江苏省苏州市中考数学专题研究综述

2015年苏州市初三数学专题研究综述 丁祖元 张家港教育局教研室【复习目标】1.复习是学生学习的一个重要环节，它有自己独特的特点和规律，因此也应当有一套与之相应的思路和方法.初三数学复习的内容面广量大，知识点多，要想在短暂的时间内全面复习初中三年所学的数学知识，形成基本技能，提高解题能力，并非易事.特别是在第一轮基础知识回顾、复习完成以后，学生的知识面有了一定拓宽，各方面的能力也相应提高了一些.进入第二轮复习时，对老师的要求就更高了.因此我们希望通过第二轮复习，对数学中的重点、难点、热点问题进行专题性的思考和总结，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，优化解题策略，提高思维品质；2.以数学问题为载体，让学生进一步领悟初中阶段重要数学思想与方法(数形结合思想、分类讨论思想、特殊与一般思想、转化思想、类比思想、数学建模思想)的地位与作用，并能用于数学问题的解决之中.【课时分布】专题复习在第二轮复习时大约需要10个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)：课时数内容1开放性问题1操作型问题2动态型问题1阅读理解型问题1数学建模思想1数形结合思想2分类讨论思想1特殊与一般思想第二轮复习基本要控制在五月中旬完成，各地区、各学校的老师可以根据各自班级的实际情况作相应的调整.【复习方法】上述所列的专题和常用的数学思想贯穿于整个初中数学教学中，在第一轮复习中也经常性地、零散地有所体现.所以，第二轮复习的目的是通过分门别类地对数学中的热点问题进行专题性的思考和总结，凸现数学思想与方法在解题中的作用，因此，专题性研究对所有迎战中考的学生来说是必要的.在具体操作时要注意以下几点：(1)教师要加强研究，充分了解每一个专题的重点、难点、中考中常考的踢型.(2)教师要加强集体备课，在控制难度的前提下，精心选择例题，合理配置习题.(3)教师要强化课堂教学的实效，该讲的要讲到位、讲清楚，该板书坚决要板书，该画的图形一定要认真画，充分起到示范、引领的作用；该让学生讨论的应当让学生充分讨论，该让学生做的就应当让学生认真的尝试完成.(4)教师要强化解题后的归纳、反思，帮助学生整理知识、提炼方法，达到积累经验、生成智慧、完善思维、提高素养之目的.一、科学定位，分类指导，精准把握专题复习的方向1.以探索性问题为载体，让学生体会“探究 类比 归纳 引申”的解题要领探索性问题是指那些题目条件不完备、结论不明确、或者答案不唯一，给学生留有较大探索余地的试题.在解决开放探索问题的时候，需要经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有条件(结论)的开放性，解法的灵活性、形式的新颖性，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分考生的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为中考试题的一个新亮点.解决这一类问题，要注意类比归纳、等价转化、数形结合等思维方法.根据其特征大致可分为四类：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型；(4)存在探索型.例1 一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.【分析】解决该问题的关键是从这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题”入手，所以思路就从“路程”或“时间”开始.【思路一】问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路x千米，高速公路y千米.根据题意得 解得答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.【思路二】问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了x小时，在高速公路行驶了y小时.根据题意得 解得答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.【说明】本题是开放性问题颇具新意的一例，但这个开放又是有限制的，而这些限制往往就是解决问题的突破口,这句“就该汽车行驶的“路程”或“时间””为我们解决问题指明了方向，这句“提出一个用二元一次方程组解决的问题” 为我们提供了解决问题的方法.如果将题目中的“用二元一次方程组”改成“用一元一次方程(组)”则更能体现其开放性，思维的空间也会更大.【思路一】问题：普通公路和高速公路各多少千米？解：设普通公路长x千米，则高速公路长2x千米.根据题意得.解得x=60，所以2x=120.答：普通公路长60千米，高速公路长120千米.【思路二】问题：A、B两地的路程是多少千米？解：设A、B两地的路程是x千米.根据题意得.解得x=180.答：A、B两地的路程是180千米.【思路三】问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶多少小时？解：设汽车在普通公路行驶x小时,则在高速公路上行驶(2.2−x)小时.根据题意得2´60x=100(2.2−x).解得：x=1，所以2.2−x=1.2.答：汽车在普通公路上行驶了1小时，在高速公路行驶了1.2小时.2.以操作型问题为载体，让学生学会“动手实践 掌握要领”的解题方法操作型问题是指通过动手操作、作图、计算等、对某种现象获得感性认识，再利用数学知识进行思考、探索、归纳概括、验证等来解决的一类问题.它既能考查学生的动手能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力，更能培养学生的实践能力及创新能力，也有助于培养学生勤于实践的意识和习惯，符合新课程的“做中学”的新理念.操作型问题常见的有：(1)折叠类问题，就是通过图形的折叠来研究它的相关结论；(2)图形剪拼类问题，就是将已知的图形分成若干个图形重新拼合成符合条件的新图形； (3)图形变换类问题，此类问题常常以操作题的形式出现，经常与轴对称、平移、旋转、相(位)似等变换相联系，因而掌握图形变换的观念与性质是解这类题的关键；(4)方案设计类问题，此类问题是近几年来中考出现频率比较高的题型，它融计算、设计、作图于一体，独特新颖，主要考查学生的观察能力、图形的整合能力、设计能力等.例2 问题探究：(1)请在图11-1中作出两条直线，使它们将圆面积四等分；(2)如图11-2，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决：①②③图11-1图11-2图11-3(3)如图11-3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.【分析】(1) 问比较简单，圆内两条互相垂直的直径即达到目的；(2) 问中联想平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查；(3)问中可以考虑构造(1)(2)中出现的特殊四边形来解决，或用中点性质来解决.【解】OPQEF图11-5(1)如图11-4所示.图11-4(2)如图11-5，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下：∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴OA=OB，∠OAP=∠OBE=45°.∵PQ⊥EF，AC⊥BD，∴∠AOP+∠AOE=90°，∠BOE+∠AOE=90°.∴∠AOP =∠BOE.∴△POA≌△EOB(ASA).∴S△POA= S△EOB.即S四边形APOE= S△POA+ S△EOA= S△EOB+ S△EOA= S△AOB=S正方形ABCD.同理S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DFOP=S正方形ABCD.∴直线PQ、EF将正方形ABCD的面积四等分.(3)存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：如图11-6，延长BA到E，使AE=b，延长CD到点F，使DF=a，连接EF.∵BE=a+b=CF，BE∥CF.∴四边形BCFE是平行四边形.QEFM图11-6∵BE =a+b=BC，∴四边形BCFE是菱形.连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF.∴AM=DM，即点P、M重合.∴点P是菱形BCFE对角线的交点.在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a,设点P到菱形BCFE一边的距离为d，∴S△ABP+S△QBP =(AB+BQ)d=(CQ+CD)d=S△CQP+S △CDP.即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ.∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.另解：QF图11-7如图11-7，连接BP并延长交CD的延长线于点F，连接CP.∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠F.∵∠APB=∠DPF,AP=DP，∴△ABP≌△DFP.∴AB=DF.∵PB=PF，即CP是△BCF的中线，∴S△BCP= S△FCP.∵AB+CD=BC，∴DF+CD=BC，即CB=CF.∴∠CBF=∠F.∴∠ABP=∠CBF，即PB平分∠ABC.∴点P到AB、CB的距离相等.∵BC =a+b，BQ=b，∴CQ=AB=a.∴S△ABP= S△CPQ.∴S四边形ABQP=S四边形CDPQ.∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.【说明】这是一道集操作、探索于一体的试题，从特殊图形到一般图形的过渡中，领悟数学知识从特殊到一般迁徙的过程，从而达到考查学生的图形分析能力、动手操作能力，问题转化能力及知识的迁徙能力的目的.3.以动态型问题为载体，让学生分享“动中求静 以静制动”的解题技能动态型问题是以各种几何图形为载体，用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题.这类题的特点是：图形中的某些元素(如点、线段、角等)或整个图形按某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中相互依存，相互制约.解题时，要对几何元素的运动的全过程有一个清晰、完整的认识，不管点动、线动还是形动，都要从特殊情形入手，过渡到一般情形，注意临界位置，动中求静，以静制动.解答这类题常常需要建立函数、不等式、方程等模型，主要考查学生的分类讨论、转化、数形结合、函数与方程等思想方法.例3 如图11-8，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上的一动点，则的最小值为A. B. C. D.【分析】如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案.【解】yBAOCPxND图11-8如图11-8，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小.∵DP=PA，∴PA＋PC=PD＋PC=CD.∵B(3，)，∴AB=，OA=3，∠B=60°.由勾股定理得：OB=2.由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，即×3×=×2×AM.∴AM=.∴AD=2×=3.∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°.∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=×AD=.由勾股定理得：DN==.∵C(，0)，∴CN=3－－=1.在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==.即PA＋PC的最小值是.所以应选B.【说明】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30°的直角三角形性质的应用，题目比较好，难度适中.学生容易发生的错误是弄不清楚最小值问题，找不到PA＋PC距离最短时点P的位置.例4 如图11-9，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H.(1)求证：；(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.图11-9【分析】(1)(2)两小题属于常规题型，还是考查学生的基础知识、基本技能为主.(1)由相似三角形的基本性质，列出比例关系式，即可证明；(2)首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数的相关知识求其最大面积；(3)小题是一个运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ的运动过程：① 当时，如答图11-10所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；② 当时，如答图11-11所示，此时重叠部分是一个三角形.【解】(1)略.(2) 当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5. (3)由(2)可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为2.此时，E、F分别是AB、AC的中点，在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：(I)当时，如答图11-10所示.设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H1，D1.此时DD1=t，H1D1=2，∴HD1=HD−DD1=2−t，HH1=H1D1−HD1=t，AH1=AH−HH1=2−t，.∵KN∥EF，，即，解得S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=(KN+EF)•HH1+EF•EQ1 图11-10图11-11(II)当时，如答图11-11所示.设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D2.此时DD2=t，AD2=AD−DD2=4−t，∵KN∥EF，，即，解得所以，.【说明】本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度.难点在于第(3)问，弄清矩形的运动过程是解题的关键.4.以阅读型问题为载体，让学生认清“阅读 理解 迁移 应用”的解题思路阅读理解是近年来中考试题中频繁出现的新题型，这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识，能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程。

考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力.常见题型有：( 1)新定义型；( 2)知识迁移型；( 3)方法模拟型；( 4)概括归纳型.例5 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.善于思考的小明进行了以下探索：设(其中a、b、m、n均为整数)，则有 ∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　 　，b=　 　；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 +　 =(　 +　　)2；(3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值.【分析】(1)根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；(2)首先确定好m、n的正整数值，然后根据(1)的结论即可求出a、b的值；(3)根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值.【解】(1)∵，∴，∴a=m2+3n2，b=2mn.故答案为m2+3n2，2mn.(2)设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2.故答案为4、2、1、1.(3)由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn.∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2.∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13.【说明】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则.解题的关键在于通过阅读材料，发现问题之间的区别与联系，再通过知识、方法的迁移，实现了问题的解决.5.以应用性问题为载体，让学生掌握“巧用模型 问题转化”的解题技巧应用性问题是指有实际背景或现实意义的数学问题，它贴近生活实际，具有时代气息和教育价值.应用性问题呈现的方式多样，往往将文字语言、图形、表格、图像融为一体.主要考查学生的数学建模思想和应用数学的意识和能力.解决应用性问题的关键是把实际问题转化为数学问题，构建合适的数学模型，常用的数学模型有方程(组)、不等式(组)、函数、统计、几何图形等.例6 “绿色出行，低碳健身“已成为广大市民的共识.某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地.林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数(称为存量)情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量…依此类推，他发现存量y(辆)与x(x为整数)满足如图11-12所示的一个二次函数关系.时段还车数(辆)借车数(辆)存量y(辆)6：00﹣7：004551007：00﹣8：004311n…………图11-12根据所给图表信息，解决下列问题：(1)m=　　，解释m的实际意义：　 　；(2)求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；(3)已知9：00～10：00这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数.【分析】(1)根据题意m+45﹣5=100，说明6点之前的存量为60；(2)先求出n的值，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式；(3)设9：00～10：00这个时段的借车数为x辆，则还车数为(3x−4)辆，把x=3代入y=−4x2+44x+60得到8：00~9：00的存量为156；把x=4代入y=−4x2+44x+60得到9：00～10：00的存量为172，所以156−x+(3x−4)=172，然后解方程即可.【解】(1) m+45－5=100，解得m=60，即6点之前的存量为60.m表示该停车场当日6：00时的自行车数；(2) n=100+43－11=132，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把(1，100)，(2，132)、(0，60)代入得：，解得.所以二次函数的解析式为y=﹣4x2+44x+60(x为1﹣12的整数)；(3)设9：00~10：00这个时段的借车数为x辆，则还车数为(3x−4)辆，把x=3代入y=−4x2+44x+60得y=−4×32+44×3+60=156，把x=4代入y=−4x2+44x+60得y=−4×42+44×4+60=172，即此时段的存量为172.所以156−x+(3x−4)=172，解得x=10.答：此时段借出自行车10辆.【说明】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题中的数量关系找出三对对应值，再利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后运用二次函数的性质解决问题.解决本题的关键是审清题意，抓住题中的等量关系，建立方程模型.当然，本题对学生的阅读理解能力、数学思维品质也有比较高的要求.目前的中考试题中，利用构建数学模型解决实际问题的试题还是比较多，如果实际问题中呈现不等关系的，常需要建立不等式(组)模型来解决；如果问题刻画的是变化过程中变量之间关系，那就需要用函数模型来处理，还有的实际问题可能会涉及到方程(组)模型，甚至几何模型来解决.6.以中考试题为载体，让学生感受“思想为先 方法引领”的解题策略数学学习应在数学知识的演进、数学思想的渗透过程中不断进步和提高，初三学生的复习更应如此.相对而言，数学知识是外显的，是可以捉摸的；数学思想是内隐的，有时是难以“为外人道”的.从近几年的各地中考试题看，除了注重对数学基本知识、基本技能的考查外，对数学思想方法的考查已经放到了比较突出的位置.让数学思想具体化和明朗化应作为中考数学复习的一个重要任务.除此以外,我们还应当在课堂教学中应当渗透一点合情推理、直观猜想、验证、比较等解决问题的办法.例7 如图11-13，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，在Rt△DEF中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm.将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).试问：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?【分析】由于无法判断AD、FC、BC的大小，常规解法是分AD为斜边、FC为斜边、BC为斜边三种情况进行分类讨论.但是，我们细致分析，发现BC不能为斜边，因此解答过程可以优化.FEDCBA图11-13【解】在Rt△ABC中易知AC=2BC=12，设AD=x(0<x<8)，那么，因为FC>DC，AD+FC>AD+DC=12，所以，AD、FC中至少有一条线段的长度大于，所以BC不能为斜边.若FC为斜边时，，解得；若AD为斜边时，，解得(不合题意，舍去).所以，当AD的长为时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形.【说明】对于一道数学题，由于审视的角度不同，往往会得到多种不同的解法.平时的教学中，教师常常会引导学生通过联想、类比、迁移，获得多种解法.事实上，有些数学问题，如果恰当地应用一些合情推理，进行合理的、简单的估算，那么，解题过程就会优化.本题的解答恰当的使用了合情推理，使得分类讨论简洁、合理.例8 如图11-14，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C(即点F与点C重合)时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位：s).(1)当t=　 s时，四边形EBFB′为正方形；(2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；(2)△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；图11-15ABCDO（）EFHABDCGFEO图11-14 (3)本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在.【解】(1)；(2)由题意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t，∵AB=10，BC=12，∴BE=，.∵点F在BC上运动，∴.①当△EBF∽△FCG时，得，∴.∴.②当△EBF∽△GCF时，得，∴. ∴∴，(舍去).∵， ∴或符合题意.(3)不存在.理由如下：如图11-15，连接BD.∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴点O为BD中点.假设存在实数t，使得点与点O重合，此时，EF是OB的垂直平分线，垂足为点H，∴易知，.易证△EHB∽△BHF∽△BCD,∴，.∴.∵点F的运动速度是点E运动速度的3倍，但.∴不存在实数t，使得点与点O重合.【说明】本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答.第(2)问中，需要分类讨论，避免漏解；第(3)问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过分析、比较，推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在.这类问题学生在平时的学习中接触得比较少，在应试时不容易得分.所以，我们在复习中值得予以强化.二、因地制宜，创新思路，切实提高专题复习的效益第二轮复习我们认为应当认真上好如下三种类型的专题复习课：(1)知识专题归纳小结课；(2)思想方法专题讲授课；(3)考试(作业)试卷讲评课.1.知识专题复习学解题技巧一些老师往往将第二轮复习变成第一轮复习的简单重复和浓缩，搞不清第一轮与第二轮的区别，搞不清第二轮的主要任务，导致学生学习兴趣淡薄，教学效果不明显.二轮复习的主要任务是：(1)整理归纳知识，使之形成知识的网络；(2)突出中考重点，解决学生弱点；(3)提升学生运用数学知识、数学思想方法解决问题的能力.完成这一任务的主要手段是进行知识专题的归纳小结.1.1深化基础知识，挖掘教材潜力，提高复习实效教材是中考试题的重要知识载体，纵观各地的中考试题，很多试题源于教材，即使是综合题，很多也是教材例题、习题的组合、加工、拓展.因此，我们在复习过程中始终要抓住教材、研究教材、回归教材，充分领会教材例题、习题中蕴含的重要知识、数学思维方法和思想精髓，复习中要不断总结、提炼并灵活运用.更要注重挖掘教材习题的潜在功能，通过与课堂例题的类比、延伸，拓展，衍生出一些新颖试题并加以解决.达到巩固基础知识、提高思维能力和创新能力的目的.1.2重视新旧知识的联系，适当进行知识的综合，及时渗透思想方法在第一轮复习中，我们对初中三年学过的概念、性质、公式、法则、公理、定理等进行了全面的回顾与强化，学生已有了一定的知识储备.第二轮复习如果仅仅局限于知识点的简单重复、考点的罗列，那么不但不能使学生的认知水平和解题能力登上新的台阶，而且极易造成学生心理上的压抑甚至厌烦.因此我们必须正确认识旧与新的适度平衡，在选择例题与习题的时，既要重视章节知识的整理、归纳，又要适当进行小的综合，使各部分的知识之间有机地联系起来，例如方程与不等式、函数与方程、不等式，圆与解直角三角形等，形成一个条理化、有序化和网络化的有机整体，真正做到以“不变应万变”.作为知识专题归纳小结课，我们除了重视各章节知识的复习与巩固，也应适当渗透一些数学思想与解题技巧，因为数学思想的渗透是一件长期的、潜移默化的工作，在二轮复习时，每节课都应当尽量地把有关数学思想体现出来，但不是刻意去追求某种数学思想方法与技巧，在思想方法专题讲授课时，我们还要讲解与强化.1.3课后训练重实效，适当分层讲技巧，看看学生该补啥数学复习应在数学知识的运用过程中进行，对学生而言，学习是目的，运用是为了学习，即通过运用，达到深化理解、发展能力、综合应用的目的.而数学知识的运用一般需要通过解题的训练来实现.在第二轮复习中，对于学生的课后训练，我们应当讲究质量，在继续坚持基础性、典型性的前提下，适度的进行一点拓宽与引申，但一定要充分体现当堂课所学的内容与知识，让学生有针对的、适当的模仿与变式训练，但是跨度不能太大，同时要兼顾到思想方法和技能技巧.班级比较多、层次比较多的学校，可采用分层布置作业，让所有的学生“吃得了”，让学有余力的学生“吃得饱”，使不同层次的学生有不同的收益.真正实现“人人学有价值的数学，人人都获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.2.思想方法讲授学通性通法数学学习应在数学知识的演进、数学思想的渗透过程中不断进步和提高，初三学生的复习更应如此.相对而言，数学知识是外显的，是可以捉摸的；数学思想是内隐的，有时是难以“为外人道”的.从近几年各地的中考试题看，除了注重对数学基本知识、基本技能的考查外，对数学思想方法的考查已经放到了比较突出的位置.所以，让数学思想具体化和明朗化应作为中考数学复习的一个重要任务.2.1“专家”备课，集体商议，把握好复习的深度和方向中学数学中蕴涵着丰富的数学思想与方法，在复习过程中，我们时刻都要反思一下前面复习中涉及到了哪些数学思想方法？这些数学思想方法是如何运用的？他们之间有何联系？学生对这些思想方法掌握程度如何？现在的运用与过去的运用有无区别与联系？我们前面的复习是按数学知识体系展开的，能力的提高还应当以数学思想方法的应用为主要形式加以训练，因此，思想方法专题讲授课的备课、选题显得更为重要，它直接关系到我们复习的深度和方法，影响着学生的中考成绩.我们建议：①成立“专家”备课组，由多年执教初三的老师、骨干教师集体选题，形成初步方案；②备课组成员集中进行讨论，对每道题涉及的基本知识与数学思想方法，以及解法进行商讨，逐一过堂，进行修订后打印出教案、学案；③各位任课老师进行再次备课、做题，根据自己所任班级的学情进行增删，进一步完善教案、学案，力求教案精益求精，学案尽善尽美，老师教有所得，学生学有所获.2.2领会数学思想方法，确定好复习重、难点数学思想方法是数学的精髓，它蕴含在知识的发生、发展和应用的过程中，对它的灵活应用，是数学能力的集中表现.因而，我们在思想方法专题讲授时，首先应对数学思想方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序和操作程序，并确定哪些思想方法要讲评？哪些思想方法作简单介绍？对于重要的思想方法，我们应开设专门的“数学思想方法专题课”进行讲解，如：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想、换元思想、特殊到一般的思想等等.对于重点的专题，我们更应当舍得化时间和精力去解决，如：探索性问题、应用性问题、操作型问题、动态型问题、最值问题等等.2.3重视通性通法，淡化特殊技巧中考是毕业和选择相结合的考试，其宗旨是测试初中学生对数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法的掌握程度.因此，我们平时的复习要在熟练掌握“三基”的基础上，去充分体会基础数学的通性通法在解题中的作用，立足根基，衔生变化，逐步做到自觉地、灵活地运用于所要解决的问题.应当注意的是，在中学数学中，对每一种思想方法都要结合具体内容来教授，不要对某一种方法人为拔高，形成过热的浪潮冲击正常的教学，影响学生的思维.思想方法专题讲授是初三数学复习备考的一个十分重要的过程，我们应当力求把握学科的整体意义，系统把握知识的内在联系，融会贯通，灵活运用，要深化理解，熟练掌握数学思想方法的通性通法，舍弃偏、难、怪的习题，淡化特殊技巧，优化解题过程.3.试卷(作业)讲评中寻找问题试卷(作业)讲评是初三教学的重要环节，学生做习题，老师讲作业，学生做试卷，老师评卷子，这几乎是初三中考备考主要内容，通过分析、讲评试卷(作业)中出现的问题，及时纠正错误，寻找不足，达到帮助学生巩固知识，提高综合解题能力的目的.同时，通过讲评，使师生都明确在教与学中还存在哪些问题？今后该朝什么方向去努力？3.1试卷(作业)讲评前要认真做好分析统计工作，提高讲评的针对性和有效性试卷(作业)讲评课首先应对试卷(作业)进行认真分析，明确学生在那些方面存在问题？错误主要集中在哪里？是运算错误还是概念不清？然后再逐题分析，寻找错误的原因，也应当分析学生的不同解法，以便了解学生知识和能力的缺陷，研究学生的解题心理，同时也发现学生的优点.只有在教与学充分了解的前提下，试卷(作业)讲评才会有针对性和有效性，也为课后练习题的准备提供参考意见，使学生的补练工作更有针对性和实效性.当然，在讲解时，我们还应做好以下几项工作：(1)重视审视一下试卷，对试题中所涉及的知识点、数学思想、解题方法和技巧进行一次再认识，反思一下前阶段复习的得与失；(2)规划一下讲评过程，合理使用时间和精力；(3)对有些问题进行适当的变形、拓宽、引伸，作一般化的处理.通过教师有启发性的讲评，激活学生的创新思维，完善学生的数学素养，提升学生的数学文化.3.2试卷(作业)讲评时既要照顾一般，更要突出重点，重视思想方法，培养思维能力一般来说，统计中错误最多的应是讲评的重点，教师应当花较多的时间与精力去讲评与分析，使较多的学生及时纠正错误，同时也使其他同学有所启发，各有所获.但是，对有些问题，虽然是少数学生出错，特别是概念性错误，老师也应进行分析与点拨，让所有同学对概念有更深刻、更清晰地认识.对于客观性试题，我们不应该也没有必要平均使用力量，有些问题只要“点到为止”或让学生来讲评，甚至不讲.有些则要“仔细分析”，对涉及主要知识、重要方法及能力要求比较高、综合性强的问题，要“重点照顾”，对学生犯错率较高的问题则要“特别强调”.在讲解过程中，老师还要经常提醒学生规范答题，规范书写，表达要严谨，坚决克服“会而不对”、“对而不全”、“全而不美”的现象，提高每题的得分率.另 外，数学解题过程渗透了不同的思维方式，也蕴含着不同的思想方法与解题技巧，因此，老师讲评试卷(作业)时应淡化繁琐的演算，依据题目的类型的不同，寓思想方法于具体的讲评中.3.3试卷(作业)讲评要引导学生主动学习，学会反思老师要帮助学生做好试卷(作业)的自我分析，讲评结束后，要及时引导学生主动学习，做进一步的反思与探索，使每一份试卷(作业)的效果最大化.①要求学生对自己的思考过程进行反思；②要求学生对试卷(作业)所涉及的知识进行反思；③要求学生对试卷(作业)所涉及的思想方法、解题技巧进行反思；④要求学生对运算过程、语言表达、书写格式进行反思；⑤要求学生对平时的学习态度、学习方式进行反思.只有这样，方能使学生不断调整复习方法、学习习惯、心理状态，达到最佳的复习效果.复习备考不应是单纯的应付考试的知识重复，而应是师生共同的创造性劳动，应成为教育、教学的一个重要组成部分.在复习阶段要珍惜学生宝贵的时间和精力，通过老师的精心安排和系统组织，真正使得学生形成合理稳固的知识结构，通过提高素质，提升能力来提高成绩，使紧张、难忘的中考复习备考成为学生培养人格、塑造人生的重要阶段.。