常考问题22 不等式选讲[真题感悟]1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.解 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B级要求．(2)不等式证明的基本方法；B级要求．(3)利用不等式的性质求最值；B级要求．(4)几个重要的不等式的应用．B级要求.1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)|f(x)|0)⇔－a0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.热点一 含绝对值不等式的解法【例1】 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．解 (1)当a＝－3时，f(x)＝当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当20.所以a3＋b3≥(a2＋b2)．热点三 不等式的综合应用【例3】 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．解 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－≤x≤，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f，则h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.[规律方法] 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值．【训练3】 (2013·苏北四市模拟)已知非负实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＋x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z的最大值．解 条件可化为2＋(y＋1)2＋2＝，则2≤3＝，从而x＋y＋z≤，当且仅当x＋＝y＋1＝z＋＝时，等号成立．所以，当x＝1，y＝，z＝0时，x＋y＋z取得最大值.备课札记： 。
