2022年高三零模冲刺讲义C级考点讲解与训练数列

优秀学习资料欢迎下载高三零模冲刺讲义C 级考点讲解与训练之三数列C 级考点回顾：等差数列、等比数列一、课本回顾与拓展1.（P34 习题 9 改编）若32nnan（其中为实常数），*Nn，且数列na为单调递增数列，则实数的取值范围为 _.2.（P41 习题 8）已知等差数列na的首项161a，公差43d.（1）此等差数列中从第几项开始出现负数？_；（2）当na最小时，求n._ 3.（P41 习题 9）三个数成等差数列，它们的和是15，它们的平方和等于83，则这个数列为_.变：成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，则这个数列为_.4.（P41 习题 15 改编）已知等差数列na中，301596aaa，则._10a5.（P41 习题 16）在等差数列na中，已知qap，paq（qp），则qpa=_.6.（P44 练习 6）在等差数列na中，已知392,100168SS，则._24S7.（P45例 5）某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm，满盘时直径 120mm（如图）已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是米（取3.14，精确到 1m）？8.（P47 练习 4）已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5的等差数列，且最小角为120，则它是_边形.9.（P47 习题 2）求和：100)25.03kk（=_.10.（P48 习题 8）一个等差数列的前12 项和为 354，前 12 项中，偶数项和与奇数项的和之比为27:32，则公差d等于 _.11.（P48 习题 12）已知等差数列na中，31a，85511aa，则前n项和nS的最小值为 _.12.（P55 习题 13）三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这个数列为_ 13.（P56 例 2改编）在等比数列na中，已知263,2763SS，（1）求数列na的通项公式_；（2）求9S_.14.在等比数列na中，若21,31qa，则7a=；若332a，718a,则 q=；15.（P54 习题 10）在等比数列na中，01a，252645342aaaaaa，则53aa的值为 _.16.（P55 习题 14）已知等比数列na的公比为2q，且30303212aaaa，则30963aaaa的值为 _.精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载17.（P62 习题 8）在等比数列na中，21q，150100S，则100642aaaa的值为 _.18.（P62 习题 5）求和)()3()2()1(32naaaan=_.19.（P68 习题 15）等差数列na中，前m项（m为奇数）和为77,其中偶数项之和为33,且181maa,则数列na的通项公式为 _.20.（P68 习题 16）ba,是不为 0 的常数*,Nnba,nnnnbbabaa221_.21.（P68 习题 17）在等差数列na中，已知qSp，pSq（qp），则qpS的值为 _.22.设 Sn是等比数列的前n项的和，若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2,a8,a5成等差数列.变 1：写出这个命题的逆命题，并判断其真假；变 2：针对原命题，给出一般性结论，并给出证明；变式 3：设等比数列na的前n项和为nS，公比为).1(qq（1）若8124,SSS成等差数列，求证：141810,aaa成等差数列；（2）若lkmSSSlkm,(,为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列na中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项，若不存在，请说明理由；（3）若q为大于 1 的正整数，试问na中是否存在一项ka，使得ka恰好可以表示为该数列中连续两项的和？请说明理由；精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载二、典例剖析例 1（通项公式的探究问题）（1）（20XX 年江苏高考题）已知各项均为正数的两个数列na和nb满足：122nnnnnabanabN，设11nnnbbnaN，求证：数列2nnba是等差数列.（2）已知数列an前n项和为nS，满足Sannn4122，nN，则数列an的通项公式为_.变 1：设12a，121nnaa，21nnnaba，*nN，则数列nb通项公式nb=_.变 2：已知数列 an满足：a1=a2=1，211nnnnaaaa（*,2nnN），则10099aa=99 等式两边同除an 变 3：已知数列na的前n项和nS（0nS），满足21),2(0211anSSannn，则数列an的通项公式为 _.变 4：已知各项均为正数的数列na前n项的和为nS，数列2na的前n项的和为nT，且2*234,nnSTnN则数列an的通项公式为 _.例 2（数列的单调性问题）数列 an 满足：a1=5，an+1an=2(an+1an)15*()nN，数列 bn的前 n项和 Sn满足：Sn=2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列 an的通项公式；（2）求数列 bn 的通项公式，并求出数列anbn的最大项解：（1）令 n=1 得 a25=2(a25)15，解得 a2=12，由已知得(an+1an)2=2(an+1an)15(an+2an+1)2=2(an+2 an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an)=2(an+2an)，由于数列 an单调递增，所以an+2 an0，于是an+2 2an+1an=2，即(an+2an+1)(an+1an)=2，所以 an+1an是首项为7，公差为2 的等差数列，于是an+1 an=72(n1)=2n 5，所以an=(anan-1)(an-1 an-2)(a2a1)a1=(2n3)(2n1)75=n(n4)（2）在Sn=2(1bn)中令 n=1 得 b1=2(1b1)，解得 b1=23，因为 Sn=2(1 bn)，Sn+1=2(1 bn+1)，相减得bn+1=2bn+1 2bn，即 3bn+1=2bn，所以 bn是首项和公比精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载均为23的等比数列，所以bn=(23)n.从而 anbn=n(n4)(23)n设数列 anbn的最大项为akbk，则有k(k4)(23)k(k1)(k 5)(23)k+1，且 k(k4)(23)k(k1)(k3)(23)k-1，所以 k2 10，且 k2 2k90，因为 k 是自然数，解得k=4所以数列 anbn的最大项为a4b4=51281变：数列na的首项aa1，其前n项和为nS，且满足),2(3*21NnnnSSnn，若对任意的*,Nnm，1nnaa恒成立，则a的取值范围是_ 例 3（数列中的子数列问题）已知数列an 满足341naann（*Nn）.（1）若数列 an 是等差数列，求1a的值；（2）当21a时，求数列 an的前 n 项和nS；（3）若对任意*Nn，都有51212nnnnaaaa成立，求1a的取值范围解析：（1）若数列na是等差数列，则na1a(n1)d，1na1a nd由1nana 4n3，得(1and)1a(n1)d 4n3，即 2d 4，12ad 3，解得 d2，1a12（2）由1nana4n3(nN)，得2na1na 4n1(nN)两式相减，得2nana4所以数列21na是首项为1a，公差为4 的等差数列数列2 na是首项为2a，公差为4 的等差数列由2a1a1，1a2，得2a 1所以na2=2125=2nnknnk，(kZ)当 n 为奇数时，na2n，1na2n3nS1a2a3ana(1a2a)(3a4a)(2na1na)na1 9(4n11)2n1(1411)22nn2n22352nn当 n 为偶数时，nS1a2a3ana(1a2a)(3a4a)(1nana)19(4n7)2232nn精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载所以nS22235=21223=22nnnknnnk，(kZ)（3）由（2）知，na1122=2123=2nanknank，(kZ)当 n 为奇数时，na2n21a，1na2n11a由2211nnnnaaaa5，得21a1a24n16n10令()f n24n 16n1024(2)n6当 n1 或 n3 时，max()f n2，所以21a1a2解得1a2 或1a 1当 n 为偶数时，na2n31a，1na2n1a由2211nnnnaaaa5，得21a13a24n16n12令()g n24n16n1224(2)n4当 n2 时，max()g n4，所以21a13a 4解得1a1 或1a 4综上所述，1a的取值范围是(，42，)例 4（数列中的有界性问题）数列na满足10,1aa，且11,1,2,1.nnnnnnaaaaaa若对于任意的nN，总有3nnaa成立，则a 的值为.12或 1.变：数列na满足：)(*Nnan是整数，且nnaa1是关于x的方程02)2(112nnaxax的根.（1）若41a，且2n时，84na，求数列na的前 100 项和 S100；（2）若81a，16a，且1nnaa，*Nn，求数列na的通项公式解：（1）由 an+1an是关于 x 的方程 x2(an+1 2)x2an+10的根，可得：*11220()nnnnaaaanN，所以对一切的正整数n，12nnaa或112nnaa，若 a14，且 n2 时，4an8，则数列 an为：4,6,8,4,6,8,精选学习资料 -名师归纳总结-第 5 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载所以，数列 an的前 100 项和10033(468)8598S；（2）若 a1 8，根据 an（nN*）是整数，anan1（nN*），且12nnaa或112nnaa可知，数列na的前 6 项是：8,6,4,2,0,2或8,6,4,2,1,1或8,6,3,1,1,3或8,6,2,0,2,4或8,6,2,1,1,3因为 a61，所以数列na的前 6 项只能是8,6,4,2,1,1且*4,nnN时，12nnaa所以，数列an 的通项公式是：210,4211,5nnnann例 5（数列中的分类讨论）已知函数)(xf为二次函数，不等式02)(xf的解集为),31,1(且对任意的,a,R恒有0)cos2(,0)(sinff.（1）求)(xf的解析式；（2）若数列na满足)(23)()1(113,1*11Nnafafaannn,求数列na的通项公式；（3）设nnab1,在（2）的条件下，若数列nb的前 n 项和为,nS求数列)cos(nnbS的前 n 项和nT.变：已知等比数列na的首项为43，公比为13，其前 n 项和为nS，若1nnASBS对*nN恒成立，则BA的最小值为.5972精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载例 6（数列中的不等关系）（1）等差数列na与等比数列nb中，1133130,0,ababaa且，则2255abab_；_（2）已知公差不为零的正项等差数列an 的前n 项和为nS，正项等比数列bn 的前n 项的和为nT，若15530203015205,ab abSSTT则_.（以上两题均用不等号连接）变 1：设nS是数列na的前 n 项和，对任意*nN总有1(01nnSqaqq，*mkN，)mk且 求数列的na通项公式na；试比较m kS与221()2mkSS的大小；当1q时，试比较2m kS与2211mkSS的大小变 2：已知等差数列na的首项10a，公差0d，前 n 项和为nS，设 m，n，pN*，且2mnp（1）求证：22nmpSSS；（2）求证：2pnmSSS；例 7.（简易数论问题）已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列。

1）若31nan，是否存在*mkN、，有1?mmkaaa说明理由；（2）找出所有数列na和nb，使对一切*nN,1nnnaba,并说明理由.精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载变：设 na是公差为d 的等差数列，nb是公比为q 的等比数列.（1）若31nan，是否存在,m kN，使1mmkaaa？（2）数列 nb中，若11b，公比1(0,)2q，且kN，12kkkbbb仍是 nb中的项，则q.（3）na满足11,2,ad试证明任给Nm,总存在pN使1,mpa aa成等比数列.三、自主练习1.设首项为-20 的数列na为等差数列，且恰从第8 项开始为正数，则公差d的取值范围是_.310,7202.设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，已知S5=5，S9=27，则 S7=_ 3.等差数列 an 前 n 项和为 Sn.已知 am1am1a2m0，S2m138，则 m_.10 4.已知数列na满足01a，011nnaaaa（1n），则当1n时，na_ _.5 已知设103107422222)(nnf，则._)(nf6.已知na为等差数列，若11011aa，且它的前n项和nS有最大值，那么当nS取得最小正值时，_n.19 7.已知等比数列na公比1q，且21016aa，则满足不等式1212111()()()0nnaaaaaa的最大正整数 n的值为.7 8.等差数列 an和bn的前 n 项的和分别是Sn和 Tn，且231nnSnTn，则55ba=_，65ba=_.9.设等差数列na的前n项和为nS，若2468120a a a a，且4682682482461111760a a aa a aa a aa a a，则9S的值为10.已知数列na的各项均为正整数，nS为其前n项和，对于1,2,3,n，有1135,.2nnnnnnkaaaaaka为奇数，为偶数，其中为使为奇数的正整数则当11a时，1220_SSS910 11 已知nb是等差数列，对于给定的正整数m，221132mbb，则1221mmmbbb的最大值为_.)1215m（精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载12.设1250,a aa是从 1,0,1 这三个整数中取值的数列，若12509aaa，2221250(1)(1)(1)107aaa，则1250,a aa中数字 0 的个数为.7 13.设nS为数列na的前n项之和.若不等式22212nnSaan对任何等差数列na及任何正整数n恒成立，则的最大值为 _14.一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为.15.已知数列na满足对任意的*,nN都有33321212()nnaaaaaa且0na.（1）求12,a a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）设数列21nna a的前n项和为nS，不等式1log(1)3naSa对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围.10,216.已知首项为0)a a（的数列na的前n项和为nS，若对任意的正整数,m n，都有2nmSnSm.（1）证明：数列na是等差数列；（2）若1a，数列nb的首项为(1)b b，第*(,2)n nNn项nb是数列na的第-1nb项，求证：数列1nb为等比数列；（3）若对（2）中的数列na和nb及任意正整数n，均有2110nanb成立，求实数b的最小值.17.数列na满足：2321212nnaaaann(0,)nN常数（1）求数列na的通项公式；（2）当4时，是否存在互不相同的正整数,r s t，使得,rsta aa成等比数列？若存在，给出,r s t满足的条件；若不存在，说明理由；（3）设nS为数列na的前 n 项和若对任意nN，都有(1)2nnSa恒成立，求实数的取值范围精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解：（1）13a当2n时，由2321212nnaaaann得2312122(1)2(1)nnaaaann-得121nnan，所以1(21)nnan（2n）因为13a，所以1(21)nnan（nN）（2）当4时，1(21)4nnan若存在,rstaa a成等比数列，则22(21)(21)4(21)rtsrts由奇偶性知20rts所以2(21)(21)(1)rtrt，即rt，这与rt矛盾故不存在互不相同的正整数,r s t，使得,rstaa a成等比数列（3）3(0,218.设12,na aa是各项均不为零的等差数列(4)n，且公差0d，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.当4n时，求1ad的数值；求n的所有可能值；（2）求证：对于一个给定的正整数(4)n，存在一个各项及公差都不为零的等差数列12,nb bb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列19.已知等比数列na的首项12012a，公比12q，数列na前 n 项和记为nS，前 n 项积记为()n.（1）求数列nS的最大项和最小项；（2）判断()n与(1)n的大小，并求n为何值时，()n取得最大值；（3）证明na中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为123,nd ddd，证明:数列nd为等比数列精选学习资料 -名师归纳总结-第 10 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解：（1）1111()2211()1321()2nnnaSa(1)当 n 是奇数时，1211()32nnSa,单调递减，13521123nSSSSa,(2)当 n 是偶数时，1211()32nnSa,单调递增，2462123nSSSSa；综上，当n=1 时，12012nSS有最大值为;当 n=2 时，21006nSS有最小值为（2）123|()|nna a aa，1|(1)|1|2012()|()|2nnnan，111020122012122，则当10n时，|(1)|()|nn；当11n时，|(1)|()|nn，又(10)0,(11)0,(9)0,(12)0，()n的最大值是(9)(12)和中的较大者.310 310111211(12)12011()1(9)2a a aa，(12)(9)，因此当 n=12 时，()n最大.（3）|na随 n 增大而减小，数列na的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.当 n 是奇数时，调整为12,nnnaaa.则1111111()()222nnnnnaaaaa，1121122()22nnnaaa，12122,nnnnnnaaaaaa成等差数列；当 n 是偶数时，调整为21,nnnaaa；则1111111()()222nnnnnaaaaa，1121122()22nnnaaa，12212,nnnnnnaaaaaa成等差数列；综上可知，数列na中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.14 分n 是奇数时，公差112111311()()222nnnnnnadaaa；n 是偶数时，公差111211311()()222nnnnnnadaaa.无论 n 是奇数还是偶数，都有1132nnad，则112nndd，因此，数列nd是首项为134a，公比为12的等比数列.精选学习资料 -名师归纳总结-第 11 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载20.首项为1a的正项数列na的前n项和为nS,q为非零常数,已知对任意正整数,n m,mnmmnSSq S总成立.（1）求证：数列na是等比数列；（2）若不等的正整数,m k h成等差数列，试比较mhmhaa与2kka的大小；（3）若不等的正整数,m k h成等比数列，试比较11mhmhaa与2kka的大小.解：（1）证:因为对任意正整数,n m，mn mmnSSq S总成立,令1nm，得211SSqS,则21aqa令1m，得11nnSSqS(1),从而211nnSSqS(2),(2)(1)得：21nnaqa,(1)n综上得1nnaqa(1)n,所以数列na是等比数列（2）正整数,m k h成等差数列，则2mhk,所以22221()22mhmhk,则22222111mhmmmhhhkmhm hmhaaa qa qa q 当1q时，221mhkkmhkaaaa 当1q时，2222222122111()mhkmhm hkkkkkkmhkaaa qa qa qa 当01q时，2222222122111()mhkmhm hkkkkkkmhkaaa qa qa qa（3）正整数,m k h成等比数列，则2m hk,则11122mhmhk,所以111111111121121111()()()mhmhmhmhmhmhmhaaaa qaqaqqq，2221()kkkaaqq当1aq,即11aq时，112mhkmhkaaa22kkqa 当1aq,即11aq时，111122211()()mhmhkmhaaaaqqqq2kka 当1aq,即11aq时，111122211()()mhmhkmhaaaaqqqq2kka精选学习资料 -名师归纳总结-第 12 页，共 12 页。