高数课件9洛必达法则

洛 必 达 法 则 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一运算法则这种极限称为未定式,00 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式极限的L.H ospital法则，利用这一法则，可以直接求和00这两种基本未定式的极限，也可间接求出 1,0,0 00等其它类型的未定式的极限 洛 必 达 法 则型 未 定 式 解 法型 及一 、 :00 定 义 .00)( )(lim ,)( )(,)()( 型 未 定 式或称 为 那 末 极 限大都 趋 于 零 或 都 趋 于 无 穷与 两 个 函 数时或如 果 当 xF xfxF xfxaxx ax例如, ,tanlim0 x xx ,sinlnsinlnlim0 bxaxx)00( )( .)( )(lim)( )(lim );()( )(lim)3( ;0)()( )(),()2( ;)()(,0)1( xF xfxF xfxF xf xFxF xfaa xFxfx axaxax 那 末 或 为 无 穷 大存 在都 存 在 且及 本 身 可 以 除 外点点 的 某 领 域 内在 都 趋 于 零及函 数时当设定 理定 义 这 种 在 一 定 条 件 下 通 过 分 子 分 母 分 别 求 导 再求 极 限 来 确 定 未 定 式 的 值 的 方 法 称 为 洛 必 达 法 则 .,该法则仍然成立时以及时当 xaxx 证定义辅助函数,0 ),()(1 ax axxfxf ,0 ),()(1 ax axxFxF,),(0 xaU内任取一点在 ,为端点的区间上与在以xa ,)(),( 11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()( )()()( )( aFxF afxfxF xf )( )(Ff )(之间与在ax, aax 时当,)( )(lim AxF xfax ,)( )(lim AFfa .)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax 注定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的 极限存在或为定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若)(),( )(),()( )(lim0 xgxf xgxfxg xfxx )( )(lim)( )(lim 00 xg xfxg xf xxxx )( )(lim0 xg xfxx x xxxxxxxx , 000换成将仍有类似的结论型的极限时00 x如：定理)()( )(lim)( )(lim )()( )(lim)3( 0)(|)(),()2( 0)(lim)(lim)1( |)(),( 或则或时可导，且在上有定义，且在设Axg xfxg xf Axg xf xgNxxgxf xgxf Nxxgxf xxx xx 关于型的极限，有下述定理定理)()( )(lim)( )(lim )()( )(lim)3( 0)()(),()2( )(lim)(lim)1( )(),( 000 00 0 或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设Axg xfxg xf Axg xf xgxgxf xgxf xxgxf xxxx xx xxxx x xxxxxxxx , 000换成将结论仍成立 例 1 .123lim 23 31 xxx xxx求)00(解 123 33lim 2 21 xx xx原式)00(26 6lim1 x xx .23例2 xx xee xxx sin 2lim0 )00( xee xxx cos1 2lim0 )00(xee xxx sinlim0 )00( xee xxx coslim0 2注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。

例 3解 .1arctan2lim x xx 求2 211 1lim xxx 原式221lim xxx .1例 4解 .sinlnsinlnlim0 bxaxx求axbxb bxaxax sincos sincoslim0 原式.1)00( )( axbxx coscoslim0 例5证明0lnlim x xx )0,(0lim xx ex证分两种情况正整数若则连续使用次法则，得xxxx eex !limlim 0正整数若 )10( rr记则连续使用次法则，得xxxx e xex )1()1(limlim x rx e x )1()1(lim x rx e x 1 1 )(1()1(lim rxx xe 11 )(1()1(lim 0本例说明：都趋于时，当xexxx ,ln但它们趋于+的速度有快有慢由慢到快依次是：对数函数、幂函数、指数函数这一点从图上即可看出o xy xy ln xy xey 例 6 .3tantanlim2 xxx 求)( 解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则xxxxxx xx cos3cos3sinsinlim3tantanlim 22 )00(xxxx xx cos3coslim3sinsinlim 22 xxx cos3coslim2xxx sin3sin3lim2 3 例7 11sinlim 20 xx e xx )00(xx e xxx 1cos1sin2lim0 分母1，分子振荡而没有极限L.H ospital法则“失效”xxe xe xx xxxx 1sin1lim11sinlim 020 但01 0注分子分母中出现xxxxxx 1cos,1sin,cos,sin,0时或时不可使用L.H ospital法则 例 8 .tantanlim 20 xx xxx 求解 30 tanlim x xxx 原式220 3 1seclim xxx x xxx 6 tansec2lim 20 x xx tanlim31 0 .31注 意 ： 洛 必 达 法 则 是 求 未 定 式 的 一 种 有 效 方 法 ，但 与 其 它 求 极 限 方 法 尤 其 是 等 价 无 穷 小 的 代换 结 合 使 用 ， 可 以 简 化 运 算 过 程 ， 效 果 会 更好 ， 使 用 起 来 也 更 有 效 。

型 未 定 式 解 法二 、 00 ,1,0,0 关 键 :通过适当的恒等变形将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .),00( )( 仍可使用L.H ospital法则来求极限型0.1步骤: ,10 .000100 或即将其中之一个因子下放至分母就可转化为型或00 例9 xxx lnlim0 xxx 1lnlim0 20 11lim xxx xx 0lim 0注意：对数因子不下放，要放在分子上型.2步骤: 0101 .00 00 例 10 ).1sin1(lim0 xxx 求)( 解 xx xxx sinsinlim0 原式xxx xx cossin cos1lim0 .0型00 ,1,0.3 步骤: ln0 1ln0ln010 00取对数.0 例 11 .lim0 xx x求)0( 0解 xxx e ln0lim原式xxxe lnlim0 xxxe 1lnlim020 11lim xxxe 0e .1例 12 .lim 111 xx x 求)1( 解 xxx e ln111lim 原式xxxe 1lnlim1 11lim1 xxe .1 e 例 13解 .)(cotlim ln10 xx x求)( 0 ,)(cot )ln(cotln1ln1 xxx ex 取对数得)ln(cotln1lim0 xxx x xxx 1 sin1cot1lim 20 xx xx sincoslim0 ,1 .1 e原式 例 14解 .coslim x xxx 求1sin1lim xx 原式).sin1(lim xx 极限不存在洛必达法则失效。

)cos11(lim xxx 原式.1注 意 ：洛必达法则的使用条件 几 点 说 明 L.H ospital法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为，当定理的条件不满足时，主要是指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不，函数之比的极限未必不存在，此时L.H ospital法则：“失效”xxxxxx 1cos,1sin,cos,sin,0时或时若出现不宜使用L.H ospital法则L.H ospital法则只能对，00这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化 L.H ospital法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好使用L.H ospital法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则）可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算 三 、 小 结洛 必 达 法 则型00 ,1,0 型型0型00型 gfgf 1fg fggf 11 11 取对数令gfy 。