三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质_PDF密码解除

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O是 ABC 的重心 OA OB OC 0;若 O是 ABC 的重心,则S1BOC S S SA OC A OB3A BC故 OA OB OC 0;1 ( )PG PA PB PC G 为 ABC 的重心.32．O是 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA;若 O是 ABC ( 非直角三角形 ) 的垂心,则 S S S tan A tan B tan CBOC ： ： ： ：A OC A OB故tan AOA tan BOB tan COC 03．O是 ABC 的外心 |OA | | OB | | OC |( 或2 2 2O A O B O C )若 O是 ABC 的外心则 S S S sin BOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B : sin2CBOC： ： ： ：AOC AOB故sin2AOA sin2BOB sin 2COC 04．O是内心 ABC 的充要条件是OA (|ABAB|ACAC)OB(|BABA||BCBC|)OC(|CACA||CBCB|)0引进单位向量,使条件变得更简洁如果记 AB, BC, CA 的单位向量为e1 ,e ,e ,则刚才 O是2 3ABC 内心的充要条件可以写成 O A (e e ) O B (e e ) O C (e e ) 01 ,O 是3 1 2 2 3ABC 内心的充要条 件也可以是 aO A bOB cOC 0 。

若 O 是 ABC 的内心,则S BOC ： S A OC ： S A OB a：b： c故 aO A bOB cO C 0或sinA OA sinBOB sinC OC 0;A| AB| PC | BC | PA |CA |PB 0 P 是 ABC 的内心;e1e2AB AC向量 ( )( 0)| AB | | AC |所在直线过 ABC 的内心 ( 是 BAC 的角平BCP 分线所在直线 ) ；( 一) 将平面向量与三角形内心结合考查例 1 ．O 是 平面上 的一 定 点, A,B,C 是 平面 上不共 线的 三个 点 ,动 点 P 满足AB ACOP OA ( ) , 0, 则P点的轨迹一定通过 ABC 的（ ）AB AC（A）外心（B）内心（ C）重心（D）垂心解析：因为ABAB是向量 AB 的单位向量设 AB 与 AC 方向上的单位向量分别为e1和 e , 又2- 1 -OP OA AP ,则原式可化为 AP (e1 e2 ) ,由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ,那么在ABC 中,AP平分 BAC ,则知选 B.( 二) 将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2． H是△ABC所在平面内任一点, HA HB HB HC HC HA 点H是△ABC的垂心.由HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB AC 0 HB AC ,同理 HC AB,HA BC . 故 H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略） ）例 3.( 湖南)P 是△ABC所在平面上一点,若 PA PB PB PC PC PA,则 P是△ABC的（D ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心解析: 由PA PB PB PC得PA PB PB PC 0 . 即PB (PA PC) 0,即PB CA 0则PB CA,同理PA BC, PC AB 所以 P为 ABC 的垂心. 故选 D.( 三) 将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4． G是△ABC所在平面内一点, GA GB GC =0 点 G是△ABC的重心.证明 作图如右,图中 GB GC GE连结 BE和 C E,则 CE=GB,BE=GC BGCE为平行四边形 D 是 BC的中点, AD为 B C边上的中线.将GB GC GE 代入 GA GB GC=0,得GA EG =0 GA GE 2GD ,故 G是△ABC的重心. （反之亦然（证略） ）1例 5． P是△ABC所在平面内任一点 . G是△ABC的重心 PG ( ) .PA PB PC3证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)∵G是△ABC的重心 ∴GA GB GC=0 AG BG CG =0,即3PG PA PB PC1由此可得 PG ( ) . （反之亦然（证略） ）PA PB PC3例 6 若O 为 ABC 内一点, OA OB OC 0 ,则 O 是 ABC 的（ ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心解析：由 OA OB OC 0得OB OC OA ,如图以 O B、OC为相邻两边构作平行四边形,则- 2 -OB OC OD ,由平行四边形性质知1OE OD , OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性2质,所以是重心,选 D。

四) 将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若O 为 ABC 内一点, OA OB OC ,则O 是 ABC 的（ ）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心解析：由向量模的定义知 O到 ABC 的三顶点距离相等故 O 是 ABC 的外心 ,选 B 五) 将平面向量与三角形四心结合考查例 8．已知向量OP ,O P2 ,OP3 满足条件 OP1 +OP2 +OP3 =0,| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1 ,1求证 △P1P2P3 是正三角形 . （《数学》第一册（下） ,温习参考题五 B组第 6 题）证明 由已知OP +O P2 =- O P3 ,两边平方得 OP1 · OP2 =112,同理 OP2 · OP3 =O P3 · OP1 =12,∴|1P2P3 是正三角形 .P |=| P2 P3 |=| P3P1 |= 3 ,从而△P1P2反之,若点 O是正三角形△ P1P2P3 的中心, 则显然有OP +OP2 +OP3 =0 且| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |.1即 O是△ABC所在平面内一点,1P2P3 的中心. OP +OP2 +OP3 =0 且| OP1 |=| O P2 |=| OP3 | 点 O是正△P1例 9．在△ABC中,已知 Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证： Q、G、H三点共线,且 QG:GH=1:2证明】：以 A 为原点, AB所在的直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系设 A(0,0) 、B（x1,0 ）、C(x2,y 2) ,D、E、F 分别为 A B、B C、AC的中点,则有：x x x y x y xD（ 1 ,0)、 ( 1 2 , 2 )、 ( 2 , 2 ) 由题设可设 1 E F Q（ ,y )、H (x , y ) , 3 2 42 2 2 2 2 2Gx x y1 2 2( , )3 3x x y2 1 2AH (x , y ),QF ( , y )2 4 32 2 2yC(x 2,y2)BC (x x ,y )2 1 2F HAH BCEAH BC x (x x ) y y 02 2 1 2 4Gy4x (x x )2 2 1y2QxA D B( x1,0)QF ACx x y2 1 2QF AC x ( ) y ( y ) 02 2 32 2 2y3x (x x ) y2 2 1 22y 22x 2x x 3x (x x ) y1 2 1 2 2 1 2QH (x , y y ) （ , )2 4 32 2y2 22- 3 -x x x y 2x x y x (x x ) y2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2QG ( , y ) , )（ 33 2 3 6 3 2y 222x x 3x (x x ) y 1 2x x 3x (x x ) y2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , )6 6y 6 3 2 2y 22 21= QH3即QH =3QG ,故 Q、G、H三点共线,且 Q G：GH=1：2例 10．若 O、H 分别是△ ABC 的外心和垂心 . 求证OH .OA OB OC证明 若△ABC的垂心为 H,外心为 O,如图.连 BO并延长交外接圆于 D,连结 A D,C D.∴AD AB ,CD BC . 又垂心为 H,AH BC ,CH AB ,∴AH∥C D,C H∥AD, ∴四边形 AHCD为平行四边形,∴AH DC DO OC ,故OH OA AH OA OB OC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线” ；（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。

欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题 .1例 11． 设 O、G、H分别是锐角△ ABC的外心、重心、垂心 . 求证 OG OH31证明 按重心定理 G是△ABC的重心 ( )OG OA OB OC31 . 按垂心定理 OH OA OB OC 由此可得 OG OH3一、“重心”的向量风采【命题 1】 G 是△ABC 所在平面上的一点,若 GA GB GC 0,则 G 是△ABC 的重心．如图⑴.CPA'BMGA BAOC图⑴ 图⑵【命题 2】 已知 O 是平面上一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP OA ( AB AC) , (0, ) ,则 P 的轨迹一定通过 △ABC 的重心.- 4 -【解析】 由题意 AP (AB AC) ,当 (0, ) 时,由于 (AB AC) 表示 BC 边上的中线所在直线的向量,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的重心,如图⑵ .二、“垂心”的向量风采【命题 3】 P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA PB PB PC PC PA,则 P 是△ABC 的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ,得 PB (PA PC) 0 ,即 PB CA 0,所以 PB⊥CA ．同理可证PC⊥AB ,PA⊥BC ．∴ P 是△ABC 的垂心．如图⑶ .CAEM HCPBPA B F图⑶ 图⑷O【命题 4】 已知 O 是平面上一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP OAAB ACAB cos B AC cosC, (0, ) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心．【解析】 由题意APAB ACAB cos B AC cos CAB AC,由于 BC 0AB cos B AC cos C,AB BC AC BC即 0, 所以 AP 表示垂直于 BC的向量,即 P 点在过点 A 且BC CB AB cos B AC cosC垂直于 BC 的直线上,所以动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的垂心,如图⑷ .三、“内心”的向量风采【命题 5】 已知 I 为 △ABC 所在平 面上的一点,且 AB c , AC b , BC a ．若aIA bIB cIC 0,则 I 是△ABC 的内心．BCOa cPIA CbAB 图⑹图⑸- 5 -【解析】 ∵IB IA AB ,IC IA AC ,则由题意得 (a b c) IA bAB cAC 0,∵bAB cAC AC AB AB AC AC ABAB ACAB AC,∴AIbc AB ACa b c AB AC．∵ABAB与ACAC分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量,∴ AI 与∠BAC 平分线共线,即 AI 平分 BAC ．同理可证： BI 平分 ABC ,CI 平分 ACB ．从而 I 是△ABC 的内心,如图⑸ .【命题 6】 已知 O 是平面上一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP OAAB ACAB AC, (0, ) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的内心．【解析】 由题意得 APAB ACAB AC,∴当 (0, ) 时, AP 表示 BAC 的平分线所在直线方向的向量,故动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的内心,如图⑹ .四、“外心”的向量风采【命题 7】 已知O 是△ABC 所在平面上一点,若2 2 2OA OB OC ,则 O 是△ABC 的外心．CBPMBAO OCA 图⑻图⑺【解析】 若2 2 2OA OB OC ,则2 2 2OA OB OC ,∴ OA OB OC ,则O 是△ABC 的外心,如图⑺。

命题 7】 已知 O 是平面上的一定点, A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OPOB OC AB AC2 cos cosAB B AC C, (0, ) ,则动点 P 的轨迹一定通过 △ABC 的外心 6 -【解析】 由于OB OC2过 BC 的中点,当 (0, ) 时,AB ACAB cos B AC cos C表示垂直于BC 的向量（注意：理由见二、 4 条解释所以 P 在BC 垂直平分线上,动点 P 的轨迹一定通过△ 的外心,如图⑻ABC补充练习1．已知 A、B、C是平面上不共线的三点, O是三角形 ABC的重心,动点 P满足OP =13(121OA+ OB2+2OC ), 则点 P一定为三角形 ABC的 （ B ）A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D. AB边的中点 1 1 11. B 取 AB 边的中点 M,则 OA OB 2OM ,由 OP = ( OA + OB +2 OC ) 可得 3 2 23OP 3OM 2MC ,∴ MP 2 MC ,即点 P为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点,且3点 P不过重心,故选 B.2．在同一个平面上有 ABC 及一点Ｏ满足关系式：2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC ＋2AB ,则Ｏ为 ABC 的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2．已知△ABC的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： PA PB PC 0 ,则 P 为 ABC 的（ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心3．已知 O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点 P 满足：OP OA (AB AC),则 P的轨迹一定通过△ ABC的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点 P满足：PA PC PA PB PB PC 0,则 P点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形所在平面上的一点,且点 P 满足： a PA b PB c PC 0,则 P 点为三角形的 （ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心2 26．在三角形 ABC中,动点 P 满足： CA CB 2AB CP,则 P 点轨迹一定通过△ ABC的：（ B ）Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心- 7 -→7. 已知非零向量 →AB与→A C满足( AB | A→B|+→AC| A→C|→) · →BC=0 且 AB | A→B|·→AC| A→C|=12, 则△ABC为( )A.三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形解析：非零向量与满足 (AB AC| AB | | AC |) · =0,即角 A 的平分线垂直于 BC,∴ A B=A C,又cos A1AB AC=2| AB| | AC |,∠A=3,所以△ABC为等边三角形,选 D．8. ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH m(OA OB OC) ,则实数 m= 19. 点O是 ABC 所在平面内的一点,满足 OA OB OB OC OC OA,则点 O是 ABC 的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点10. 如图 1,已知点 G是 ABC 的重心,过 G作直线与 AB,A C两边分别交于 M,N两点,且 AM xAB ,AN yAC ,则1 1x y3。

证 点 G是 ABC 的重心,知 GA GB GC O,得 AG (AB AG) (AC AG) O,有上）,1AG AB AC 又 M,N,G三点共线（ A不在直线 MN( )3于是存在 , ,使得 AG AM AN (且 1),有AG xAB yAC =13(AB AC) ,1x y13,于是得1 1x y得 3 8 -1、课前练习1.1 已知 O是△ABC内的一点,若2 2 2OA OB OC ,则 O是△ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心1.2 在△ABC中,有命题① AB AC BC ；②AB BC CA 0；③若 AB AC AB AC 0,则△ABC为等腰三角形； ④若 AB AC 0,则△ABC为锐角三角形, 上述命题中正确的是 〔 〕A、①② B 、①④ C 、②③ D 、②③④AB AC例 1、已知△ABC中,有 BC 0AB AC和ABABACAC12, 试判断△ABC的形状练习 1、已知△ABC中, AB a ,BC b ,B是△ABC中的最大角,若 a b 0,试判断△ ABC的形状4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、已知 O是△ABC所在平面内的一点,满足2 2 2 2 2 2OA BC OB AC OC AB ,则O是△ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题AB AC例 3、已知 P是△ABC所在平面内的一动点,且点 P满足 OP OA , 0, ,AB AC则动点 P一定过△ ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心练 习 2、已 知 O 为平面 内一点, A、B、C 平 面上不 共线 的 三点 ,动点 P 满足1OP OA AB BC , 0, ,则动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的〔 〕2A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心例 4 、 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 , 动 点 P 满 足AB ACOP OA , 0, ,则动点 P一定过△ABC的〔 〕AB cosB AC cosCA、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心练 习 3 、 已 知 O 是 △ ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 , 动 点 P 满 足OB OC AB ACOP , 0, ,则动点 P一定过△ABC的〔 〕2 AC C AB cosB cosA、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心- 9 -例 5、已知点 G 是的重心,过 G 作直线与 AB、AC 分别相交于 M、N 两点,且 1 1AM x AB, AN y AC ,求证： 3 x y7、作业1、已知 O是△ABC内的一点,若 OA OB OC 0,则 O是△ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心2、若△ABC的外接圆的圆心为 O,半径为 1,且OA OB OC 0,则 OA OB 等于〔 〕A、12B 、0 C 、1 D 、123、已知 O 是△ABC 所在 平面 上的 一点 ,A、B、C、所对的过分别是 a、b、c 若a OA b OB c OC 0 ,则 O是△ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心4、已知 P是△ABC所在平面内与 A不重合的一点, 满足 AB AC 3AP,则 P是△ABC的〔 〕A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心5 、平面上的三个向量 OA、OB 、OC 满足OA OB OC 0 , OA OB OC 1,求证：△ABC为正三角形。

6、在△ABC中,O为中线 AM上的一个动点,若 AM＝2,求 OA (OB OC)- 10 -知识改变命运。