概率论第一章随机事件及其概率Ch1.3古典概型与几何概型

高等院校经济管理类专业经济数学基础系列教材概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 1.1 随机事件随机事件 1.2 频率与概率频率与概率 1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 1.4 条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性 1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 一、古典概型一、古典概型 1.定义定义 古典概型是指满足下列两个条件的概率模型：古典概型是指满足下列两个条件的概率模型：（1）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，）（有限样本空间）随机试验只有有限个可能结果，即基本事件总数为有限个；即基本事件总数为有限个；（2）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，）（等可能性）每一个可能结果发生的可能性相同，即各基本事件发生的概率相同即各基本事件发生的概率相同用数学语言可表述为：用数学语言可表述为：（1）样本空间有限，即）样本空间有限，即 ；（2）设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成，A 为为 E 的任的任意一个事件意一个事件，且包含且包含 m 个样本点个样本点，则事件则事件 A 出现的概率记出现的概率记为为:2.古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式称此为概率的古典定义称此为概率的古典定义.说明说明 计算古典概型中事件计算古典概型中事件A的概率，关键是要计算的概率，关键是要计算出样本空间中样本点总数和事件出样本空间中样本点总数和事件A包含的样本点数，这包含的样本点数，这些数目的计算要用到排列组合的知识。

些数目的计算要用到排列组合的知识注注】关于排列组合知识的的简要回顾：关于排列组合知识的的简要回顾：(1)加法原理：加法原理：设完成一件事有设完成一件事有k类方法，每类又分类方法，每类又分别有别有m1,m2,mk种方法，而完成这件事只需其中一种方法，而完成这件事只需其中一种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有m1+m2,+mk种方法种方法 (2)乘法原理：乘法原理：设完成一件事有设完成一件事有n个步骤第一个步骤第一步有步有m1种方法、第二步有种方法、第二步有m2种方法，种方法，第第n步有步有mn 种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有m1 m2 mn种方法种方法.（3）排列（从）排列（从n个元素中取个元素中取m个元素）个元素）排列排列选排列选排列全排列全排列不可重复选排列不可重复选排列(不放回不放回)可以重复选排列可以重复选排列(有放回有放回)不可重复不可重复(不放回不放回)可以重复可以重复(有放回有放回)(4)元素的分类元素的分类将将n个元素分为个元素分为m类，每类分别有类，每类分别有k1,k2,km 个，个，总共的分类方式有：总共的分类方式有：k1个个元素元素k2个个元素元素km个个元素元素n个个元素元素因为因为:上式称为多项系数。

它是上式称为多项系数它是的展开式中的展开式中 的系数5)环排列环排列 从从n个不同元素中，选出个不同元素中，选出m个不同的元素排成一个不同的元素排成一个圆圈的排列，共有：个圆圈的排列，共有：(6)组合组合从从n个不同元素中取个不同元素中取m个而不考虑其次序的组合共个而不考虑其次序的组合共有有 种种.4123412311242343每个排列每个排列重复了重复了4次次排列数为排列数为常用组合公式：常用组合公式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）可以利用等式可以利用等式 来证明来证明规定：规定：0!=1,例例 证明等式：证明等式：证证1 因为因为两边求导得两边求导得令令 x=1 得得令令 x=-1 得得证证2 因为因为所以，所以，例例 证明等式证明等式证证总结：总结：从从n个球中摸取个球中摸取m个球个球（1）有放回摸取）有放回摸取计序：计序：不计序：不计序：（2）不放回摸取）不放回摸取计序：计序：不计序：不计序：从从n个球中有放回不计序地摸取个球中有放回不计序地摸取m个球：个球：m个个0 1 2 3 4 m-5 m-4 m-3 m-2 m-1+1 1 1 2 2 n-1 n-1 n-1 n n1 2 3 5 6 n+m-6 n+m-5 n+m-4 n+m-2 n+m-1变换为变换为所有摸取方法总数为：所有摸取方法总数为：从从n个数中有放回地（即可以重复或不计序）个数中有放回地（即可以重复或不计序）取出取出m个数的一个组合相当于从个数的一个组合相当于从1到到n+m-1个不同个不同的数中不放回取出的数中不放回取出m个数的一个组合个数的一个组合变换是一一的变换是一一的 11 12 13 22 23 33 例如：从例如：从1，2，3中有放回不计序地摸取中有放回不计序地摸取2个数，共有个数，共有 种：种：+01 01 01 01 01 01 12 13 14 23 24 34相当于从相当于从1,2,3,4中不中不放回地取出放回地取出2个不可重个不可重复的数复的数 例例1.9 把把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。

本书放在一起的概率解解 将将10本书放到书架上相当于将本书放到书架上相当于将10个元素作一次排个元素作一次排列，其所有可能的放法相当于列，其所有可能的放法相当于10个元素的全排列数个元素的全排列数10！，！，由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这由于书是按任意的次序放到书架上去，因此，这10！种！种排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型用排列中出现任意一种的可能性相同，这是古典概型用A表示事件表示事件“指定的三本书放在一起指定的三本书放在一起”，则事件包含的样，则事件包含的样本本点数为点数为8！3！，所以！，所以 例例1.10 把把1，2，3，4，5，6共共6个数各写在一张纸片个数各写在一张纸片上，从中任取三张纸片排成一个三位数问：上，从中任取三张纸片排成一个三位数问：（1）所得三位数是偶数的概率是多少？）所得三位数是偶数的概率是多少？（2）所得三位数不小于）所得三位数不小于200的概率是多少？的概率是多少？解解 从从6个数中任取三个，可以排列成个数中任取三个，可以排列成65 4=120个三位数，故基本事件总数为个三位数，故基本事件总数为1201)设设A表示事件表示事件“三位数是偶数三位数是偶数”，则，则A包含的基本包含的基本事事件数为件数为35 4=60,故故（2）设）设B表示事件表示事件“所得三位数不小于所得三位数不小于200”，只要百位数取，只要百位数取2，3，4，5，6其中之一，所组成的三位数必定不小于其中之一，所组成的三位数必定不小于200，所以，所以，B包含的基本事件数为包含的基本事件数为55 4=100，故，故 例例1.11 从从6个男人和个男人和9个女人组成的小组中选出个女人组成的小组中选出5个人个人组成一个委员会，假定选取是随机的，问委员会正好由组成一个委员会，假定选取是随机的，问委员会正好由3男男2女组成的概率是多少？女组成的概率是多少？解解 基本事件总数为基本事件总数为 ，事件包含的基本事件数，事件包含的基本事件数为为 ,所求概率为：所求概率为：例例1.12（分房问题）（分房问题）将将n个球随意地放入个球随意地放入N个箱子中个箱子中(Nn)，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率：列事件的概率：（1）指定的）指定的n个箱子各放一球；个箱子各放一球；（2）恰好有）恰好有n个箱子，其中各放一球（或每个箱子最多个箱子，其中各放一球（或每个箱子最多放入一球）；放入一球）；（3）指定的一个箱子不空。

指定的一个箱子不空解解 将将n个球随意地放入个球随意地放入N个箱子，共有个箱子，共有 Nn 种种放法，放法，记（记（1），（），（2），（），（3）的事件分别为）的事件分别为A,B,C则则 例例1.13（抽签问题）（抽签问题）箱中有箱中有a根红签，根红签，b根白签，除颜根白签，除颜色外，这些签的其它方面无区别，现有色外，这些签的其它方面无区别，现有a+b个人依次不放回个人依次不放回地去抽签，求第地去抽签，求第k人抽到红签的概率人抽到红签的概率解解 用用Ak表示事件表示事件“第第k人抽到红签人抽到红签”，所求概率为，所求概率为 例例1.14 15名新生中有名新生中有3名优秀生，将这名优秀生，将这15名新生平均名新生平均分配到三个班级中去，求下列事件的概率：分配到三个班级中去，求下列事件的概率：（1）每一个班级各分配到一个优秀生；）每一个班级各分配到一个优秀生；（2）3名优秀生分配到同一班名优秀生分配到同一班解解 记（记（1），（），（2）的事件分别为）的事件分别为A,B1）将将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共优秀生的分法共3！种。

对于每种分法，其余！种对于每种分法，其余12名新生平名新生平均分配到三个班级中的分法共有种均分配到三个班级中的分法共有种 ，因此事件，因此事件A包含的基本事件数为包含的基本事件数为 ，所以，所以 （2）将）将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种，种，对于这每一种分法，其余对于这每一种分法，其余12名新生的分法有名新生的分法有 种，种，由乘法原理知事件由乘法原理知事件B包含的样本点数为包含的样本点数为 ，故，故 练习练习1 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是天中的任一天是等可能的等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人中至少有个人中至少有2人生日人生日相同的概率相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解解 练习练习2、从、从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只鞋子中至少有只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少两只鞋子配成一双的概率是多少?解：解：A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双只鞋子中至少有两只鞋子配成一双=4只鞋子中没两只鞋子配成一双只鞋子中没两只鞋子配成一双 练习练习3 有有n个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的个人排队，排成一圈，求甲、乙两人相邻的概率是多少概率是多少?解：解：(2)排成一圈是环排列，排成一圈是环排列，n个人的环排列有个人的环排列有(n1)!种，种，甲、乙相邻占一个位置的环排列有甲、乙相邻占一个位置的环排列有(n一一2)!种，考虑互换性，种，考虑互换性，有利事件有有利事件有2(n一一2)!种故：种故：更为简单的想法是：更为简单的想法是：设想一个圆周上设想一个圆周上：有：有n个位置，甲占个位置，甲占了一个位置后，乙还有了一个位置后，乙还有n一一1个位置可选，其中与甲相邻的位置个位置可选，其中与甲相邻的位置有有2个所以个所以:练习练习4、某人将三封写好的信随机装入三个写好某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？少？这是一个这是一个配配对对问问题题解：解：设设Ai=第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i=1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地址直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算 =至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址则则其中：其中：于是于是:推广到推广到n封信封信,用类似的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随机地装入封信随机地装入n个写好地址个写好地址的信封中的信封中,没有一封信配对的概率没有一封信配对的概率为为:练习练习5 从自然数列从自然数列1，2，30中不放回地任取中不放回地任取10个数，按大小排列成个数，按大小排列成求事件求事件A=x5=16的概率。

的概率解解 基本事件总数为基本事件总数为 ，事件，事件A发生相当于有发生相当于有4次次取到小于取到小于16 的数，有的数，有5次取到大于次取到大于16 的数，故有利于的数，故有利于A的基本事件数为的基本事件数为 ，所求概率为，所求概率为 例例 k个盒子中各装有个盒子中各装有n个球，编号为个球，编号为1，2，n，从每个盒子中各取一个球，计算所得到的，从每个盒子中各取一个球，计算所得到的k个个球中最大编号为球中最大编号为m的概率（的概率（1 mn）分析：分析：本题所求概率也可叙述为本题所求概率也可叙述为“从装有编号为从装有编号为1,2,n共共n个球的袋中有放回第取个球的袋中有放回第取k次，计算所得到的次，计算所得到的k个球中最大编号为个球中最大编号为m的概率（的概率（1 mn）”解解 基本事件总数为基本事件总数为 nk，有利场合数可以这，有利场合数可以这样考虑：先考虑最大编号不大于样考虑：先考虑最大编号不大于 m 的取法，共的取法，共有有 mk 种再考虑最大编号不大于再考虑最大编号不大于 m-1 的取法，共有的取法，共有(m-1)k 种种,因此最大编为因此最大编为 m 的取法为的取法为mk-(m-1)k 则所求概率为则所求概率为 思考：若本题是不放回取球，结果又如何？思考：若本题是不放回取球，结果又如何？同样的问题：同样的问题：掷掷 n 颗骰子，得最小的点数为颗骰子，得最小的点数为2的的概率是多少？概率是多少？(“最小的点数最小的点数2”-“最小的点数最小的点数3”).练习练习6 利用概率模型证明恒等式利用概率模型证明恒等式（1）（2）证（证（1）构造概率模型：设一袋中有）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中只有个球，其中只有1个个红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出红球，其余全是黑球，现从袋中无放回地摸出r个球。

记个球记事件事件A=“摸出的摸出的r个球中有红球个球中有红球”，则，则由由 可得到等式（可得到等式（1）2）构造概率模型：设一袋中有）构造概率模型：设一袋中有n个球，其中有个球，其中有m个个红球，红球，n-m个黑球，现从袋中无放回地摸出个黑球，现从袋中无放回地摸出r个球记事件个球记事件Ai=“摸出的摸出的r个球中有个球中有i个红球个红球”，则，则而而所以，所以，即即二、几何概型二、几何概型 定义定义 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意并且任意一点落在度量一点落在度量(长度长度、面积面积、体积体积)相同的子区域是等可相同的子区域是等可能的能的，则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为其中，其中，是事件是事件 A 的的度量，度量，是样本空间是样本空间的的度量上式所定义的概率通常称为上式所定义的概率通常称为几何概率几何概率例例1.15 (会面问题会面问题)甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时这段时间内间内,在预定地点会面在预定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时经过时间间 t(tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻到达该这段时间内各时刻到达该地是等可能的地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两求甲、乙两人能会面的概率人能会面的概率.解解 以以 x,y分别表示甲、乙到达指定分别表示甲、乙到达指定地点的时刻，以地点的时刻，以A表示事件表示事件“两人能会面两人能会面”，则样本空间可表示为则样本空间可表示为:事件事件A可表示为可表示为:这是一个几何概率问题这是一个几何概率问题（如图所示），（如图所示），所求概率为所求概率为:类似问题：类似问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一停靠两艘轮船的码头停泊，它们等可能地在一昼夜内的任意时刻到达。

如果甲船的停泊时间昼夜内的任意时刻到达如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不须等候码头空出的概率中的任何一艘都不须等候码头空出的概率例例 从区间从区间(0,1)中任取两个数，求两数中任取两个数，求两数之之积小于积小于1/3的概率解解 以以 x,y分别表示分别表示任取的两个数，任取的两个数，以以A表示事件表示事件“两数之积小于两数之积小于1/3”则样本空间可表示为则样本空间可表示为:事件事件A可表示为可表示为:思考题：思考题：甲乙两人比赛，采取甲乙两人比赛，采取5局局3胜制，胜制，胜者可获胜者可获1000元奖金，当比赛进行到甲元奖金，当比赛进行到甲2：1领领先时，比赛由于某种原因被迫中断，假定甲乙先时，比赛由于某种原因被迫中断，假定甲乙两人的实力相当，问两人的实力相当，问1000元奖金该如何分配？元奖金该如何分配？思考题解答思考题解答:甲最终获胜的情况有甲最终获胜的情况有“甲第甲第4局获胜局获胜”或或者者“乙第乙第4局获胜而甲第局获胜而甲第5局获胜局获胜”所以，甲最终获胜的概率为所以，甲最终获胜的概率为从而甲应分得从而甲应分得1000元奖金中的元奖金中的 即即750元。