双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

双缝干涉条纹间距公式的推导相干光经双缝更再次在屏上相遇互相叠加，形成了稳定的明暗相间的干涉条纹，理论和实验 都证明：在两狭缝间的距离和狭缝与屏间的距离不变的条件下，单色光产生的干涉条纹间距 跟光的波长成正比，现简要推导如下：如图.o是s1s2的中垂线与屏的交点；d是s仁s2的距离 1 I是缝与屏的距离；X是 p点到o点的距离:r1、 F2是屏上P点到s•仁S2的距离；设s1、S2到P点的路程差为6= r2—r1,由图可知. d .1 + ( x+ 一) ( 1 )2.• d •门i 輩一 一). (2)2(1)-(2)可得:2d dr/- ( x+ — ) !- C x ) "=2dxP2 2即• ( + r： )( i■厂 r：)二23x4由于 1 »d l»x,因此 r：+r：^21^'所以：r；~ r：= — x 即：S = 一 x^11 1当6等于光波波长入的整数倍时*两列波在P点同相加 强"出现壳条纹卩即 k入二—X (k=0> ±1 > ±2, ±3> ・・・)卩1则 x二 k— Aa(k=0> ±1 > ±2> ±3 > —)1 1 1所以△x=x「r- xk = ( k+1 )—人一k 人=A ♦1d d d(4)卩1即 Ax =—人d当&等于光波半波长△的奇数倍时J两列波在P点反2相減弱°出现暗条纹：a(k=O>±l j±2 j±3j—>Rn A d2 1ni 1 A(k=0 j±1 j±2>±3>—)则 X < 2k+l )—・一d 2所以泊曲丿出7”丄・d 2 dA 1 ——=——人 2 d根据（4）、（5）两式可知：相邻两条明纹（或暗纹）I瓦距离均为△ x=1/dA，而I、d 和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。

［应用］相干光经双缝产生「•涉现象，半发生如下变化时，丁涉条纹如何变化？ （1） 屏幕移近；（2）缝距变小；（3＞波长变长；［分析］由公式从=1/d入可知，相邻两条明纹（或喑纹）间距离△＞＜与I、入成正比， 与d成反比1） 若屏幕移近，贝UI变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集2） 若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏3） 若波长入变长，则从 变大因此若入射光为白光，则中央明纹（白色）的两侧, 出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是囚为从 光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线双缝干涉条纹间距公式的推导2 2dd如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为--的点与-的点为两波源这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍n九（零除外）的双曲线簇其中（-2,0'V 2丿'|,0丿为所有双曲线的公共焦点这个双曲线簇的方程为:V2 丿'n九'2r d ]2'n九'v 2丿v飞丿x2y22用直线y = l去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点将y = l代入双曲线簇的方程，有:'n九'2r d ]2'n九'< 2 J＜兀丿l2x2-=12解得：d2， x 的表达式简化为：， x 的表达式简化为：上式中，d的数量级为10-4m,九为10-7m。

故d2 —n 2 九 2其中1的数量级为1Oo m，d的数量级为10-4 m故-沁d2可见，交点横坐标成一等差数列，公差为-，这说明:1)条纹是等间距的；(2)相邻两条纹的间距为方d至此，证明了条纹间距公式：Ax丄入d杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的?海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为:Ax=LX/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而 言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图 我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同问题到底出在哪里呢？留】首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2设定双缝S2的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P］,设定点P］与双缝S2的距离分别为r1和r2, O为双缝S］、s2的中点，双缝S］、s2的连线的中垂线与屏的交点为P0，设P1与P0的距离为X,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L»d,在这种情况下由双缝 S］、S2发出的光到达屏上P］点的光程差Ar为S2M=r2—r］ dsin0, (1)其中0也是OP0与OP]所成的角。

因为dvvL, 0很小，所以xsinO^tanO— （2）因此 Ar〜dsinOdLx当Ar^dL —±kX时，屏上表现为明条纹，其中k—0, 1, 2, ……, （3）x1当Arad[ —土（k+q ）时，屏上表现为暗条纹，其中是k—0, 1, 2, （3，）我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置当x—土kd入时，屏上表现为明条纹，其中k—0, 1, 2,… （4）当x—土 （k+2 ） d入时，屏上表现为暗条纹，其中k—0, 1, 2,… （4'）我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为Ax—xk+t_xk—d 九 ⑸至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Ar—r2—r产dsinO的时候，此式近似成立的条件是点』込很小，因此有S1M丄S2P], S1M 丄OP1，因此ZP0OP1 — ZS2S1M,如果要保证ZS1P1S2很小，只要满足dvvL即可，因此Ar^dsinO是满足的第2次近似是因为dvvL, 0很小，所以sinO^tanO下面我们通过表1来比较sinO与tanO的数值表1O1°2°3°4°5°6°7°sinO0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tanO0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784O8°9°10°11°sinO0.1391730.1564340.1736480.190808tanO0.1405400.1583840.1763260.1943801-1 Q-1 Li从表1中我们可以看出当O —6。

时， ^0.6%因此当O26时，相对误差就超过了 0.6%，因此我们通常说sinO—tanO成立的条件是OW5当O>5时,sinO^tanO就不再成立而在杨氏双缝干涉实验中，0很小所对应的条件应该是xvvL，这应该对应于光屏上靠近P0的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉 条纹是等间距的而当x较大时，也就是光屏上离P0较远的点所对应的0角也较大，当0>5时，sinO^tanO就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，(2)式就不能再用了x此时sinO= L/2 + X 2dx所以，Ar^dsinO= =±kX，屏上表现为明条纹，其中k=0，1，2,…，L2 + X 2dx 1Ar~dsinO= =±(k+2 )儿屏上表现为暗条纹，其中k=0, 1，2,…L2 + X 2Lk九因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=± ，屏上表现为明条纹，其中k=0, 1, 2,…，[d 2 — k 2 九 2L(k + —)九x=± 2 ，屏上表现为暗条纹，其中k=0, 1, 2,… 1■ d 2 一 (k + —)2 九22则相邻的明条纹中心问距为Ax明—xk+i明 xk明L(k +1)九J d2 一 (k +1)2 九2Lk九\:d 2 一 k 2 九 2邻暗条纹中心间距为Ax暗一 xk+1暗xk暗由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数例1：用氦氖激光器（频率为4.74X 1014Hz）的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数 解：因为Ar=dsin0=kX，所以k=dsinO九vdsinOc4.74X10i4X2X10rXsin5 3.0X108心2.8考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。