阶段质量检测(四) 模块综合检测(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．已知a，b为非零实数，且aB B．A0)的解集是M，不等式|f(x)＋g(x)|0)的解集为N，则集合M与N的关系是( )A．NM B．M＝NC．M⊆N D．MN4．已知θ∈R，则4＋cos θ的最大值是( )A．2 B．3C. D.5．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为( )A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[3，＋∞)D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)6．已知θ为锐角，a，b均为正实数．则下列不等式成立的是( )A．(a＋b)2≤＋B．(a＋b)2≥＋C．a2＋b2＝＋D．(a＋b)2<＋7．(安徽高考)若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或88．当x>1时，不等式a≤x＋恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]9．若实数x、y满足＋＝1，则x2＋2y2有( )A．最大值3＋2 B．最小值3＋2C．最大值6 D．最小值610．若x>1，则函数y＝x＋＋的最小值为( )A．16 B．8C．4 D．非上述情况二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)11．若x，y，z是正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，则(x＋y)·(y＋z)的最小值为________．12．(广东高考)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________________．13．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1对任意实数x均成立，则实数a的取值范围为________________．14．设正数a，b，c的乘积abc＝1，＋＋的最小值为________．三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.16．(本小题满分12分)若a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，求证：≥·.17．(本小题满分12分)(新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．18.(本小题满分14分)数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．答 案1．选C A项中a2－b2＝(a＋b)(a－b)，由a0，但ab的符号不确定，故B项错误．C项中，－＝＝，由a＋＝＝A.3．选C 由绝对值不等式的性质知|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，∴集合N与集合M成M⊆N关系．4．选B 由4＋cos θ≤·＝3.当且仅当4cos θ＝，即sin θ＝±，cos θ＝时，等号成立，故选B.5．选D 由题意不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义为数轴上到1，－2两个点的距离之和大于等于5的点组成的集合，而－2,1两个端点之间的距离为3，由于分布在－2,1以外的点到－2,1的距离要计算两次，而在－2,1内部的距离则只计算一次，因此只要找出－2左边到－2的距离等于＝1的点－3，以及1右边到1的距离等于＝1的点2，这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．选A 设m＝，n＝(cos θ，sin θ)，则|a＋b|＝≤ ·＝，所以(a＋b)2≤＋.7．选D 当a≥2时，f(x)＝如图1可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－1＝3，可得a＝8；当a<2时，f(x)＝如图2可知，当x＝－时，f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，答案为D.8．选D a≤x＋，由x＋＝x－1＋＋1≥3，即x＋的最小值为3.9．选B 由题知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝时，等号成立．10．选B y＝x＋＋＝x＋＋≥2＝8，当且仅当x＝2＋时等号成立．11．解析：(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋yz＋zx＝y(x＋y＋z)＋zx≥2＝2.答案：212．解析：当x<－2时，原不等式即1－x－x－2≥5⇒x≤－3，此时得到x≤－3；当－2≤x≤1时，原不等式即1－x＋x＋2≥5，此时无解；当x>1时，原不等式即x－1＋x＋2≥5⇒x≥2，此时得到x≥2.于是原不等式的解集为{x≤－3或x≥2}．答案：{x|x≤－3或x≥2}13．解析：由题得|x－a|＋|x－2|≥|(x－a)－(x－2)|＝|a－2|，∴|a－2|≥1，解得a∈(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)14．解析：设a＝，b＝，c＝，则xyz＝1，则＋＋可化为＋＋，不妨设x≥y≥z，则≥≥，据排序不等式得＋＋≥z·＋x·＋y·，＋＋≥y·＋z·＋x·，两式相加并化简可得2≥3.即＋＋≥.即＋＋≥.所以＋＋的最小值为.答案：15．证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.16．证明：由题设和排序不等式，可知有以下n组式子成立：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1b2＋a2b3＋…＋anb1，……a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1bn＋a2b1＋…＋anbn－1.将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式．17．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当“a＝1”时等号成立．所以f(x)≥2.(2)f(3)＝＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3
