概率论与数理统计：5-2中心极限定理

第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的,并且它们并且它们中每一个对总和产生的影响不大中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的小的随机变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机变量设随机变量),2,1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数定理四表明定理四表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxt).(de2122,0|1,),2,1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)(xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 定理五表明定理五表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,),2,1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量证明证明 根据第四章第二节例题可知根据第四章第二节例题可知,1 nkknX 分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX.1,0,)1(1 ippiXPiik德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理),)(pXEk),2,1()1()(nkppXDk 根据定理四得根据定理四得 xpnpnpPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xtxt).(de2122 定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大充分大时时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.三、典型例题三、典型例题.105,)1,0(,)20,2,1(20201的近似值的近似值求求记记上服从均匀分布上服从均匀分布且都在区间且都在区间机变量机变量设它们是相互独立的随设它们是相互独立的随个噪声电压个噪声电压一加法器同时收到一加法器同时收到 VPVVkVkkk解解,5)(kVE).20,2,1(12100)(kVDk由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例12012100520201 kkVZ2012100520 V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387.02012100520 VP387.020121001001 VP 387.02de2112tt)387.0(1 .348.0 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击,问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,.)31,00090(bX且且例例2所求概率为所求概率为3050029500 XP.323190000900003050029501kkkk 分布律为分布律为kXP,32310009000090kkk .00090,1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995.0 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元.若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017.0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例32001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321.2)1(pnpnpXP.01.0)321.2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立,且服从同一分布且服从同一分布.(1)求求参加会议的家长数参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解,)400,2 ,1()1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例4 的分布律为的分布律为则则kX15.08.005.0210kkpX,1.1)(kXE易知易知)400,2,1(,19.0)(kXDk ,4001 kkXX而而根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，19.04001.1400 4001 kkX随机变量随机变量 19.04001.1400 X),1,0(N近似服从正态分布近似服从正态分布 19.04001.140045019.04001.1400 XP450 XP于是于是 147.119.04001.14001 XP;1357.0)147.1(1 ,)2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8.0,400(bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,350 XP 2.08.04008.04003402.08.04008.0400 YP 5.22.08.04008.0400 YP.9938.0)5.2(.,1,),2,1()1,1(,1221并指出其分布参数并指出其分布参数正态分布正态分布近似服从近似服从随机变量随机变量充分大时充分大时证当证当试试上服从均匀分布上服从均匀分布在区间在区间且且相互独立相互独立设随机变量设随机变量 nininiXnZnniXXXX证证),2,1(,2niXYii 记记)()(2iiXEYE)(iXD,31 22)()()(iiiYEYEYD .)()(24iiYEXE 例例5 1144d21)(iiixxXE因为因为,51 23151)(iYD所以所以,454 ,21相互独立相互独立因为因为nXXX .,21相互独立相互独立所以所以nYYY根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服从正态分布近似服从正态分布.454,31 nNZ 近似地服从正态分布近似地服从正态分布故故四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.李雅普诺夫资料李雅普诺夫资料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn:6 Jun.1857 in Yaroslavl,RussiaDied:3 Nov.1918 in Odessa,Russia德莫佛资料德莫佛资料Abraham de Moivre Born:26 May.1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov.1754 in London,England拉普拉斯资料拉普拉斯资料Pierre-Simon Laplace Born:23 Mar.1749 in Beaumont-en-Auge,Normandy,France Died:5 Mar.1827 in Paris,France。