第一节 静电场中的导体

8-1静电场中的导体一、静电感应 静电平衡条件金属导体由大量的带负电的自由电子和带正电的晶体点阵构成无论对整个导体或对导体 中某一个小部分来说，自由电子的负电荷和晶体点阵的正电荷的总量是相等的，导体呈现电 中性若把金属导体放在外电场中，导体中的自由电子在作无规则热运动的同时，还将在电场力 作用下作宏观定向运动，从而使导体中的电荷重新分布在外电场作用下，引起导体中电荷 重新分布而呈现出的带电现象，叫做静电感应现象如上图所示，在电场强度为E0的均强电场中放入一块金属板G,则在电场力的作用下， 金属板内部的自由电子将逆着外电场的方向运动，使得G的两个侧面出现了等量异号的电荷 于是，这些电荷在金属板的内部建立起一个附加电场，其电场强度E'和外来的电场强度“°的 方向相反这样，金属板内部的电场强度E就是E°和£'的叠加开始时E'

讨论：导体表面的电场强度与表面垂直在静电平衡时，不仅导体内部没有电荷作定向运动，导体表面也没有电荷作定向运动，这 就要求导体表面电场强度的方向应与表面垂直假若导体表面处电场强度的方向与导体表面 不垂直，则电场强度沿表面将有切向分量，自由电子受到该切向分量相应的电场力的作用,将沿表面运动，这样就不是静电平衡状态了讨论：导体是等势体导体的静电平衡条件，也可以用电势来表述由于在静电平衡时，导体内部的电场 强度为零，因此，如在导体内取任意两点A和B,这两点间的电势差U，即电场强度沿A和B 两点间任意路径的线积分应为零，即U = f E - dZ = 0AB这表明，在静电平衡时，导体内任意两点间的电势是相等的至于导体的表面，由于在静电平衡时，导体表面的电场强度与表面垂直，电场强度沿表面的分量，即E的切向分量Et为零，因此导体表面上任意两点的电势差亦应为零，即U = f E - dZ = 0AB t故在静电平衡时，导体表面为一等势面不言而喻，导体内部与导体表面的电势是相等的， 否则就仍会发生电荷的定向运动总之，当导体处于静电平衡时，导体上的电势处处相等， 导体为一等势体二、静电平衡时导体上电荷的分布在静电平衡时，带电导体的电荷分布可运用高斯定理来讨论。

如下图所示，有一带电导体 处于平衡状态，由于在静电平衡时，导体内的E为零，所以通过导体内任意高斯面的电场强 度通量亦必为零，即J E - ddS = 0s于是根据高斯定理,此高斯面内所包围的 电荷的代数和必然为零所以可得到如下结 论：在静电平衡时，导体所带的电荷只能分 布在表面上，导体内没有净电荷扩充内容 导体处于静电平衡时电荷的分布如果有一空腔的导体带有电荷+q [图(a)],这些电荷在空腔导体的内外表面上如何分布 呢？若在导体内取高斯面S，由于在静电平衡时，导体内的电场强度为零，所以有Y qJ E - dS = = 0s 0这说明在空腔的内表面上没有净电荷然而在空腔内表面的不同部位是否有可能出现符号相反的正、负电荷，而使内表面上净电荷为零的情况呢[图(b)]?我们设想如果在空腔内表面点A附近出现+"，而在空腔内表面点B附近出现一"，贝恠空腔内就要有始于正电荷而终于负电荷的电场线也就是说，空腔内的电场强度就不等于零J ]£了这时，电场强度沿由A至B的线积分Ab" 也将不等于零于是，在A，B两点之 间就存在电势差显然，这与导体在静电平衡时为一等势体的条件相违背的因此，带电 的空腔导体在静电平衡时，空腔内表面不会以任何形式分布电荷，电荷只能全部分布在空腔 导体的外表面上。

下面讨论带电导体表面的电荷面密度与其邻近处电场强度的关系如下图所示，设在导体 表面上取一圆形面积元氏，当圧足够小时，氏上的电荷分布可当作是均匀的，其电荷面 密度为&，于是空上的电荷为Aq =CAS以面积元空为底面积作一如下图所示的扁圆柱形 高斯面，下底面处于导体内部由于电场强度为零，所以通过下底面的电场强度通量为零； 在侧面上，电场强度要么为零，要么与侧面的法线垂直，所以通过侧面的电场强度通量也为 零；只有在上底面上，电场强度E与A垂直，所以通过上底面的电场强度通量为E A，这 也就是通过扁圆柱形高斯面的电场强度通量由于此高斯面包围的电荷为aAS,所以，根据 高斯定理可有EASoAS8(8-1)其方向与导体表面垂直至于带电导体达到静电平衡后导体表 面的电荷是如何分布的，则是一个复杂问 题，定量研究是很困难的，因为导体表面 的电荷分布不仅与导体本身的形状有关， 而且还与导体周围的环境有关即使对于 孤立导体，其表面电荷面密度b与曲率半 径P之间也不存在单一的函数关系一般地说，导体的曲率半径越小的地方，电荷密度越大，其表面的电场强度越大当电场强度大到足以使导体表面的空气电离时，导体上的电荷就会通过这部分电离的空 气释放而形成尖端放电。

尖端放电会使电能白白损耗，还会干扰精密测量和通讯然而尖端 放电也有很广的用途扩充内容：导体表面电荷密度与曲率半径的关系实验表明，如把一定量的电荷放到如图所示的非球形导体上，当到达静电平衡时，导体为 一等势体，导体表面为一等势面在点A附近，曲率半径较小，其电荷面密度和电场强度的 值较大；而在点B附近，曲率半径较大，其电荷面密度和电场强度的值较小如图给出带有 等量异号电荷的一个非球形导体和一块平板导体的电场线图像从图中可以看出，曲率半径 较小的带电导体表面附近，电场线密集，电场较强，尖端附近的电场最强带电尖端附近的电场强度特别大，已可使尖端附近的空气发生电离而成为导体在电场 不过分强的情况下，带电尖端经由电离化的空气而放电的过程，是比较平稳地无声息地进行 的；但在电场很强的情况下，放电就会以暴烈的火花放电的形式出现，并在短暂的时间内释 放出大量的能量这两种形式的放电现象就是所谓的尖端放电现象例如，阴雨潮湿天气 时常可在高压输电线表面附近看到淡蓝色辉光的电晕，就是一种平稳的尖端放电现象象：避雷针三、静电屏蔽若把一空腔导体放在静电场中，静电平衡时电场线将终止于导体的外表面而不能穿过导 体的内表面进入内腔（下图），因此，导体内和空腔中的电场强度处处为零。

这表明，我们 可以利用空腔导体来屏蔽外电场，使空腔内的物体不受外电场的影响上面讲的是用空腔导体来屏蔽外电场有时也需要防止放在导体空腔中的电荷对导体外其 他物体的影响，这时，如把导体腔接地，导体空腔外面的电场就消失了，这样，接地的导体 空腔内的电荷对导体外的电场就不会产生任何影响综上所述，绥空腔导体（无论接地与否）将使腔内空间不受外电场的影响，而接地空 腔导体将使空间不受空腔内的电场的影响这就是空腔导体的静电屏蔽作用在实际工作中，常用编织得相当紧密的金属网来代替金属壳体例如，高压设备周围的金 属栅网，校测电子仪器的金属网屏蔽室等，都是起静电屏蔽作用的扩充内容：（1）高压线带电作业（没能下载下来）（2）屏蔽实验室（录像）例 有一外半径Ri为10cm，内半径R2为7cm的金属球壳，在球壳中放一半径々为5cm 的同心金属球（下图）若使球壳和球均带有q = 10_3C的正电荷，问两球体上的电荷如何分 布？球心的电势为多少？解为了计算球心的电势，必须先计算出各点的电场强度r < R s我们先从球内开始，如取以 3的球面S 1为高斯面,则由导体的静电平衡条件，球内的电场强度为在球与球壳之间，作R3 < r < R2的球面S2为高斯面,由高斯定理，有得球与球壳间的电场强度而对于所有R2 < r < R1的球面S3上的各点，由静电平衡条件知其电场强度应为零，即E = 0 R < r < R、3 ( 2 1 )由高斯定理可知，其内所含有电荷的代数和应为零，即已知球的电荷为+q，所以球壳内的表面上的电荷必为~q。

这样，球壳的外表面上的电荷则应是+2q再在球壳外面取r > R1的球面S4为高斯面，从而由高斯定理有Y qf E -dS = V"s4 4 s0其中工q = q-q+2q = 2q所以r＞竹处的电场强度为—(r < R)r12E =4)4 4ns0由电势的定义式(7-15)，球心0的电势为jR3oV =f E - dZ00-dZ + fR2 E -dZ + 血 E -dZ + 卜R3 2 R2 3R1E - dZ4把式(1)，(2)，(3)，(4)代入上式，可得纽drr2=0 + f R2 - q dr + 0 +bR 4ns r R 4ns3 0 2 1 0q ( 1 1 亠 2)4ns R R R0 3 2 1-1—= 9 x 109V - m - C -1将已知数据代入上式，且-nSo 有Vo = 9 X 109 X 吋丘-加 + 0> = 231X 103V四、思考题1. 什么叫静电平衡? 处于静电平衡状态的导体具有哪些性质?导体空腔内没有电荷时 空腔内任一点的电势如何确定?2. 导体空腔内有点电荷,空腔内任一点的电势与空腔电势相同吗? 为什么?。