D98多元函数的极值及其求法.ppt

第 九 章 第八节一 、 多 元 函 数 的 极 值 二 、 最 值 应 用 问 题三 、 条 件 极 值 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 多元函数的极值及其求法 x yz一 、 多 元 函 数 的 极 值 定 义 : 若 函 数则 称 函 数 在 该 点 取 得 极 大 值 (极 小 值 ).例 如 : 在 点 (0,0) 有 极 小 值 ;在 点 (0,0) 有 极 大 值 ;在 点 (0,0) 无 极 值 . 极 大 值 和 极 小 值统 称 为 极 值 , 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .),(),( 00 yxfyxf ),(),( 00 yxfyxf 或22 43 yxz 22 yxz yxz ),(),( 00 yxyxfz 在 点 的 某 邻 域 内 有x yzx yz机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 使 偏 导 数 都 为 0 的 点 称 为 驻 点 . 例 如 ,定 理 1 (必 要 条 件 ) 函 数偏 导 数 ,证 :据 一 元 函 数 极 值 的 必 要 条 件 可 知 定 理 结 论 成 立 .0),(,0),( 0000 yxfyxf yx 取 得 极 值 ,取 得 极 值取 得 极 值 但 驻 点 不 一 定 是 极 值 点 .有 驻 点 ( 0, 0 ), 但 在 该 点 不 取 极 值 .且 在 该 点 取 得 极 值 , 则 有 ),(),( 00 yxyxfz 在 点 存 在),(),( 00 yxyxfz 在 点因 在),( 0yxfz 0 xx 故在),( 0 yxfz 0yy yxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 时 , 具 有 极 值定 理 2 (充 分 条 件 )的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 和 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且令则 : 1) 当 A0 时 取 极 小 值 .2) 当3) 当证 明 见 第 九 节 (P65) . 时 , 没 有 极 值 .时 , 不 能 确 定 , 需 另 行 讨 论 .若 函 数 的在 点 ),(),( 00 yxyxfz 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx ),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx 02 BAC 02 BAC 02 BAC 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 求 函 数解 : 第 一 步 求 驻 点 .得 驻 点 : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第 二 步 判 别 .在 点 (1,0) 处 为 极 小 值 ;解 方 程 组A B C),( yxfx 0963 2 xx),( yxfy 063 2 yy 的 极 值 .求 二 阶 偏 导 数,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy,12A ,0B ,6C,06122 BAC 5)0,1( f ,0A xyxyxyxf 933),( 2233 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 点 (3,0) 处 不 是 极 值 ;在 点 (3,2) 处 为 极 大 值 .,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy,12A ,0B ,6C,06122 BAC )0,3( f 6,0,12 CBA 31)2,3( f ,0)6(122 BAC ,0A在 点 (1,2) 处 不 是 极 值 ;6,0,12 CBA )2,1(f,0)6(122 BAC A B C 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2.讨 论 函 数 及是 否 取 得 极 值 .解 : 显 然 (0,0) 都 是 它 们 的 驻 点 ,在 (0,0)点 邻 域 内 的 取 值, 因 此 z(0,0) 不 是 极 值 .因 此 ,022 时当 yx 222 )( yxz 0)0,0( z为 极 小 值 .正负 0 33 yxz 222 )( yxz 在 点 (0,0)x yzo并 且 在 (0,0) 都 有 02 BAC33 yxz 可 能 为 0)()0,0( )0,0(222 yxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 最 值 应 用 问 题函 数 f 在 闭 域 上 连 续函 数 f 在 闭 域 上 可 达 到 最 值 最 值 可 疑 点 驻 点边 界 上 的 最 值 点特 别 , 当 区 域 内 部 最 值 存 在 , 且 只 有 一 个 极 值 点 P 时 , )(Pf 为 极 小 值 )(Pf 为 最 小 值(大 ) (大 )依 据 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3.解 : 设 水 箱 长 ,宽 分 别 为 x , y m ,则 高 为则 水 箱 所 用 材 料 的 面 积 为令 得 驻 点某 厂 要 用 铁 板 做 一 个 体 积 为 2根 据 实 际 问 题 可 知 最 小 值 在 定 义 域 内 应 存 在 ,的 有 盖 长 方 体 水问 当 长 、 宽 、 高 各 取 怎 样 的 尺 寸 时 , 才 能 使 用 料 最 省 ?,m2yx2A yx yxy 2 yxx 2 yxyx 222 00yx0)(2 22 xx yA 0)(2 22 yy xA 因 此 可断 定 此 唯 一 驻 点 就 是 最 小 值 点 . 即 当 长 、 宽 均 为高 为 时 , 水 箱 所 用 材 料 最 省 .3m )2,2( 33 3 23222 233 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 有 一 宽 为 24cm 的 长 方 形 铁 板 , 把 它 折 起 来 做 成解 : 设 折 起 来 的 边 长 为 x cm, 则 断 面 面 积x24一 个 断 面 为 等 腰 梯 形 的 水 槽 , 倾 角 为 ,A cos2224 xx x224(21 sin) x sincossin2sin24 22 xxx x224 x积 最 大 . )0,120:( 2 xD为 问 怎 样 折 法 才 能 使 断 面 面 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 cos24x cos2 2x 0)sin(cos 222 x令 xA sin24 sin4x 0cossin2 xA解 得 :由 题 意 知 ,最 大 值 在 定 义 域 D 内 达 到 ,而 在 域 D 内 只 有一 个 驻 点 , 故 此 点 即 为 所 求 .,0sin 0 x sincossin2sin24 22 xxxA )0,120:( 2 xD 0cos212 xx 0)sin(coscos2cos24 22 xx (cm)8,603 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 条 件 极 值极 值 问 题 无 条 件 极 值 :条 件 极 值 :条 件 极 值 的 求 法 : 方 法 1 代 入 法 .求 一 元 函 数 的 无 条 件 极 值 问 题对 自 变 量 只 有 定 义 域 限 制对 自 变 量 除 定 义 域 限 制 外 ,还 有 其 它 条 件 限 制例 如 ,转化 ,0),( 下在 条 件 yx 的 极 值求 函 数 ),( yxfz )(0),( xyyx 中 解 出从 条 件 )(,( xxfz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,0),( 下在 条 件 yx方 法 2 拉 格 朗 日 乘 数 法 .如 方 法 1 所 述 ,则 问 题 等 价 于 一 元 函 数 可 确 定 隐 函 数的 极 值 问 题 ,极 值 点 必 满 足 设 记 .),( 的 极 值求 函 数 yxfz 0),( yx ,)(xy )(,( xxfz 例 如 , 故 0dddd xyffxz yx,dd yxxy 因 0 yxyx ff yyxx ff 故 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 引 入 辅 助 函 数辅 助 函 数 F 称 为 拉 格 朗 日 ( Lagrange )函 数 .0 xxx fF 0 yyy fF 0F 利 用 拉 格极 值 点 必 满 足 0 xxf 0 yyf 0),( yx则 极 值 点 满 足 :朗 日 函 数 求 极 值 的 方 法 称 为 拉 格 朗 日 乘 数 法 .),(),( yxyxfF 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 推 广 拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 多 个 自 变 量 和 多个 约 束 条 件 的 情 形 . 设 解 方 程 组可 得 到 条 件 极 值 的 可 疑 点 . 例 如 , 求 函 数下 的 极 值 . 在 条 件),( zyxfu ,0),( zyx0),( zyx ),(),(),( 21 zyxzyxzyxfF 021 xxxx fF 021 yyyy fF 021 zzzz fF 01 F 01 F 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 要 设 计 一 个 容 量 为 0V 则 问 题 为 求 x , y ,令解 方 程 组解 : 设 x , y , z 分 别 表 示 长 、 宽 、 高 ,下 水 箱 表 面 积最 小 .z 使 在 条 件 xF 02 zyyz yF 02 zxxz zF 0)(2 yxyx F 00 Vzyx水 箱 长 、 宽 、 高 等 于 多 少 时 所 用 材 料 最 省 ？的 长 方 体 开 口 水 箱 , 试 问 0Vzyx yxzyzxS )(2)()(2 0VzyxyxzyzxF x y z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 得 唯 一 驻 点 ,22 3 0Vzyx 3 024V由 题 意 可 知 合 理 的 设 计 是 存 在 的 ,长 、 宽 为 高 的 2 倍 时 ， 所 用 材 料 最 省 .因 此 , 当 高 为 ,3 40Vx y z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 :1) 当 水 箱 封 闭 时 , 长 、 宽 、 高 的 尺 寸 如 何 ?提 示 : 利 用 对 称 性 可 知 , 3 0Vzyx 2) 当 开 口 水 箱 底 部 的 造 价 为 侧 面 的 二 倍 时 , 欲 使 造 价最 省 , 应 如 何 设 拉 格 朗 日 函 数 ? 长 、 宽 、 高 尺 寸 如 何 ? 提 示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF 2长 、 宽 、 高 尺 寸 相 等 . 内 容 小 结1. 函 数 的 极 值 问 题第 一 步 利 用 必 要 条 件 在 定 义 域 内 找 驻 点 .即 解 方 程 组第 二 步 利 用 充 分 条 件 判 别 驻 点 是 否 为 极 值 点 .2. 函 数 的 条 件 极 值 问 题(1) 简 单 问 题 用 代 入 法 ,),( yxfz 0),( 0),( yxf yxfyx如 对 二 元 函 数(2) 一 般 问 题 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 拉 格 朗 日 函 数如 求 二 元 函 数 下 的 极 值 ,解 方 程 组第 二 步 判 别 比 较 驻 点 及 边 界 点 上 函 数 值 的 大 小 根 据 问 题 的 实 际 意 义 确 定 最 值第 一 步 找 目 标 函 数 , 确 定 定 义 域 ( 及 约 束 条 件 )3. 函 数 的 最 值 问 题 在 条 件求 驻 点 . ),( yxfz 0),( yx ),(),( yxyxfF 0 xxx fF 0 yyy fF 0F 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 已 知 平 面 上 两 定 点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试 在 椭 圆 圆 周 上 求 一 点 C, 使 ABC 面 积 S 最 大 .解 答 提 示 : C BAoy xED设 C 点 坐 标 为 (x , y),思 考 与 练 习 21 031 013 yx kji )103,0,0(21 yx)0,0(149 22 yxyx则 ACABS 21 10321 yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 拉 格 朗 日 函 数解 方 程 组得 驻 点 对 应 面 积而 比 较 可 知 , 点 C 与 E 重 合 时 , 三 角 形面 积 最 大 . )491()103( 222 yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 0491 22 yx 646.1S,54,53 yx ,5.3,2 CD SS 点 击 图 中 任 意 点动 画 开 始 或 暂 停 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 作 业 P61 3, 4, 8, 9, 10 习 题 课 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 备 用 题 1. 求 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 三 角 形 中 面 积 最 大 者 .解 : 设 内 接 三 角 形 各 边 所 对 的 圆 心 角 为 x , y , z ,则,2 zyx zyx它 们 所 对 应 的 三 个 三 角 形 面 积 分 别 为,sin2211 xRS ,sin2212 yRS zRS sin2213 0,0,0 zyx设 拉 氏 函 数 )2(sinsinsin zyxzyxF解 方 程 组 0cos x , 得 32 zyx故 圆 内 接 正 三 角 形 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 32sin322max RS .433 2R0cos y 0cos z 02 zyx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 为 边 的 面 积 最 大 的 四 边 形 ,试 列 出 其 目 标 函 数 和 约 束 条 件 ?提 示 : sin21sin21 dcbaS )0,0( 目 标 函 数 : cos2cos2 2222 dcdcbaba 约 束 条 件 : dcba , a bcd 答 案 : , 即 四 边 形 内 接 于 圆 时 面 积 最 大 .2. 求 平 面 上 以 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 。