例如，特别地dyyxfdxxy22),(dyyxfdxxy12),(dyyxfdxxy21),(dyyxfdxxy11),(dyyxfdxxyy221),(dyyxfdxxyy121),(dyyxfdxxxyy2121),(例例4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,1),(2xyxkxyyxf试确定试确定 k 的值，并求的值，并求 落在区域落在区域D的概率。

其中的概率其中),(10,|),(2 xxyxD 解解:由密度函数的性质由密度函数的性质1),(dxdyyxf又又 dxdyyxf),(Rkxydxdy10,1|),(2 xyxyxR记记 1012xxydydxkdxxykx12102|21 105)(2dxxxk6k 从而从而.6 k1062|)6121(2xxk xyO11R2xy xyO11R2xy 从而从而.6 kxy 于是于是),(DP Dxydxdy6 1026xxxydydxdxyxxx 1022|3dxxx)(35103 1064|)6141(3xx 41 Ddxdyyxf),(D例例4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,1),(2xyxkxyyxf试确定试确定 k 的值，并求的值，并求 落在区域落在区域D的概率其中的概率其中),(10,|),(2 xxyxD 例例5 设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度为的概率密度为),(YX 其它其它0106),(yxxyxf则则 1YXP解解 1YXP 1),(yxdxdyyxf 21016xxxdydx 210)21(6dxxx41 1xyO21xy 1 yx1413、几种重要的二维连续型随机变量、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布）二维均匀分布如果如果 的联合密度函数为的联合密度函数为),(其它其它0),(1),(DyxSyxfD其中其中 D 是平面上某个区域。

是平面上某个区域则称二维随机变量则称二维随机变量 服从区域服从区域 D 上的均匀分布上的均匀分布),(DS表示区域表示区域 D 的面积的面积.DOxy随机点落在区域随机点落在区域D内每内每一点的可能性都相同一点的可能性都相同3、几种重要的二维连续型随机变量、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布）二维均匀分布如果如果 的联合密度函数为的联合密度函数为),(其它其它0),(1),(DyxSyxfD对于事件对于事件,),(|),(1DyxyxA 注注1:若若,1DD 则有则有DDSS1 D1DOxydxdyyxfAPD 1),()(dxdySDD 11几何概率公式几何概率公式落在区域落在区域 的概率与的概率与 的的),(1D1D1D位置无关位置无关,与与 的面积成正比的面积成正比.上式说明上式说明:对均匀分布对均匀分布,随机点随机点随机点落在区域随机点落在区域D内每内每一点的可能性都相同一点的可能性都相同3、几种重要的二维连续型随机变量、几种重要的二维连续型随机变量（1）二维均匀分布）二维均匀分布如果如果 的联合密度函数为的联合密度函数为),(其它其它0),(1),(DyxSyxfD对于事件对于事件,),(|),(2DyxyxB 注注2:如图如图:有有DDDSS2 D2DOxydxdyyxfBPD 2),()(dxdySDDD 21（2）二维正态分布）二维正态分布)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf),(),(222121rN 如果如果 的联合密度函数为的联合密度函数为),(则称则称 服从参数为服从参数为 的正态分布的正态分布.),(r,2121 记为记为)1|,0,0(21 r 特别地特别地,1,02121 当当 时时,2)1(212222121),(yrxyxreryxf （2）二维正态分布）二维正态分布)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf如果如果 的联合密度函数为的联合密度函数为),()1|,0,0(21 r 特别地特别地,1,02121 当当 时时,2)1(212222121),(yrxyxreryxf 更进一步更进一步,若还有若还有,0 r则则)(212221),(yxeyxf 此时此时,联合密度函数为两个标准正态分布联合密度函数为两个标准正态分布2221xe 2221ye 的乘积的乘积.与与第二节第二节 边缘分布、条件分布边缘分布、条件分布5.2.1 边缘分布的概念边缘分布的概念5.2.2 条件分布条件分布5.2.1 边缘分布的概念边缘分布的概念续例续例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现现从这批产品中任意抽出从这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 及二等品件及二等品件数数 的联合分布列的联合分布列.012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101求随机变量求随机变量 (或或 )的分布列的分布列.iP 0,iP1,iP2,iP3,iP4,iP解解:0ip 1ip 2ip 4ip 3ip 3,2,1,0 i 40jijp ip012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101 210721063210105210353210 即即 30130930153053210续例续例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现现从这批产品中任意抽出从这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 及二等品件及二等品件数数 的联合分布列的联合分布列.求随机变量求随机变量 (或或 )的分布列的分布列.012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101同理同理 421215211021542143210 续例续例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现现从这批产品中任意抽出从这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 及二等品件及二等品件数数 的联合分布列的联合分布列.求随机变量求随机变量 (或或 )的分布列的分布列.1、边缘分布的定义、边缘分布的定义则称随机变量则称随机变量 或或 的概率分布为它的的概率分布为它的边缘分布边缘分布。

一般地，对于二维随机变量一般地，对于二维随机变量 ,若已知其联合分布，若已知其联合分布，),(2、二维离散型随机变量的边缘分布列、二维离散型随机变量的边缘分布列ijjipyxP ),(;,2,1 ni ,2,1mj 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 的联合分布为的联合分布为),(则随机变量则随机变量 的边缘概率分布律为的边缘概率分布律为 1jijipxP,2,1ni ip同理随机变量同理随机变量 的边缘概率分布律为的边缘概率分布律为 iijjpyP,2,1mj jp 3、边缘分布函数、边缘分布函数),(若二随机变量若二随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为 ，则称，则称),(yxF随机变量随机变量 或或 的分布函数的分布函数 或或 为为 的的 )(xF)(yF),(yxF)()(xPxF ),(xP),(xF同理有同理有),()(yFyF 边缘分布函数边缘分布函数由分布函数的定义，有由分布函数的定义，有问题：问题：已知已知 的联合分布函数的联合分布函数 ，),(),(yxF如何求边缘分布？如何求边缘分布？2122lim(arctan)(arctan)yxy 例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为),()arctan)(arctan(),(yCxBAyxF 试确定常数试确定常数a,b,c 的值。

并求（的值并求（1）概率）概率),(yx).10,10(P),(xF),(yxF2122(arctan)(arctan)xy 12(arctan)x ),()(yFyF 2122lim(arctan)(arctan)xxy 12(arctan)y 因为因为 xydvduvufyxF),(),(从而从而),()(xFxF xdvduvuf),(同理有同理有),()(yFyF ydudvvuf),(又因为又因为 xduufxF)()(故故 dyyxfxf),()(dxyxfyf),()(同理同理给出联合密度函数时，边缘密度函数的计算给出联合密度函数时，边缘密度函数的计算(,)的的例例1 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,16),(2xyxxyyxf分别求出分别求出 及及 的边缘概率密度的边缘概率密度解：解：dyyxfxf),()(（1）当当 时，有时，有1,0 x 126)(xxydyxf 122|26xyx 533xx （2）当当 时，有时，有1,0 x0)(xf 故故 其它其它01033)(5xxxxf xyO11R2xy 根据公式根据公式同理同理,由根据公式由根据公式 dxyxfyf),()(（1）当当 时，有时，有1,0 y yxydxyf06)(yxy02|26 23y（2）当当 时，有时，有1,0 y0)(yf 故故 其它其它0103)(2yyyf 例例1 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,16),(2xyxxyyxf分别求出分别求出 及及 的边缘概率密度。

的边缘概率密度xyO11R2xy 例例2 设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为),(YX 其它其它020,101),(xyxyxf求求:(I)的边缘概率密度的边缘概率密度),(YX).(),(yfxfYX(II)的概率密度的概率密度YXZ 2).(zfZ12xyOy=2x解解 如图如图:dyyxfxfX),()(当当 时时,10 x xdy20 x2 当当 或或 时时,0 x1 x0)(xfX从而从而 其它其它0102)(xxxfX(1)先求先求)(xfX dxyxfyfY),()(当当 时时,20 y 12ydy21y 当当 或或 时时,0 y2 y0)(yfY从而从而 其它其它02021)(yyyfY(2)下面求下面求)(yfY例例2 设二维随机变量设二维随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为),(YX 其它其它020,101),(xyxyxf求求:(I)的边缘概率密度的边缘概率密度),(YX).(),(yfxfYX(II)的概率密度的概率密度YXZ 2).(zfZ12xyOy=2x例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.解解:)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf),(的联合密度函数为的联合密度函数为于是于是,由公式由公式,),()(dyyxfxf 将被积函数将被积函数 的指数可变形为的指数可变形为),(yxf记记,11 xu22 yv,2dvdy 则则)()(2)()1(2122222112112 yyxrxr2)1(21222vruvur )1()()1(212222urruvr 22221)()1(21uruvr 例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.解解:)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf),(的联合密度函数为的联合密度函数为于是于是 dyyxfxf),()(,2dvdy 则则)()(2)()1(2122222112112 yyxrxr2)1(21222vruvur )1()()1(212222urruvr 22221)()1(21uruvr dveerurruv221)1(2)(221222121 例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.解解:)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf),(的联合密度函数为的联合密度函数为于是于是 dyyxfxf),()(dveerurruv221)1(2)(221222121 dveerrruvu )1(2)(2121222121dtreertu222121112122 21rruvt 令令dtrdv21 则则例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.dyyxfxf),()(dveerurruv221)1(2)(221222121 dtreertu222121112122 dteetu 2211222121212)(121 xe121221 dtet 注意到注意到从而从而),(211 N),(222 N类似有类似有例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.结论结论:),(),(222121rN 则则),(211 N),(222 N若若例例 3 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求 及及 的边的边 缘概率密度缘概率密度.P153.2.4.6.75.2.1 条件分布条件分布1、条件分布的定义、条件分布的定义对二维随机变量对二维随机变量 ,在一个随机变量取固定值的条在一个随机变量取固定值的条),(件下件下,另一随机变量的概率分布另一随机变量的概率分布,称为条件概率分布称为条件概率分布(简称简称2、二维离散型随机变量的条件分布、二维离散型随机变量的条件分布),(设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 的联合分布律为的联合分布律为ijjipyxP ),(,3,2,1,ji则关于则关于 的边缘分布律为的边缘分布律为 ijijippxP)(,2,1 i关于关于 的边缘分布律为的边缘分布律为 jiijjppyP )(,2,1 j条件分布条件分布)若若 ，则由条件概率的定义知，则由条件概率的定义知0 jp)|(jiyxP )(),(jjiyPyxP jijpp ,2,1 i称之为在称之为在 条件下条件下 的的条件分布律条件分布律。

jy 类似地，当类似地，当 时，在时，在 条件下条件下 的的条件分布律条件分布律为为0 ipix )|(ijxyP )(),(ijixPyxP iijpp,2,1 j续例续例1 已知已知10件产品中有件产品中有3件一等品件一等品,5件二等品件二等品,2件三等品件三等品,现现从这批产品中任意抽出从这批产品中任意抽出4 件件,求其中一等品件数求其中一等品件数 及二等品件及二等品件数数 的联合分布列的联合分布列.012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101求随机变量求随机变量 (或或 )的分布列的分布列.(1)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.解解:2|iP3,2,1,0 i(1)所求概率分布律为所求概率分布律为于是于是2|0 P22,0 PP21010021010 101 2|1 P21010021060 53 同理同理 012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.2|2 P21010021030 103 2|3 P2101000 0 012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.解解:2|0 P101 2|1 P53 2|2 P103 2|3 P0 2|iP3,2,1,0 i(1)所求概率分布律为所求概率分布律为 012340123 ipjp 00000000010/210 20/2105/21015/210 60/210 30/2103/2102/2105/21030/2105/21050/21030/210100/210 50/2105/21035/210105/21063/2107/2101(1)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有2件二等品件二等品,求一等品件数的概率分布求一等品件数的概率分布.(2)已知抽取的已知抽取的4件产品中有件产品中有1件一等品件一等品,求二等品件数的概率分布求二等品件数的概率分布.解解:1|iP4,3,2,1,0 i(2)所求概率分布律为所求概率分布律为1|0 P0 71 74 72 0 1|1 P1|2 P1|3 P1|4 P3、二维连续型随机变量的条件分布、二维连续型随机变量的条件分布 对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值对于二维连续型随机变量，由于对任一特定值x或或y，均有，均有0)(xP 0)(yP 及及，故对二维连续型随机变量，不能，故对二维连续型随机变量，不能直接套用条件概率来定义条件概率分布。

直接套用条件概率来定义条件概率分布下面我们利用下面我们利用极限极限来定义二维连续型随机变量的条件分布：来定义二维连续型随机变量的条件分布：设设 的联合分布函数为的联合分布函数为 ,),(),(yxf边缘密度边缘密度 dxyxfyf),()(在条件在条件 下下,y 连续型随机变量连续型随机变量 的条件分布函数定义为的条件分布函数定义为:若若 连续连续,)(),(yfyxf 则对使则对使 的点的点 ,0)(yf y|yxP|lim0yyyxPy ,lim0yyyPyyyxPy yyyxyyyydvvfdvduvuf)(),(lim0 ytfydusufxy )(),(lim0)(),(yfduyufx (利用积分中值定理利用积分中值定理)duyfyufx )(),(条件分布函数记为条件分布函数记为)|(yxF即即duyfyufyxFx )(),()|(对使对使 的点的点 ,0)(yf yduyfyufyxFx )(),()|(在条件在条件 下下,y 连续型随机变量连续型随机变量 的条件分布函数为的条件分布函数为:条件概率密度函数为条件概率密度函数为)(),()|(yfyxfyxf dvxfvxfxyFy )(),()|(在条件在条件 下下,x 条件概率密度函数为条件概率密度函数为)(),()|(xfyxfxyf 连续型随机变量连续型随机变量 的条件分布函数为的条件分布函数为:同理同理,对使对使 的点的点 ,0)(yf y例例4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,16),(2xyxxyyxf试求试求 及及)|(yxf).|(xyf 其它其它0103)(2yyyf 解：解：由由例例1知知于是，对于是，对 有有)1,0(y)(),()|(yfyxfyxf 其它其它010,13622xyxyxy 其它其它0102yxyx 其它其它01033)(5xxxxf),(试求试求 及及)|(yxf).|(xyf 其它其它0103)(2yyyf 解：解：由由例例1知知 其它其它01033)(5xxxxf)(),()|(xfyxfxyf 其它其它010,1)(3625xyxxxxy 其它其它010,11224xyxxy对对 有有)1,0(x类似地类似地,例例4 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,16),(2xyxxyyxf试求试求 及及)|(yxf).|(xyf例例 5 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求解解:)()(2)()1(2122122222112112121),(yyxrxreryxf).|(xyf由由及及21212)(121)(xexf(见例见例3)有有)(),()|(xfyxfxyf )()(2)()1(2122122222112112121 yyxrxrer=21212)(121 xe)|(xyf)()(2)()1(2122122222112112121 yyxrxrer21212)(121 xe22112222)(2122121 xryer容易看出容易看出,此条件分布仍是正态分布此条件分布仍是正态分布:)1(),(2221122rxrN 类似可以得到类似可以得到 也是正态分布也是正态分布:)|(yxf)1(),(2212211ryrN 二元正态分布二元正态分布的条件分布仍的条件分布仍是正态分布是正态分布.例例 5 设二维随机变量设二维随机变量),(),(222121rN 试求试求).|(xyf.1 YXP的条件的条件例例6 6 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在(2)Y 的概率密度；的概率密度；(3)概率概率(1)随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密度；的联合概率密度；)1,0()10(xxX下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服从均匀分布，求),0(x解：解：（1）随机变量随机变量X 的概率密度函数为的概率密度函数为 其他，其他，010,1)(xxfX 其他，其他，00,1)|(xyxxyf在在 的条件下，的条件下，Y 的条件概率密度函数为的条件概率密度函数为)10(xxXxxyfxfyxfX1)|()(),(当当 时，时，X 和和Y 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为10 xy0),(yxf在其它点在其它点 处，有处，有),(yx xyxyxf其他其他，010,1),(从而从而 dxyxfyfY),()(（2）当当 时，时，10 y dxyxfyfY),()(11ydxxyln 当当 或或 时，时，0 y1 y0)(yfY因此因此 yyyfY其他其他，010,ln)(.1 YXP的条件的条件例例6 6 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在(2)Y 的概率密度；的概率密度；(3)概率概率(1)随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密度；的联合概率密度；)1,0()10(xxX下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服从均匀分布，求),0(x xyxyxf其他其他，010,1),(从而从而（3）1 YXP xxdyxdx11211 1),(yxdxdyyxf 121)12(dxxOxyxy 1 yx1212ln1 .1 YXP的条件的条件例例6 6 设设X 在区间在区间 上服从均匀分布，在上服从均匀分布，在(2)Y 的概率密度；的概率密度；(3)概率概率(1)随机变量随机变量X 和和Y 的联合概率密度；的联合概率密度；)1,0()10(xxX下，随机变量下，随机变量Y 在区间在区间 服从均匀分布，求服从均匀分布，求),0(x由二维随机变量由二维随机变量 的联合概率分布可求出随机变量的联合概率分布可求出随机变量),(问题问题:若随机变量若随机变量 和和 的概率分布已知的概率分布已知,是否可求出二维是否可求出二维 和和 的边缘分布的边缘分布.例例),(),(222121rN ),(211 N),(222 N随机变量随机变量 的联合概率分布的联合概率分布?),(问题：在什么条件下，边缘分布可完全决定联合分布？问题：在什么条件下，边缘分布可完全决定联合分布？第三节第三节 随机变量的独立性随机变量的独立性1、事件的相互独立性、事件的相互独立性)()()(BPAPABP 事件事件A与与B 相互独立相互独立2、二维随机变量相互独立的定义、二维随机变量相互独立的定义设设 是两个随机变量是两个随机变量,若对任意实数若对任意实数 都有都有 ,yx)()(),(yPxPyxP 则称随机变量则称随机变量 与与 是是(相互相互)独立的独立的.3、离散型随机变量相互独立的充要条件、离散型随机变量相互独立的充要条件jiijppp 4、连续型随机变量相互独立的充要条件、连续型随机变量相互独立的充要条件)()(),(yfxfyxf 与与 相互独立相互独立 )()(),(yFxFyxF (2)(2)实际使用时往往从直观上去判断随机变量的独立性实际使用时往往从直观上去判断随机变量的独立性.(1)判断随机变量的独立性一般有两种方法判断随机变量的独立性一般有两种方法:B:由问题的性质从直观上去判断由问题的性质从直观上去判断.A:由定义判断由定义判断,是否满足公式是否满足公式;6、随机变量独立性的判断、随机变量独立性的判断)()(),(yFxFyxF 5、二维随机变量相互独立的充要条件、二维随机变量相互独立的充要条件与与 相互独立相互独立 )()|(xFyxF )()|(yFxyF 7 推广推广:n 个随机变量的独立性个随机变量的独立性,2211nnxxxP 2211nnxPxPxP 如果对任意实数如果对任意实数,21nxxx总成立总成立则称则称 n 个随机变量个随机变量 的的相互独立相互独立.n ,21)()()(),(221121nnnxFxFxFxxxF niiixF1)(1)定义定义或或),(21nxxxF其中其中为为 的联合分布函数的联合分布函数,n ,21),2,1)(nixFii 为随机变量为随机变量 的分布函数的分布函数.i)()()(),(221121nnnxfxfxfxxxf n 个连续型随机变量个连续型随机变量 相互独立相互独立当且仅当当且仅当n ,21(2)11221122(,)()()()nnnnPxxxPx Px Px n 个离散型随机变量个离散型随机变量 相互独立相互独立当且仅当当且仅当n ,21(3)2122lim(arctan)(arctan)yxy 例例3 已知二维随机变量已知二维随机变量 的联合分布函数为的联合分布函数为),()arctan)(arctan(),(yCxBAyxF 试确定常数试确定常数A,B,C 的值。

并求（的值并求（1）概率）概率),(yx).10,10(P),(xF),(yxF2122(arctan)(arctan)xy 12(arctan)x ),()(yFyF 2122lim(arctan)(arctan)xxy 12(arctan)y )()(),(yFxFyxF 的概率分布为的概率分布为),(YXXY01013212112161例例2 设设A,B为随机事件为随机事件,且且,21)|(,31)|(,41)(BAPABPAP令令 不发生不发生发生发生AAX01 不发生不发生发生发生BBY01求求:(I)二维随机变量二维随机变量 的概率分布的概率分布;),(YX(2)求边缘分布律求边缘分布律;ipjp 10/122/129/123/12边缘分布律边缘分布律;ijijpp p X，Y非独立非独立例例1 已知二维随机变量已知二维随机变量 的密度为的密度为),(其它其它010,16),(2xyxxyyxf分别求出分别求出 及及 的边缘概率密度的边缘概率密度解：解：其它其它01033)(5xxxxf xyO11R2xy 其它其它0103)(2yyyf(,)()()f x yfx fy，非独立非独立例例1 设二维随机变量设二维随机变量 的概率分布为的概率分布为),(YX0100.410.1XYab已知随机事件已知随机事件 与与 相互独立相互独立,求求0 X1 YX解解:由随机事件由随机事件 与与 相互独立相互独立,有有0 X1 YX101,0 YXPXPYXXP由由 得得:11.04.0 ba5.0 ba又又1,01,0 YXPYXXPa 10YXPXP)4.0(a)(ba?,ba)(4.0(baaa 所以所以由由)(4.0(baaa 5.0 ba 解解得得1.0,4.0 ba例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。

试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 8111 p2 p3 p 1p 2p11p12p13p21p22p23p8161例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYP81XY12 p3 p 1p 2p12p13p22p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 1 p11p21p8161241例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYP81XY4112 p3 p 1p 2p12p13p21p22p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 8124111p1 p61例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。

试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY11 p2 p3 p 2p21p22p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 81618141121 1p11p12p13p241例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY1211211 p2 p3 p 2p11p13p21p22p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 816124141 1p8112p例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY1211 p2 p3 p 2p11p21p22p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 81612418112p12113p41 1p31例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。

试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY11 p3 p 2p11p21p23p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 816124112113p41 1p31212 p22p8112p83例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY11 p 2p11p21p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 816124141 1p212 p22p8112p833 p23p12113p3141例例2 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，下表列出二维随机变量相互独立，下表列出二维随机变量的联合分布律及关于的联合分布律及关于X和和Y的边缘分布律中的部分数值，的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处试将其余数值填入表中空白处。

),(YX1y2y3y1x2xjjpyYP iipxYPXY1 p11p21p解：解：利用下列公式利用下列公式 21iijjpp 31jijippjiijppp 81612412。