2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析） (III)附： 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种【答案】D【解析】试题分析：如果不规定每个同学必须报名，则每人有3个选择报名方法有33333＝243种如果规定每个同学必须报名则每人只有2个选择报名方法有22222＝32种考点：排列、组合．2. 袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A. 1，2，3，…，6 B. 1，2，3，…，7C. 0，1，2，…，5 D. 1，2，3，…，5【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.3. 若随机变量η的分布列如下表：η-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当Pη7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．选D.点睛：本题考查卡方含义，考查基本求解能力.7. 为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知i=18xi=52,i=18yi=228,i=18xi2=478,i=18xiyi=1849，则y对x的回归方程是( )A. y=11.47+2.62x B. y=−11.47+2.62xC. y=2.62+11.47x D. y=11.47−2.62x【答案】A【解析】分析：根据公式计算b≈2.62，≈11.47，即得结果.详解：由b^=i=1nxiyi−nx_y_i=1nxi2−n(x_)2, a^=y_−b^x_，直接计算得b≈2.62，≈11.47，所以y＝2.62x＋11.47.选A.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求a,b，写出回归方程，回归直线方程恒过点(x,y).8. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A={两个点数互不相同}，B={出现一个5点}，则PBA=( )A. 13 B. 518 C. 16 D. 14【答案】A【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30，事件B:出现一个5点，有10种，∴PB|A=1030=13，本题选择A选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值.9. 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A. p1p2 B. p11−p2+p21−p1 C. 1−p1p2 D. 1−1−p11−p2【答案】B【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.10. 如果(x2−12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A. 0 B. 256 C. 64 D. 164【答案】D【解析】分析：先确定n值，再根据赋值法求所有项的系数和.详解：因为展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6.令x＝1，则展开式中所有项的系数和是(1−12)6=164,选D.点睛：二项式系数最大项的确定方法 ①如果n是偶数，则中间一项(第n2+1 项)的二项式系数最大；②如果n是奇数，则中间两项第n+12项与第(n+12+1)项的二项式系数相等并最大.11. 某公司为确定下一xx投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：)和年利润 (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yii=1,2,...8数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①y_=b^x_+a^；②y_=cx+d；③y=p+qlnx；④y=k1+ek2x；⑤y=c1x2+c2，则较适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程的是( )A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③⑤【答案】B【解析】分析：先详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y＝或y＝p＋qlnx较适宜，故选B点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.12. 设1−2x10=a0+a1x+a2x2+...a10x10，则a1+a22+a322+...+a1029的值为( )A. 2 B. 2 046 C. 2 043 D. －2【答案】D【解析】分析：先令x=0得a0，再令x=12得a0+a12+a222+⋯+a10210，解得结果.详解：令x=0得a0=1令x=12得a0+a12+a222+⋯+a10210=0因此a1+a22+a322+...+a1029=-2,，选D.点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.第Ⅱ卷（非选择题）二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上.）13. 有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)【答案】60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有A53＝543＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.14. 已知X服从二项分布B100,0.2，则E−3X−2= ________.【答案】−62【解析】分析：先根据二项分布数学期望公式得EX，再求E-3X-2.详解：因为X服从二项分布B100,0.2，所以EX=1000.2=20,所以E-3X-2=-320-2=-62.点睛：本题考查二项分布数学期望公式，考查基本求解能力.15. 一个碗中有10个筹码，其中5个都标有2元，5个都标有5元，某人从此碗中随机抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金的期望为________．【答案】212【解析】分析：先确定随机变量取法，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.详解：获得奖金数为随机变量ξ，则ξ＝6,9,12,15，所以ξ的分布列为：ξ691215P112512512112E(ξ)＝6112＋9512＋12512＋15112＝212.点睛：本题考查数学期望公式，考查基本求解能力.16. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y^=3−5x，若变量x增加一个单位时，则y平均增加5个单位；③线性回归方程y^=b^x+a^所在直线必过x,y；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22列联表中，由计算得K2=13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是9000.其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程y^=3-5x中若变量x增加一个单位时，则y平均减少5个单位；曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22列联表中，由计算得K2=13.079，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 为了了解创建文明城市过程中学生对创建工作的满意情况，相关部门对某中学的100名学生进行调查．得到如下的统计表：满意不满意合计男生50女生b15合计d100已知在全部100名学生中随机抽取1人对创建工作满意的概率为45.(1)在上表中a,b,c,d,e,f相应的数据依次为；(2)是否有充足的证据说明学生对创建工作的满意情况与性别有关？【答案】(1) 5,30,80,20,55,45； (2) 有.【解析】分析：（1）根据列联表得关系确定a,b,c,d,e,f数值，（2）根据公式求K2，再与参考数据比较得可靠性.详解： (1)填表如下：满意不满意合计男生50555女生301545合计80201005,30,80,20,55,45(2)根据列联表数据可得K2的观测值k＝1005015-530255458020≈9.091>7.879，所以有在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为学生对创建工作的满意情况与性别有关．点睛：本题考查卡方公式，考查基本求解能力.18. 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【答案】(1) 35； (2) 310；（3）12.【解析】本题考查了有条件的概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．（1）因为有5件是次品，第一次抽到理科试题，有3中可能，试题共有5件，（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到理科题有5种可能，第二次抽到理科题有4种可能，第一次和第二次都抽到理科题有6种可能，总情况是先从5件中任抽一件，再从剩下的4件中任抽一件，所以有20种可能，再令两者相除即可．（3）因为在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率为（1）；……….5分（2）；………5分（3）．……….5分19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)．质量的分组区间为490,495,495,500,...,510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如下图．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品的数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列；(3)从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的质量超过505克的概率．【答案】(1)12； (2)分布列见解析；（3）0.3087.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可求出；（2）求Y的分布列；由于Y为重量超过505克的产品数量，抽取的40件产品中任取2件，因此Y的可能取值为0,1,2.由古典概型的概率求法，分别求出概率，即得分布列；（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率，这符合二项分布，利用二项分布即可求出恰有2件产品的重量超过505克的概率.试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，重量超过505克的产品数量为[(0.01+0.05)5]40=12（件）． （2分）（2）Y的可能取值为0,1,2. （3分）P(Y=0)=C282C402=63130（4分）P(Y=1)=C281C121C402=56130（5分）P(Y=2)=C122C402=11130（6分）Y的分布列为Y012P631305613011130 （3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3 （8分）令为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ~B(5,0.3)， （10分）故所求概率为P(ξ=2)=C52(0.3)2⋅(0.7)3=0.3087（12分）考点：统计初步，分布列，二项分布.20. 某单位为了了解用电量y(度)与气温x∘C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y^=b^x+a^，其中b^=−2.现预测当气温为－4∘C时，用电量的度数约为多少？用电量y(度)24343864气温x∘C181310-1【答案】68.【解析】分析：先求均值，代入求得，再求自变量为-4所对应函数值即可.详解：由题意可知x＝14 (18＋13＋10－1)＝10，y＝14 (24＋34＋38＋64)＝40，b＝－2.又回归方程y＝－2x＋过点(10,40)，故＝60.所以当x＝－4时，y＝－2(－4)＋60＝68.故当气温为－4℃时，用电量的度数约为68度．点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.21. 一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数的分布列为：12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求η的分布列及期望Eη．【答案】(1)0.288； (2)240.【解析】分析：（1）先判断随机变量服从二项分布，再根据对应概率公式求结果，（2）先确定随机变量取法，再根据互斥事件概率加法公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求结果.详解：(1)因为服从ξ～B(3,0.4)，运用概率公式P＝C31 (0.4)k(1－0.4)3－k，所以P＝C320.421-0.4=0.288.(2)因为采用1期付款，其利润为200元，采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．所以可能取值为200元，250元，300元．根据表格知识得出：P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.故η的分布列为：η200250300P0.40.40.2E(η)＝2000.4＋2500.4＋3000.2＝240(元)．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X∼B(n,p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.22. 现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢．(1)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；(2)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记ξ=X−Y，求随机变量的分布列与数学期望Eξ．【答案】(1) 827； (2) 19；（3）14881.【解析】分析：（1）先确定参加甲游戏的概率以及参加乙游戏的概率，再根据独立重复试验概率公式求结果，（2）先确定满足条件得两个互斥事件，再根据互斥事件概率加法求结果，（3）先确定随机变量取法，再根据互斥事件概率加法求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.详解：解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 （Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19 （Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，。
所以ξ的分布列是ξ024P随机变量ξ的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.。
