傅里叶变换性质证明

2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号f衣］和以t］的傅里叶变换分别为少）和F』少）,F[f1(t)]=F1(^),F[f2(t)]=F2(^)则对于任意的常数a和b,有F[af1(t)+f2(t)]=aF1(^)+bF2(^)将其推广，若F[fi(t)]=Fi(^)i=123……□，则其中线为常数，n为正整数由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和2.6.2反褶与共轭性设f（t）的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换1）反褶f(-1)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为2)共轭(3)既反褶又共轭J)]二匸厂("抄止^=-rrq*===pg严dx=r(u)本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则F^Q)=F(-ffi]PPh(®j=Pf(-©)=?"(©)在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质F［了(-切=凤-©pm©2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。

在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即F®)=)严冋=凤曲)+』承皿)根据定义，上式还可以写成F((a)=忖)目"df=J(/(f)cos(at)dt一J匸(f)sin曲怛(2-34)下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性1)f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得A(co)=J(/(/)cosmi^i,疋(co)=J(/(/)sinco/(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-1)X(3)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时x@)=o，于是厅(更)=2^/(/)cos^i可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即巩-即=盹〕=『〔⑹左边反褶，右边共轭(1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-1)R(3)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R(k«)=0，于是厅〔更)=-2儿/(/)可见，若f(t)是实奇函数，则F@)是虚奇函数，即月⑷二匸了缺*处二匸/②遇血处-丿匸/妙山①泌左边反褶右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。

2.6.4对称性傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质若已知F(Q=F[f(t)]则有F[f(t)]=2nf(-Q证明：因为=月(咖叫少于是将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)所以F[F(t)]=2口f(-Q若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-1)，则有F[F(t)]=2f@)从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立一一即f(t)的频谱是F@),F(t)的频谱为f@)若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有F[F(t)]=-2f(Q利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换下面我们举些例子来说明这一点例ZE试根据FT的对称性'利用冲激信号的傅里叶变换来求直疣信号的傅里叶变换解：已知冲激信号的傅里叶变换为F[E^(t)]=E,将E观为常数函数，它是偶函数，根据FT的对称性，猖F[E]=2HE莎(«)□例2.3试根据FT的对称性'利用葩形肮冲信号的傅里叶变换来求解E通数的傅里叶变换-解：已知矩形脉沖信号的傅里叶变换为T&)根据FT的对称性，可得ErSa若令E=1「则F[強仍]=阳2(更)即E通数的FT是脉宽为氏脉高肯P的葩形肮冲-葩形脉冲信号波形与频谱、E通数的波形与频谙如下圉所示-2.6.5尺度变换若F[f(t)]=F@),贝『"""1—这里a是非零的实常数。

下面利用FT的定义及积分的性质,分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性证明：因为-■■■■■■，"，：；；：|「」宀；・-■■■令at=x,上述两种情况可综合成如下表达式：砒⑷）］=加巴，37H2丿由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）2.6.6时间平移（延时）下面进行证明证明：上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，于是可以得到F[昵tJ]=F®冷一从同理可以得到F[f(t+tJ]=FO0S2.6.7时域微分若F[f(t)]=F(Q,则证明：因为，两边对t求导，可得所以同理，可以推出*1欝由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F(m)乘以(j)n.下面举一个简单的应用例子。

若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT=—+ra?(ciJ)J®F[S(f)]=ja-^-+7iS(ra)=12.6.8频域微分若F[f(t)]=F@),则严雋£|=(-xwF-[孚迥]=(_那屮打证明：因为护朴匚飞伽叫,两边分别对“求导，可得巩⑹二匚4)尹也所以例ZE利用频域徽分特性求F[th解：由于川1]=2唐⑷),根据频域锻分特性可得川-八]=2皿(ra)再由FT的线性可得7[t]-2^(ra)2.6.9时域积分证明：fW苗叫t_co变换积分次序，并且利用阶舐信号的傅里叶变换关系式・・F[u（i-t）]=兀迪）+—!-弄曲于是f叹一0T溯处的丄Qj_I~TDr_严Jjg=f于（£）冗占⑷用1'卒必+『孑（£）dwJ-QJ-®JfU=〔」少尸月0）+曲〔0）占0）特别地，如果竺在曲=D处有界，则月[仁了⑴必=伽尸月（少）例zT利用时域积分特性求F[u（t）lo解：由于F[^(t)]=l,且u(f)=f3(t)dtJ-ID由时域积分特性可猖可见，这与利用符号函数求得的结果一致2.6.10频域积分若F[f(t)]=F@)，则有2.6.11时域卷积定理e~^dt证明：刃久住）恢（£）]=匸讥001-」（卷积和FT的定Q咬换积分次序）（JT定义及苴时穆特性）电一叫丫尖于积分变量的常函数提出来〕=F[无(0]•F[£(f)]=讪)]•F[f2⑹(FI定必由上可见，两于时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，也就是说，两信号时域卷积等效于频谙相乘口2.6.12频域卷积定理与时域卷积定理类似，7[/|①丘⑹=i7[/i⑹皿⑹证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。

由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积或者说两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的2.6.13帕斯瓦尔定理前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式若F［f（t）］=F（Q，贝V=£口月冋九=£陛础®这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解匸血）®=［几）八忙dt-Ijja月*(少)[F*(f33)dn}=]\F(ay)^dtD（IFT定义）（交换积分枕序）（FT定艾式中L『御也是信号f（t）的总能量，IF血评为信号f（t）的能量谱密度帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f（t）|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量If⑷）F/2在整个频率范围内积分来得到此定理也可以如下证明由相关性定理可得匸/（書）八厂-0必=［严（田）『严涵取t=o,即得帕斯瓦尔定理。