高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式变更命题法在数学归纳法中应用素材新人教A版选修4-5

高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式变更命题法在数学归纳法中应用素材新人教A版选修4-5变更命题法在数学归纳法中应用数学归纳法在高考试题中，常以解答题形式出现，最常见的是用数学归纳法证明数列不等式，这虽然是一个行之有效的基本证题方法，但运用这种方法证明数列不等式时，有好多时候在证k到(k＋1)的过程中，卡了壳，断了思路，这是一种普遍现象．而此时证明与原不等式等价的命题倒显得轻松自然．下面介绍几例．一、转化等价命题 转化等价命题的目的，首先是使问题明朗化，从而便于寻求解题途径或者简化解题过程．例1 已知数列满足：，且=(n≥2，nN*)．⑴求数列的通项公式；⑵证明：对一切正整数n，不等式a·a·…·＜2n!恒成立．分析：⑵据①得=，所以有a·a·…·=，为证a·a·…·＜2n!，即证＜2n!，两边同除n!再变形，只要证nN*时有(1－)(1－)…(1－)＞．但是，由于变形后的不等式右边是一个与n无关的常数，若用数学归纳法证明，从k到(k＋1)右边常量不变，左边在变，这样，无法使用归纳假设．根据不等式的传递性，此时若把右边的用含有变量n的、比大的、且与左边有着密切联系的式子代替，就可以直接使用数学归纳法了．∵1－=1－=＞；(1－)(1－) = 1－(＋)＋＞1－(＋) =＞，∴猜想对每个nN*，(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋) =1－[1－] =＋·＞． 解：⑴将条件变为：1－=(1－)，因此，{1－}为一个等比数列，其首项为1－=，公比为，从而有1－=，据此得=(n≥1)．①⑵据①得a·a·…·=，为证a·a·…·＜2n!，只要证nN*时有(1－)(1－)…(1－)＞．②显然，左边每个因式皆为正数，先证明，对每个nN*，(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)．③用数学归纳法证明③式：⒈当n = 1时，③式显然成立，⒉设n = k时，③式成立，即(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋)，则当n = k＋1时，(1－)(1－)…(1－)(1－)≥[1－(＋＋…＋)](1－)，=1－(＋＋…＋)－＋(＋＋…＋)≥1－(＋＋…＋＋)．则当n = k＋1时，③式也成立．故对一切nN*，③式都成立．利用③得，(1－)(1－)…(1－)≥1－(＋＋…＋) =1－ = 1－[1－] =＋·＞．故②式成立，从而结论得证．评析：在用数学归纳法证明数列不等式时，需要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题，探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节，而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键．这就说，为方便用数学归纳法证明不等式，有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明不等式问题中经常用到．二、强化命题结论如果c是与n无关的常数，用数学归纳法证明＜c (或＞c)一类不等式时，从k到(k＋1)的归纳过渡最容易卡壳断思路．此时利用= c且＜c (或＞c)把命题结论强化，即把c换成．例2 设nN*，求证：＋＋＋…＋＜．⑴分析：此题直接用数学归纳法⑴时，从k到(k＋1)思路肯定受阻．原因在于2是一个常数，从k到(k＋1)右边常量不变，左边增加一项正数整个和式在变大，这样是无法使用归纳假设证明的，只有把换成一个n有关的，且比大的一个式子，才能使用数学归纳法再借用不等式的传递性完成证明．由于=1是大家十分熟悉的结论，就利用这一结论，显然=，并且当注意到n = 1时，＜=，也满足要求．因此不妨把结论⑴强化为：＋＋＋…＋＜． ⑵证明：①当n = 1时，不等式⑵成立．②设n = k (k≥1)时不等式⑵成立，即＋＋＋…＋＜，那么，当n = k＋1时，＋＋＋…＋＋＜＋＜＋= ·＋(－) =(1－) =．即当n = k＋1时，不等式⑵成立．所以有＋＋＋…＋＜＜．评析：由于归纳假设也随之加强，这样强化了的命题更易于归纳法证明．三、寻找过渡条件在证由k到(k＋1)的证明过程中，要学会从问题的条件或结论出发，寻找出原题未明确给出的某些结论，且这些结论又正是从k到(k＋1)时所必需的，这样证题思路才会畅通．例4 设0＜a＜1，a= 1＋a，=+ a，求证：＞1对一切nN*都成立．思路受阻过程：由0＜a＜1，a= 1＋a＞1是显然的．设n = k (k≥1)时不等式成立，即＞1，那么，当n = k＋1时，=＋a，因为＞1，＜1，所以由递推式=＋a推不出＞1，这样，从k到(k＋1)思路受阻．受阻原因分析：由于=＋a，出现在分母上，要得到成立，归纳过渡所必需的条件是，寻找出小于某个数值．即要证=+ a＞1，势必要证＜对一切nN*都成立，这样，问题转化成只需用数学归纳法证明：1＜＜对一切nN*都成立．证明：①当n = 1时，a= 1＋a＞1，而1－a＜1，1＋a＜，即1＜a＜成立．②设n = k (k≥1)时不等式成立，即1＜＜，那么，当n = k＋1时，=＋a＞1－a＋a = 1，而＞1，＜1，=＋a＜1＋a，因为1－a＜1，1＋a＜，所以＜1＋a＜．由(i)、(ii)知1＜＜，故不等式＞1对一切nN*都成立．评析：有些要证的数列不等式难于处置或没有思路时，可考虑是否将命题变换一下，换一些与之相关的命题，也就是寻找过渡命题，从而获得解决问题的办法．9。