高考数学二轮考点专题突破圆锥曲线的概念及性质汇总

201 1 年高考数学二轮考点专题突破圆锥曲线的概念及性质精品资料第二讲 圆锥曲线的概念及性质、选择题1. （2010安徽）双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为A.率 0 B.卓 0 C.字 0 D . (g 0)解析：♦.•原方程可化为X2—f=1, a2=l, 2b2=2 c2=a2+b2 = 3，右焦点为二6, 0 .答案：C2. （2010天津）已知双曲线2 X a2b2= 1（a>0, b>0）的一条渐近线方程是y=>/3x,它的一个仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢-9 -焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为 （ ）A. 36 108B.x2-9y27x2 y2_C.1q8-36 =D.X2-27y29解析：•渐近线方程是y=<3x, .♦.b=m.①•••双曲线的一个焦点在y2= 24x的准线上,-.c= 6.②又 c2= a2+ b2,③由①②③知，a2 =9, b2=27,… x2 C此双曲线方程为--27=1.答案：B3. （2010 •福建）若点和点F（—2,0）分别为双曲线看 / =1（心＞0）的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点， 则费，乖的取值范围为 （ ）儿［3 — 2 后•+8） B, ［3+2 后.+b）C. p+） D,［《,+8）J?解析：由F为左塞点得1 = 3,则双曲或方程为。

一y=1,设 J久劭・ M），则OP・FP=（劭♦加），（沏+ 2,加）=画"+2劭+A/ — d +2& ］— 春为［+ 2飞—1 —、■［（取, + 3■）—卷 一L由P在右支得；（＞＞欣所以OF •钎星3+2后，散选R答案,B4. （2010辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为.1, P为抛物线上一点，PAH,A为垂足.如果直线 AF的斜率为―.V3,那么|PF|= （ ）A . 4v3 ・ B. 8 C. 8V3 D. 16解析：解法一：AF直线方程为：y=-<3(x-2),当 x=—2 时，y=4#, A(-2,4<3).当 y=4、/3 时代入 y2=8x 中，x=6, .P(6,4W),|PF|= |PA|=6- ( — 2)= 8.故选 B.解法PA1, PA// x轴.又・. / AFO=60, .•./ FAP =60,又由抛物线定义知 PA=PF,. PAF为等边三角形.又在 Rt^AFF 中，FF =4,FA=8, PA=8.故选 B.答案：B5. 高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距 10 m,则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( )A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析：如图1,假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆BA DC顶端仰角相等的点，由于/ BPA=ZDPC,则Rt区BPsRtyDP, BA = DC,从而 PA PCPC=2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2),则 A(—5,0), C(5,0),设 P(x, y),得勺 x— 5 2+y2 =2 x+ 5 2 + y2化简得x2+y2+5x+25= 0,显然，P点的轨迹为圆. 3答案：A二、填空题6,已知居、巳是椭圆的两个焦点,满足温 •而7=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是.解析：由题知，垂足的轨迹 为以焦距为直径的圆，则 c0)的焦点为F,点A(0, 2).若线段FA的中点B在 抛物线上，则 B到该抛物线准线的距离为 .解析：F p 0 ,则 B 4, 1 ,・••2pXp=1,解得 p=也.「8乎，1，因此b至"物线的准线的距离为率+乎=平答案：48.（2010北京）已知双曲线a2—b2=i的离心率为2,焦点与椭圆125+9=1的焦点相同, 那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .2 2解析：♦.•椭圆^+y=i的焦点为（当,o）,，双曲线的焦点坐标为（当,o）, 25 9• •c= 4, ~=2, c2= a2+ b2, a• •.a=2, b2= 12,…x2 y2• •.双曲线方程为丁一为=1,，渐近线方程为y= gx= s/3x,答案：（40） 小x与=09. （2010 *全国I）已知F是椭圆（？的一个焦点，上是短轴的一 个端点，线段EF的延长线交C于点D, II徒=2日”则C 的离心率为.解析：如图/BF|= W + F—口，作DDi_Ly轴干点口1，则由 德_ ?用得 IOFI — I BFl HF-2卜必得|⑼-|川）| 一普•所以|DI4|一等|OF|* J r3~~2e即xd = 3^,由椭圆的第二定义得|FD|=e ,3c =a—3a■.又由|BF|=2|FD|,得a=2a—3c,整理得 a2=3c2, a3即e2=3,解得e= 3 .3答案：T33三、解答题10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P到两焦点的距离分别为4/5和3v5,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.解：解法设椭圆的标准方程是 余$= 1(a>b>0)或x2b^= 1(a>b>0),两个焦点x2 2分别为 Fi、F2,则由题意，知 2a=|PFi|+|PF2|=2j5, a = /5在方程与+ y2=1a b中，令 x= Ic,彳#M = b.在方程 !十a=1中，令 y= % 得|x|=b\依题意知 b=2 a a b a a 35「• b2：10.即椭圆的方程为x~ + 3^=1或\+专0=1.解法二：设椭圆的两个焦点分别为 Fi、F2,则|PFi|=T，|PF2|=T.3 3由椭圆的定义，知 2a=|PFi|+|PF2|=2泥，即a = V5.由|PFi|>|PF2|知，PF2垂直于长轴.故在 RkPFzFi 中，4c2=|PFi|2-|PF2|2=60, 9c c c 10b2= a2— c2=—3 .又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为 3十噂ii.(20I0湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(I,0)的距离减去它到1(x>0),y轴距离的差都是I.(I)求曲线C的方程;(2)是否存在正数 m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线,都有FA fB<0?若存在，求出解：(I)设P(x, y)是曲线Cm的取值范围；若不存在，请说明理由上任意一点，那么点 P(x, y)满足■ x — 1 2+ y2 — x=化简得 y2=4x(x>0).(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为 A(xi, yi), B(x2, y2).x = ty + m, 设l的方程为x=ty + m,由。

得y2= 4xy2— 4ty— 4m= 0,yi + y2= 4t, A= 16(t2+ m)>0 ,于是yiy2= _ 4m.又FA=(xi —1, yi), FB =(X2—1, y2),—— …FA FB<0? (xi—1)(x2—1)+yiy2= xiX2—(xi + X2)+1 + yiy2<0. ②又x=f,于是不等式②等价于y2y2+ yiy2— % y2 +1<0?岑」+yiy2—1[(yi +y2)2—2yiy2]+ 1<0, ③由①式，不等式③等价于 m2—6m+1<4t2, ④对任意实数 t,4t2的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t成立等彳^于 m2- 6m + 1<0,即 3— 2y2Vm<3 + 2展由此可知，存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线C有两个交点 A, B的任一直线，都有FA FB<0,且m的取值范围是(3-2^2, 3+R2).12. (2009陕西，21)已知双曲线C的方程为匕—x2= 1(a>b>0),离心率e=W 顶点 a b 2到渐近线的距离为2t5.5(1)求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线 C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限 .若AP=.FB,衣1 _ , 2 ,求△ AOB面积的取值范围.3的顶点(0 , a)到渐近线ax — by = 0的距离为解：解法一：(1)由题意知，双曲线2,55，_ab 量 ab 2.5一声12 = 5，团 c= 5 .ab 2,5a=2,得 b=1,c= . 5,c = 5，由 c ,5a= 2，c2=a2+b2・••双曲线C的方程为y2—x2=1.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为 y=i2x.设 A(m,2m), B(— n,2n), m>0, n>0.由AP= fb=庐B得p点的坐标为 m二2 m+.111 +入 1+入将p点坐标代入（—x2= i,化简得mn =」F,4人、r 兀设/ AOB=2 0, ••• tan 2- 0 =2,tan 0=1, sin 2 9= 4 2 5又|OA|=4m, |OB|=延n,.c 1-Saaob= 2|OA| |OB| sin 2 0c 1 1 .=2mn=-计三 + 1. 2 人1 、 1 「1c记 s(?)=2 入+% + 1，入e 3, 2 ,1 1则 s(4=21由S(》=0得入=1,又S(1)=2,3_ 9S⑵=4,・•・当 甘1时，△ AOB的面积取得最小值2,当入=13时，4AOB的面积取得最大值3.. AOB面积的取值范围是 2, 3 .解法二：（1）同解法一.（2）设直线AB的方程为y= kx+ m 由题意知|k|<2, m>0.y= kx+ m, 由y= 2x得A点的坐标为m 2m2—k 2-k，一m 2m2+k 2+k .y= kx+ m由 ，得B点的坐标为y= — 2x由AP=2B得P点的坐标为m 1 __2m 1 +_k-1+入 2—12+k，1+入2—k 2+k 将p点坐标代入y2- x2= i得」吗=.4 4 — k2 入设Q为直线AB与y轴的交点，则 Q点的坐标为（0, m）.m । m2—k 2+k一 一 一 1 … 1 … 1 1Sa aob= Sa aoq + S^boq = ]|OQ| |xa|+ 2|OQ| |xb| = 2m (xa - xb)= -m 1 4m22 4-k2以下同解法。