小学奥数《抽象问题》

小学奥数《抽象问题》（上）一、简单统筹规划1、一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各煎一分钟）解：因为这只平底锅上可煎两只饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟但这不是最省时间的办法因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3分钟2、6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟现在只有一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总等候的时间最短？这个最短时间是多少？解：第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候；第二个人接水时，有5个人等候；……第6个人接水时，只有他1个人等候可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应用越短，这样的等候时间才会最少，因此，应用把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是3×6＋4×5＋6×3＋7×2＋10=100（分）3、如图，有甲、乙两个工厂各自需要15吨钢材，而丙、丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这种钢材，问如何调运可使甲、乙两个工厂都正好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省（假设钢材的运费每吨千米相同）？解：因为运费的多少决定于每吨钢所运的路程，所以只需计算所有钢材被运的路程，并使总路程尽可能的少。

设所有钢材被运路程为S（单位：吨千米） 设从丙仓库运往甲工厂钢材m吨，则所剩（12－m）吨钢材将运往乙工厂，且丁仓库将运往甲工厂（15－m）吨，剩作的（18－15＋m）吨应运往乙工厂所以S=800m＋500×（12－m）＋400×（15－m）＋300×(18－15＋m)=200m+12900，由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材，只需S最小即可，而S的大小取决于m，故m最小时S最小，所以m应为0这时的具体调运方案为：由丁仓库运15吨钢材到甲工厂，运3吨钢材到乙工厂，丙运12吨钢材到乙工厂二、小学奥数包含与排除1、育华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人，两种标本都采集的有8人，每人至少采集一种，全班共有学生多少人？解：27＋21－8=40（人）答：全班学生共有40人2、某班同学参加数学小组和作文小组的总人数是26人，其中参加数学小组的17人，参加作文小组的14人，数学、作文两组都参加的有几个人？分析：如图，用A1表示参加数学小组的人数，A2表示参加作文小组的人数，A1与A2相交部分（即阴影部分）表示两个小组都参加的人数从图中容易看出，如果我们把17与14相加，那么阴影部分所包含的人数就被加了两次，结果比26人多出来的人数正好是两个小组都参加的。

解：17＋14－26=5（人）答：两个小组都参加的有5人3、某区100个外语教师懂英语或日语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂日语的有20人，问懂日语的有多少人？分析：如图，A1表示懂英语的人，A2表示懂日语的人，A1与A2相交部分表示既懂英语又懂日语的人，阴影部分表示只懂英语的人，由图可知，懂日语的人数应等于总人数减去只懂英语的人数解：1）只懂英语的人数：75－20=55（人）；2）懂日语的人数：100－55=45（人）答：懂日语的有45人4、某班学生46人，其中会骑自行车的有17人，会游泳的有14人，既会骑自行车又会游泳的有5人问两样都不会的有几人？分析：如图，N表示全班人数，A、B分别表示会骑自行车的人数和会游泳的人数，那么两样都不会的人数可用阴影部分来表示由图可以看出：两样都不会的人数=全班总人数－会骑车或会游泳的人数解：1）会骑车或会游泳的人数：17＋14－5=26（人）；2）两样都不会的人数：46－26=20（人）答：两样都不会的有20人5、在1至100的自然数中，能被动2整除的数有50个（100÷2=50）；能被动3整除的数有33个（100÷3=33…1）；能被动5整除的数有20个（100÷5=20）；能被动2、3整除的数有16个（100÷6=16…4）；能被动2、5整除的数有10个（100÷10=10）；能被动3、5整除的数有6个（100÷15=6…10）；能被动2、3、5整除的数有3个（100÷30=3…10）；所以50+33+20－16－10－6+3=74（个）答：在1至100的自然数中，能被2或3或5整除的数有74个。

6、如图所示，A、B、C分别表示面积为12，28，16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的面积为38，并且A与B，B与C，C与A公共部分面积分别为8，7，6，求A、B、C三个图形公共部分（阴影部分）的面积解：设公共部分的面积是X，那么12＋26＋16－8－7－6+X=38，所以X=3答：公共部分的面积是37、暑假期间，有12个同学去冷饮店，向服务员交出需要的冷饮统计数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要咖啡，有2个人既要咖啡又要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有1个人可可、咖啡、果汁都要问有没有什么冷饮都没要，如果有的话，有几个人？解：1）要了冷饮的人数：6＋5＋5－3－2－3＋1=9（人）2）什么冷饮都没要的人数：12－9=3（人）答：有3个同学什么冷饮都没要三、抽屉原理1、光明小学有367位1984年出生的学生，那么至少有几个学生的生日是在同一天？解：一年最多有366天，把366天看做366个“抽屉”，把367位同学的生日看做367个“苹果”367苹果放进出366个抽屉里中，一定有一个抽屉至少有两个苹果，这就说明，一定有一天，至少有两个同学是同一天出生的。

2、数学兴趣小组有13个学生，请你说明在13个同学中，一定有两个同学属相一样解：把12个属相作为12个“抽屉”，13人按照自己的属相进入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”里有两个或两个以上的人，也就是说至少有两个人的属相相同3、在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米解：把1米长的直尺平均划分成四段，每段25厘米，把这四段看成四个“抽屉”，当把五个点随意放入四个“抽屉”时根据抽屉的原理，一定有一个“抽屉”里有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25厘米，以所结论成立4、有3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么？解：自然数可以分为奇数和偶数，把奇数与偶数当做两个“抽屉”，把3个数放进两个“抽屉”里，则一定有一个“抽屉”里至少有两个数这两个数不管同是奇数还是同是偶数，其和一定是偶数5、四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由解：把4个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当做3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一样“抽屉”里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同。

说明：由前面例题可知，关于抽屉原理的题目，其解题的步骤是：1）确定把什么当做“抽屉”；2）确定把什么当做“苹果”；3）如果条件满足“抽屉少、苹果多”，则根据抽屉原理得出结论6、班上有38人，老师至少要拿几本书，随意分给大家，才能保证一定有一个同学能得到两本或两本以上的书？解：把38个人看成38个“抽屉”，书看成“苹果”，若满足题意，根据抽屉原理，书的数目必须大于38的最小整数是39，所以，至少要拿39本书才能满足要求7、黑、白、黄三种颜色各有很多根筷子，在黑暗处至少拿出几根筷子就能保证有一双是同颜色的筷子？解：把黑、白、黄三种颜色当做3个“抽屉”，把筷子当做“苹果”，根据抽屉原理，至少有4个苹果，才能使其中一个抽屉至少有两个苹果所以，至少拿4根筷子，才能保证有一双是同样颜色的筷子8、幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两个，但不能是同样的，问至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？解：从四种玩具中挑选不同的两件，所有的搭配有如下6组：牛，马；牛，羊；牛，狗；马，羊；马，狗；羊，狗；把每一组搭配看成一个“抽屉”，共6个“抽屉”，根据抽屉原理，至少要有7个小朋友，才能保证有两人所拿的玩具相同。

9、某校六年级（1）班有48个学生，至少有几个学生在同一月内过生日？解：一年有12个月，把12个月作为12个“抽屉”，把48个学生作为48个“苹果”48=4×12，根据抽屉原理，至少有4个学生在同一个月内过生日10、有4个运动员练习投篮，一共投进了30个球，一定有一个运动员至少投进几个球？解：把4个运动员作为4个“抽屉”，把30个球作为30个“苹果”30=7×4＋2，根据抽屉原理，一定有一个运动员至少投进了8个球11、布袋中有60块形状、大小相同的木块，每15块编上相同的号码，一次至少取出多少块，才能保证其中至少有三块号码相同？解：因为有60块木块，每15块编上相同号码，所以布袋中的木块分成4类，编号相同的算一类把这4类看做是4个“抽屉”，而现在是要保证至少有三块在同一“抽屉”里，所以一次最少应取2×4＋1=9（块）12、在1个2×5的方格里任意染上黑色或白色，那么不管你怎样染，至少有两列着色完全相同，这是为什么？请你说明理由 黑 黑 白 白 黑 白 黑 白 （1） （2）解：2×5的方格有5列，每列有人个小方格如图（1），用黑白两种颜色给每列中的两个小方格随意染色，只有4种情况如图（2）。

将这4种颜色给每列中的两个小方格随意染色，只有4种情况如图（2），将这4种染色的情况看做“4个抽屉”，5列看做“5个苹果”，根据抽屉原理，必有两个苹果放在同一抽屉中，也就是说，必有两列染色方法完全相同13、用红、蓝两种颜色将一个3×9的方格随意染色，请你说明：必有两列，它们的小方格中染的颜色完全相同解：3×9的方格中有9列，每列3个小方格如图（1），用红、蓝两色给每列3个小方格随意染色，只有8种情况如图（2），将这8种情况看做“8个抽屉”，而3×9方格的9列看做“9个苹果”，根据抽屉原理，必有两列染色方法完全相同 （1） 红 红 红 蓝 红 蓝 蓝 蓝红 红 蓝 红 蓝 红 蓝 蓝红 蓝 红 红 蓝 蓝 红 蓝 （2）14、对一块3×7的棋盘，每一格可任意染成黑色或白色，请你说明，对任意的染法棋盘上必含有一个长方形，它的四个角的着色相同解：第一行有七个方格，因为只有两种颜色，根据抽屉原理，必有一种颜色染了四个或四个以上的方格，我们不妨设第一行有四个黑方格。

再看第二行，在第一行的四个黑方格的下面的四格中，如果有两格黑色，则结论已成立，否则必有三个白色方格再看第三行，在第二行的三个白格下面的三格中，必有一种颜色着两格或两格以上，此色若黑就与第一行组成符合条件的长方形，此色若白色就与第二行组成符合条件的长方形15、平面上给定6个点，没有3个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连结起来，那么由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色（简称同色三角形）请你说明理由解：因为有6个点，所以，从每一个点都要引出5条线段，这5条线段的染色只有两种（红色或蓝色），由抽屉原理知，至少有三条线段同色，不妨设是红色的，下图中的A1A2，A1A3，A1A4这时三角形A2A3A4的三边可能有下面两种可能1）A2A3，A3A4，A4A2三条线段中有一条是红色的，那么，这条红色线段与A1点列出的两条线段组成了一个红色三角形；2）A2A3，A3A4，A4A2三条线段中没有红色线段，那么，三角形A2A3A4三条边都是蓝色的，于是三角形A2A3A4就是一个蓝色三角形无论（1）（2）哪种情况，题目结论都成立。