二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法绘，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）.如图所示，在直线1上找一点P使得PA+PB最小.当点P为盲线AB与直线1的交点时，PA+PB最小.AB■① 【方法归纳】如图所示，在直线1上找一点B使得线段AB最小.过点A作AB丄1,亚足为B,则线段AB即为所求.AA■1d1② B如图所示，在直线1上找一点P使得PA+PB最小.过点B作关于直线1的对称点B,BB，与直线1交于点P,此时PA+PB最小，则点P即为所求.AA♦0B\B•\-ti/B9③ 如图所示•在ZAOB的边AO,BO上分别找一点C,D使得PC+CD+PD最小.过点P分别作关于AO,BO的对称点E,F,连接EF,并与AO,BO分别交于点C,D・此时PC+CD+PD最小，则点C,D即为所求.如图所示，在ZAOB的边AO,BO上分别找一点E.F使得DE+EF+CF最小.分别过点C,D作关于AO,B0的对称点DSC\连接DCS并与AO,BO分别交于点巳F,此时DE+EF+CF最小，则点E,F即为所求.④ 如图所示，长度不变的线段CD在直线1上运动，在直线1上找到使得AC+BD最小的CD的位置.分别过点A,D作肚〃CD,DA/〃AC,朋与DA交于点再作点B关于直线1的对称点BS连接AB与直线1交于点D,此时点D即为所求.⑤ 如图所示.在平面直角坐标系中，点P为抛物线(y=jr)上的一点，点A(0・1)在y轴正半轴.点P在什么位置时PA+PB最小？过点B作直线1：y=T的亚线段BH，,BH，与抛物线交于点P，,此时PA+PB最小，则点P即为所求.1. 【典型例题】(13广东)已知二次函数y=£—Zinx+m'—(1) 当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时，求二次函数的解析式：(2) 如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C,顶点为D,求C、D两点的坐标：(3) 在(2)的条件下，x轴上绘否存在一点P,使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标：若点不存在，请说明理山.【思路点拨】(1) 山二次函数的图象经过坐标原点O(0,0),直接代入求出m的值即可：(2) 把m=2代入求出二次函数解析式，令x=0.求出y的值，得出点C的坐标：利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可：(3) 根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC+PD最短，求出CD的直线解析式，令y=0,求出x的值，即可得出P点的坐标.【解题过程】解：(1)•.•二次函数的图象经过坐标原点O(0.0),代入二次函数y=x'—2mx+m‘一1,得出：m(11荷泽)如图，抛物线y=\+x・2与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，且A(・l,0).(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标：(2) 判断AABC的形状，证明你的结论：(3) 点M(m,0)是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值.—1=0,解得：m=±1.二次函数的解析式为：丫=£一2x或y=£+2x；Vm=2,.••二次函数y=£—21皿+11£—1得：y=£—4x+3=(x~2)2-1,抛物线的顶点为：D(2,-1),当x=0时，y=3,.：C点坐标为：(0,3),:.C(0.3)、D(2,一1)：当P、C、D共线时PC+PD最短，【方法一】VC(0.3)、D(2,-1),设线CD的解析式为y=kx+3,代入得：2k+3=—1,.°.k=—2,.°.y=—2x+3,33当y=0时，一2x+3=0,解得/.PC+PD最短时，P点的坐标为：P(歹0).【方法二】过点D作DE丄y轴于点E,•••PO〃DE,.•.器=書,•，-T=i解得：?O=2'•••PC+PD最短时，P点的坐标为：P(|,0).【思路点拨】（1）把点A的坐标代入求出b的值，即可得岀抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D的坐标：（2）观察发现AABC是］1角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明.山抛物线的解析式，分别求出点B,C的坐标，再得出AB,AC,BC的长度，易得AC2+BC2=AB\得出△ABC是直角三角形：（3）作出点C关于x轴的对称点CS连接CD交x轴于点M•根据“两点之间，线段最短”可知MC+MD的值最小.求出直线CD的解析式，即可得出点M的坐标，进而求出m的值.【解题过程】解：(1)•/点A(—l,0)在抛物线丫=|r+bx-2上…••钗(一1)2+bX(-1)-2=0,解得b=-|,•••抛物线的解析式为y=g—|x—2=¥（x—|）2_丰，•••顶点D的坐标为（£-f）.(2) 当x=0时y=-2,AC(0,-2),OC=2.i3当y=0时，尹一脅一2=0,=—1,x2=4,AB(4,0),•：OA=1,OB=4,AB=5・VAB2=25,AC2=O^+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20./.AC2+BC2=AB2.•••△ABC是直角三角形.作出点C关于x轴的对称点C冷则C(0,2),OCr=2,连接CD交x轴于点根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC4-NID的值最小.【方法一】设直线CQ的解析式为y=kx+m则24竺,8解得："n=24124•♦二］y=0B'l9—y^x+2=()9・•.m—【方法二】设抛物线的对称轴交x轴于点E.TED"y轴,.OMOC••丽=苗•••ZOCM=ZEDM.ZCrOM=ZDEM,:.△COMsADEM.•_2•_24••3一25・--m_41・III在A点右侧），点H、B关于直线1：y=^x+>/3对称.（1）求A、B两点坐标.并证明点A在直线1上：（2）求二次函数解析式：（3）过点B作直线BK〃AH交直线1于K点，M、N分别为直线AH和直线1上的两个动点，连接HN、NM、MK,求HN+NM+N1K和的最小值.【思路点拨】（1）二次函数y=ax2+2ax-3a（a=0）中只有一个未知参数釘令y=0,解出方程ax2+2ax-3a=0（a#0）,即可得到点A.B的坐标.把点A的坐标代入盲线1的解析式即可判断A是否在直线上：（2）根据点H、B关于过A点的直线1：y=£x+逅对称，得出AH=AB=4,过顶点H作HC丄AB交AB于C点，得AC=|aB=2.利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a,即可得到二次函数解析式：（3）直线BK〃AH易得直线BK的解析式，联立直线1的解析式方程组，即可求出K的坐标.因为点H,B关于直线AK对称，所以HN=BN,所以根据“两点之间，线段最短”得出HN+MN的最小值是MB・作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK.交宜线AH于E,所以QM=KM,易得BNI+N1K的最小值为BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，求出QB的长即可.【解题过程】解:（1）依题总■得a}T+2ax-3a=0（a?0）,解得x】=-3,X2=l,•••B点在A点右侧，•••A点坐标为（0）,B点坐标为（1,0）,T直线1：y=£x+羽，当x=-3时，y=¥><（—3）+羽=0.点A在直线1上.（2）•.•点H、B关于过A点的直线1：y=£x+也对称，.•.AH=AB=4,过顶点H作HC丄AB交AB于C点，则AC=yAB=2,HC=2羽，顶点H（—1,2羽），代入二次函数解析式，解得a=—半，二次函数解析式为y=—芈羽x+弓^,（3）直线AH的解析式为y=V5x+3羽，直线BK的解析式为y=*x+3书,＜尸净+匹解得.y=y/3x—y/3爲近即K(3,2®,则BK=4,•.•点H、B关于直线AK对称，AHN+MN的最小值是NIB,KD=KE=2羽，过点K作直线AH的对称点Q.连接QK,交宜线AH于E,则QM=MK,QE=EK=2羽，AE丄QK,ABM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+NIK的最小值，•••BK〃AH,/.ZBKQ=ZHEQ=90%山勾股定理得QB=8・•••HN+NM+MK的最小值为8.4.(14海南)如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过八(一1,0人CO5)两点，与x轴另一交点为B・已知M(0,1),E(a,0),F(a+1,0),点P是第一象限内的抛物线上的动点.(1) 求此抛物线的解析式：(2) 当a=l时，求四边形N1EFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标：(3) 若厶PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理山.【思路点拨】(1) III对称轴为直线x=2,可以得出顶点横坐标为2,设二次函数的解析式为y=a(x~2)2+k,再把点A,B的代入即可求出抛物线的解析式：(2) 求四边形MEFP的而积的最大值，要先表示出四边形NEFP而积.直接求不好求，可以考虎用割补法来求，过点P作PN丄y轴于点N，山SM-MEFP=S构・OFPN-Sop、c<—Sz，ONE即可得出：(3) 四边形PN1EF的四条边中，线段PM,EF长度|占1定，当ME+PF取最小值时，四边形PMEF的周长収得最小值.将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得到点(1,1),作点关于x轴的对称点M2(h一1),连接PM"与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2M小.【解题过程】解：(1)V对称轴为直线x=2,•••设抛物线解析式为y=o(x-2)2+k・将A(-l,0),C(0,5)代入得:解得｛；二1，Ay=-(x-2)2+9=-x2+4x+5.(2)当a=l时，E(b0).F(2,0),OE=bOF=2.设P(x,-x2+4x+5),如答图2,过点P作PN丄y轴于点N,则PN=x,ON=-x2+4x+5,:.MN=ON-OM=-x2+4x+4.s皿涉mefp=Siwofpn—spmn—S..ome=*(PN+OF)•ON—|pNeMN—|oM*OE=*(x+2)(—x2+4x+5)—|xe(—x2+4x+4)—|x1X1z9宀153(x-4＞十花91539153•••当x=a时，四边形MEFP的而积有最大值为此时点P坐标为(了疋)・VM(0.1),C(0,5),是以点P为顶点的等腰三角形，.••点P的纵坐标为3・令丫=一只+4*+5=3・解得x=2土&・•••点P在第一象限•(2+g3).四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值.如答图3,将点M向右平移1个单位长度(EF的长度人得Mi(b1)：作点Mi关于x轴的对称点卜4则M：(b-1)：连接PNL,与x轴交于F点，此时NIE+PF=PM2最小.设直线PM?的解析式为y=mx+n,将P(2+&,3),M：(1,-1)代入得:(2+&)m+n=3m+n=—1解得：”孚4&+4=5当尸。

时，解得⑴呼..・.f耳,0).“+匸迴m.•.心呼萼丄时，四边形PMEF周长最小.图1图22.（14福州〉如图，抛物线y=*（x-3）2-1与x轴交于A.B两点（点A在点B的左侧〉，与y轴交于点C,顶点为DT.（1）求点A,B,D的坐标：（2）连接CD,过原点O作0E丄CD,垂足为H,0E与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD.求证:ZAEO=ZADC：（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P.过点P作OE的切线，切点为Q,当PQ的长最小时，求点P的坐标，并宜接写出点Q的坐标.【思路点拨】（1）山顶点式直接得出点D的坐标，再令y=0,得j（x-3）2-1=0解出方程，即可得出点A,B的坐标：（2）设HD与AE相交于点F,可以发现ZmEF与Z\ADF组成一个‘逹字型”・对顶角ZHFE=ZAFD,只要ZFHE=ZFAD即可•因为ZEHF=90°,只需证明ZEAD=90即可.山勾股定理的逆定理即可得出△ADE为直角三角形，得ZFHE=ZFAD=90;即可得出结论：（3）先画出图形.因为PQ为0E的切线，所以APEQ为直角三角形，半径EQ长度不变，当斜边PE最小时，PQ的长度最小•设出点P的坐标，然后表示出PE,求出PE的最小值，得到点P的坐标，再求出点Q的坐标即可.【解题过程】解：(1)顶点D的坐标为(3,-1).令y=0,得|(x-3)2-1=0,解得Xi=3+QLX2=3-^.•••点A在点B的左侧，••・A点坐标(3-亚0).B点坐标(3+也，0).77(2)过D作DG丄y轴，垂足为G・则G(0,-1),GD=3・令x=0,则y=沪二。

点坐标为(0,-).79•••GC=5-(-l)=丁设对称轴交x轴于点M・TOE丄CD,AZGCD+ZCOH=90°.VZMOE+ZCOH=90°,AZMOE=ZGCD・又VZCGD=ZOMN=90%AADCG^>AEOM.9•••為=瓷’即l=E\l-AEM=2*即点E坐标为(3‘2),ED=3.山勾股定理，得AE2=6,AD2=3,/.AE2+AD2=6+3=9=ED2・•••△AED是直角三角形，即ZDAE=90°.设AE交CD于点F・/.ZADC+ZAFD=90°.又VZAEO+ZHFE=90%AZAFD=ZHFE,AZAEO=ZADC・(3) lllOE的半径为1,根据勾股定理，得PQ2=EP2-1.要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP?最小.设P坐标为(禺y),由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.Vy=|(x-3)2-b•••(x-3)2=2y+2・AEP2=2y+2+r-4y+4=(y-l)2+5.当y=l时,EP?最小值为5.把y=l代入尸*-3)2-1,得j(x-3)2-l=l,解得为=1,x2=5.又•.•点P在对称轴右侧的抛物线上，.•.xi=1舍去..•.点P坐标为(5,1).此时Q点坐标为(3,1)或(書，y).6.(14遂宁)己知：直线1：y=・2,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点(0,・1).(2,0).(1) 求该抛物线的解析式：(2) 如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线1的亚线，垂足为Q,求证：PO=PQ.<3)请你参考(2)中结论解决下列问题：(1) 如图②，过原点作任意直线AB,交抛物^y=ax2+bx+c于点A、B,分别过A、B两点作直线1的垂线，垂足分别是点M.N,连结ON、ONI.求证：ON丄ONI.

FO=FG・FH=FO•••四边形GHFE是矩形，FO+FD=FG+FD=DG,F,O+FZD=F/H+FT),AEG=FZH,ADE

得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B.(1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；(2) 抛物线上一动点P,设点P到x轴的距离为d】，点P到点A的距离为d?,试说明d2=d】+l：(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时.APAC的周长有最小值，并求出APAC的周长的最小值.【参考答案】1•解:(1)把A(・2,-4),O(0,0),B(2,0)三点的坐标代入yuQ^+bx+c中，得4a—2b+c=—44a+2b+c=0,解得a=■亍，b=l»c=0,•••解析式为y=・^r+x.c=0~~(2)illy=-pf+x=■+(x-1)2+|>可得抛物线的对称轴为x=l,并且对称轴垂直平分线段OB..-.OM=BM,•••OM+AM=BM+AM・连接AB交直线x=l于M点，则此时OM+AM最小,过点A作AN丄x轴于点N,在RtAABN中，AB=^AN2+BN2=^42+42=4>/2>AOM+ANI最小值为4返・2.解：(1)•••等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-IXC的坐标为(4,3),•••点B的坐标为(4,一1)・•••抛物线过A(0,—1),B(4,一1)两点，c=—1丄加丄1，解得：b=2,c=_l,—2X16+4b+c=—1抛物线的函数表达式为：y=-jr+2x-l.(2)(i)VA(0,-1),C(4.3),•••直线AC的解析式为:y=x-l.设平移前抛物线的顶点为Po,则山(1)可得Po的坐标为(2,1〉，UPo在直线AC上.•・•点P在直线AC上滑动，・•・可设P的坐标为(m,m-1),则平移后抛物线的函数表达式为：y=-|(x-m)2+m-l.解方程组:｛；二；_m)2+(m_|)，解得二’AP(m,m—1)»Q(m—2»m—3).过点P作PE〃x轴，过点Q作QF〃y轴，贝ijPE=m—(m—2)=2,QF=(m—1)—(m—3)=2./.PQ=2*\/2=APo.若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2迈(即为PQ的长).illA(0,—1),B(4,-1),Po(2,1)可知.△ABPo为等腰宜角三角形，且BP。

丄AC,BP°=2返・如答图1,过点B作直线11〃AC,交抛物线y=—g+2x—1于点M,则M为符合条件的点.•••可设直线1】的解析式为：y=x+bPVB（4,一1）,•••一1=4+6,解得b==—5・•••直线1】的解析式为:y=x-5.解方程组Jy=x_51y=—|x2+2x—T/.Mi（4・一1）,M2（一2,-7）.②当PQ为斜边时：MP=MQ=2,可求得点M到PQ的距离为2.如答图2,取AB的中点F,则点F的坐标为（2,-1）.illA（0,-1）,F（2,-1）,Po（2,1）可知:AAFPo为等腰II角三角形，且点F到直线AC的距离为2.过点F作直线U//AC,交抛物线丫=一冥+2x—1于点M,则M为符合条件的点..•.可设直线12的解析式为：y=x+b2,VF（2,-1）,•••-l=2+b2,解得b2=-3.•••!［线b的解析式为:y=x-3・解方程组・y=x_3y=~5x2+2x-lXi=1+a/5|xi=1—谚,y1=-2+V5,lyi=-2-V5•••M3（1+&,—2+&）,Mi（1—托，一2—心）.综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：Mi（4,—1）»M2（一2,—7）,M3（1—2+^5）»（1—逅，—2—^5）.（11）心P%Q存在最大值•理山如下：Illi）知PQ=2返为定值，则当NP+BQ取最小值时，需笔Q有最大值.如答图2,取点B关于AC的对称点易得点B的坐标为（0,3）,BQ=BQ・连接QF,FN,QB\易得FN〃PQ,EFN=PQ,A四边形PQFN为平行四边形.ANP=FQ.ANP+BQ=FQ+BQ^FB*=-72^+7=2审・NP+BQ的最大值为2\[2V102眉5・•••当Q、F三点共线时,NP+BQ最小,最小值为2运.所以抛物线的解析式为：y=g：过点B作BE丄y轴于E,过点C作CD丄y轴于D,如图,•••点B绕点A顺时针方向90。

得到点C,ARtABAE^RtAACD,AAD=BE=4,CD=AE=OE・OA=4・1=3,/.OD=AD+OA=5.・・・C点坐标为(3,5)：(2) 设P点坐标为(氣b),过P作PF丄y轴于F,PH丄x轴于H,如图，T点P在抛物线y=|x2±,/.b=|a2,/.di=|a2,VAF=OF-OA=PH-OA=di-l=|a2-1,PF=a,(3) 在RtAPAF中，PA=d2=^AF24-PFi=^(^a:—l)2+a2=^a2+1,d2=d14-l；III(1)得AC=5,/.APAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6,要使PC+PH最小，则C\P.H三点共线，•••此时P点的横坐标为3,把x=3代入y=訂,得到y=|»。