实际问题与二次函数(拱桥问题)课后培优 2021-2022学年人教版九年级数学上册

1 实际问题与二次函数——拱桥问题一、单选题1．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为y =-125x2，当水面宽度AB 为 20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（）A．2m B．4m C．10m D．16m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽 4m ．若水面再下降 1.5m ，水面宽度为（） m．A． 4.5B． 2 5 C．2 6D． 2 73．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图 1），图 2 是一个长为2 米，宽为 1 米的矩形隔离栏，中间被 4 根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点 E，点 P）以及点 A，点 B 落上同一条抛物线上，若第 1 根栏杆涂色部 分（EF）与第 2 根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则 EF 的长度是（ ）1A． 米3B． 米22C． 米53D． 米54．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部 0.5 m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度 为（）2 A． 0.8 mB．1.6mC． 2 mD． 2.2 m5．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是 16m，跨度为 40m，现把它的示意图（如 图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A． y =1 5x 2 + x25 2B． y =-1 8x x + x25 55 1 C． y =- x - x8 25D． y =-1 8x 2 + x +16 25 56．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2m， 水面宽为 4m．如果水面宽度为 6m，则水面下降 ( )A．3.5mB．3mC．2.5mD．2m7．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管 OP=3m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面 4m，P 距抛物线对称轴 1m，则为使水不落到池外，水池半径最小 为（ ）A．1B．1.5C．2 D．38．如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽 4m，若水面下降 2m，则水面宽 度增加（）( )( )x A．4 2 +4 mB．4 2mC．4 2 -4 mD． 4 m9．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母 C 为抛物线支架的最高点，灯罩 D 距离地面 1.5 米，最高点 C 距灯柱的水平距离为 1.6 米，灯柱 AB1.5 米，若茶几摆放在灯罩的正下方， 则茶几到灯柱的距离 AE 为多少米（）A． 3.2B． 0.32C． 2.5D．1.610．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20 米，拱顶距离水平面4 米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深 6 米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 米， 则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行( )A． 2.76米B． 7米C． 6米D． 6.76米11．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高点 O到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )A． y =26675x2B． y =-26675x2C． y =131350x2D． y =-131350x212．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面 1.5 米；当水位下降，大孔水面宽度为 14 米时，单个小孔的水面宽度为 4 米，若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A．4 3米B．5 2米C．2 13米D．7 米二、填空题13．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ， B 两点，拱桥最高点 C 到 AB 的距离为 8m ， AB =24m， D ， E 为拱桥底部的两点，且 DE // AB ，若 DE 的长为 36m ，则点 E 到直线 AB 的距离为______．14．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水面 4 m ．若选取拱形顶 点 C 为坐标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______．15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为 y =-120x 2 +10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8 米的点 E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离 EF 是__________米．116．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为 y =- x82+3.25，一辆车高 3 米，宽 4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．17．如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面 4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为 6 m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m．三、解答题18．某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶 5m 时，水面 AB 宽 8 m．一木船宽 4m，高 2m，3载货后，木船露出水面的部分为 m4．以拱顶 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B 为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶 1.8m 时，木船能否通过这座拱桥？19．如图 1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24m，在距离 D 点 6米的 E 处，测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5m，以桥拱顶点 O 为原点，桥面为 x 轴建立平面直 角坐标系．（1）求桥拱项部 O 离水面的距离．（2）如图 2，桥面上方有 3 根高度均为 4m 的支柱 CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆 呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为 8 米，宽度 OM 为 16 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如图 1 所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽 1 米的隔离带），其中的一条行车道能否行 驶宽 3.5 米、高 5.8 米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使 A．D 点在抛物线上．B、C 点在地面 OM 线上（如图 2 所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 AB、AD、DC 的长度 之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于 y 轴对称，经过测算，右边抛物线的表达式为 y =-120( x -30)2+5．（1）直接写出左边抛物线的解析式；（2）求抛物线彩虹桥的总跨度 AB 的长；（3）若三条钢梁的顶点 M、E、N 与原点 O 连成的四边形 OMEN 是菱形，你能求出钢梁最高 点离桥面的高度 OE 的长吗？如果能，请写出过程；如果不能，请说明理由．22．某海湾有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下的水面宽为100 m （如图所示）．由于潮汐变化，该海湾涨潮 5h 后达到最高潮位，此最高潮位维持1h ，之后开始退潮．如：某日 16 时开始 涨潮，21 时达到最高潮位，22 时开始退潮．该桥的桥下水位相对于正常水位上涨的高度随涨潮时间t 5h 内，该变化关系近似于一次函数）变化的情况大致如表所示．（在涨潮的涨潮时间 t （单位： h ）12 3 4 5 6桥下水位上涨的高度（单位： m ）45851251654 4（1）求桥下水位上涨的高度（单位：m ）关于涨潮时间 t （ 0 £t £6 ，单位： h ）的函数解析 式；（2）某日涨潮期间，某船务公司对该桥下水面宽度进行了三次测量，数据如表所示：涨潮时间t（单位： h ）5452154桥下水面宽（单位：m）20 2420 2320 22现有一艘满载集装箱的货轮，水面以上部分高15m ，宽 20m ，在涨潮期间能否安全从该桥下驶 过？请说明理由．1 1 1 参考答案1．B解：根据题意得 B 的横坐标为 10，把 x=10 代入 y =-125x2，得 y=-4，∴OD=4m，故选：B．2．D解：如图，以 AB 所在直线为 x 轴，以过拱顶 C 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角 坐标系，则由题意可知 A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为 y=ax2 0=a×4+2，解得：a=- ．2+2，将 B（2，0）代入得：∴抛物线的解析式为 y=- x22+2，∴若水面再下降 1.5m，则有-1.5=- x2+2，2解得：x=± 7．∵ 7-（-7）=27，∴水面宽度为 2故选：D． 3．C7m．1 解：如图，令 P 下方的点为 H，以 AB 中点为原点，建立坐标系 xOy，则 A(1 ，0)B(-1,O) ， 设抛物线的方程为 y=ax2+bx+c∴抛物线的对称轴为 x=0，则 - ∴y＝ax2+c．b2 a＝0，即 b＝0．将 A(1，0)代入得 a+c＝0,则 c＝－a．∴y＝ax2－a．1∵OH＝2× × ＝0.2，则点 H 的坐标为（-0.2，0） 5 2同理可得：点 F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得 a＝ -58．∴y＝ -5 5x2＋ ．8 8∴EF＝（ -故选：C． 4．B585 2）×（-0.6）２＋ ＝ ．8 5解：如图，由题意得B (0,0.5 )，C (1,0)．设抛物线的解析式为 y =ax2+c ，代入得 a =-1 1， c =2 2，1 1∴抛物线的解析式为 y =- x 2 +2 2．当 x =0.2时，y =0.48，当 x =0.6时， y =0.32 ．∴ BC +B C +B C +B C =2 ´(0.48+0.32)=1.6m 1 1 2 2 3 3 4 4，故选 B．5．B解：由图可知该抛物线开口向下，对称轴为 x＝20， 最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 y =a (x-20)2+16，将原点坐标代入可得 400a +16 =0，1，解得：a＝ -25故该抛物线解析式为 y＝ -125(x-20)2+161 8 ＝ - x 2 + x25 5故选：B． 6．C解：设此函数解析式为： y =ax2， a ¹0；那么 (2, -2) 应在此函数解析式上． 则 -2 =4 a1即得 a =- ，21 那么 y =- x22．1 21当 x=3 时， y =- ´322=-4.5∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米） 故选：C.7．D解：如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是（1，4），设抛物线的解析式是 y=a（x-1）2+4，把（0，3）代入解析式得：a+4=3， 解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-（x-1）2+4，当 y=0 时，-（x-1）2+4=0，解得：x =3，x =-1（舍去），则水池的最小半径是 3 米． 故选：D．8．C解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方 向，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2），设顶点式 y=ax2+2，代入 A 点坐标（-2，0），得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2，把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2，解得：x=±2 2 ，所以水面宽度增加到 42米，比原先的宽度当然是增加了（42-4）米，故选：C．9．A解：如图，把 AB 所在的直线当作 y 轴，AE 所在的直线当作 x 轴建立直角坐标系，由防滑螺母 C 为抛物线支架的最高点，灯罩 D 距离地面 1.5 米，点最高点 C 距灯柱的水平距离为 1.6 米，∴抛物线的顶点坐标 C（1.6，2.5），设 y＝a（x−1.6）2＋2.5．由 AB 得高为 1.5 米∴把 x＝0，y＝1.5 代入上式得，1.5＝a（0−1.6）2＋2.5．解得，a＝−12.56．∴y＝−12.56（x−1.6）2＋2.5．又∵DE 的高为 1.5 米∴当 y＝1.5 时，则−12.56（x−1.6）2＋2.5=1.5解得，x＝3.2 或 x＝0（舍去）∴AE 的长为：3.2m， 故选：A．10．D解：设该抛物线的解析式为 y =ax 2， 在正常水位下 x=10，代入解析式可得，−4=a ´102，1解得： a =-，25故此抛物线的解析式为 y =-125x2，∵桥下水面宽度不得小于 18 米， 令 x=9 时，则 y= -125×81=−3.24 米，此时水深 6+4−3.24=6.76 米，即桥下水深 6.76 米时正好通过，所以超过 6.76 米时则不能通过；故选 D.11．B解：∵拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最 高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)，∴-78=452a，26，解得：a= -675∴此抛物线钢拱的函数表达式为 y =-26675x2，故选 B.12．B3解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 MN=4，EF=14，BC=10，DO= ，2设大孔所在抛物线解析式为 y=ax2+ ∵BC=10，∴点 B（﹣5，0），32，1 2 1 2 3∴0=a×（﹣5）2+ ，2∴a=-350，∴大孔所在抛物线解析式为 y=-线的解析式为 y=m（x﹣b）2， ∵EF=14，∴点 E 的横坐标为-7，3 3x2+ ，设点 A（b，0），则设顶点为 A 的小孔所在抛物 50 2∴点 E 坐标为（-7，-3625），∴-3625=m（x﹣b）2，∴x =6 15 m+b，x =-6 1- +b，5 m∴MN=4，6 16 1∴|- +b-（-- +b）|=45 m5 m9，∴m=-25∴顶点为 A 的小孔所在抛物线的解析式为 y=-925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为 20 米，9∴当 x=-10 时，y=- ，29 9∴- =- （x﹣b）2， 2 255 5 2∴x = 2 +b，x =- +b，2 2∴单个小孔的水面宽度=|（522 +b）-（-522 +b）|=52（米），故选：B．13．10m解：根据题意，以 C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 B（12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为 y=ax2，将 B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122，解得：a= -118，1 ∴该抛物线的表达式为 y= -118x2，当 x=18 时，y= -118×182=﹣18，∴E（18，﹣18），∴点 E 到直线 AB 的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m， 故答案为：10m．14． y =- x92解：如图，拱形顶点 C 为坐标原点，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，由题意知 B（6，-4），设抛物线解析式为 y=ax2，将点 B（6，-4）代入，得：-4=36a，解得 a =-19，1 ∴ y =- x92，1故答案为： y =- x92．15． 4 10解：由题，E、F 两点是关于 y 轴对称，纵坐标都为 8，代入解析式，∴ -120x2+10 =8，解得： x =-2 10 ， x =2 10 ，1 2ï î ï ç ÷∴ x -x =4 10 ，2 1故答案为： 4 10 ．16．不能．1解：将 x=2 代入 y=- x2+3.25，得81y=- ×228+3.25=2.75，∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．17．647解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为： y =ax2，设A (3,m)，B(4,m-4)，ì 4a =-ì9a =m ï 7将点 A 和点 B 代入解析式，得 í ，解得 í ，16a =m -4 36m =-ïî 74 æ 64 ö ∴ y =- x 2， B 4, -7 è 7 ø，则最大高度是647．故答案是：647．18．当水面离拱顶 1.8 m 时，木船不能通过这座拱桥． 解：由题可知，点 B 的坐标是 (4, -5) ．设抛物线的函数解析式为 y =ax 2 ．将点B (4, -5)代入 y =ax2，得： -5 =a ´42，5解得： a．16∴抛物线的函数解析式为 y516x2．将 x =2 代入 y516x25 5 ，得 y =- ´2 2 =-16 4．∵5 34 42，而 1.8 <2 ，∴当水面离拱顶 1.8 m 时，木船不能通过这座拱桥．19．（1）6m；（2）① y ' =112( x +6)2+1；②2m解：（1）设 y =a x1 12，由题意得F (6, -1.5)，\-1.5 =36 a ， 1\ a =-1124，\ y =-1124x2，\当 x =12 时， y =-1124´122=-6，桥拱顶部离水面高度为 6m． \（2）①由题意得右边的抛物线顶点为(6,1)，\设 y =a ( x -6)2 22+1，H (0,4)，\ 4 =a (0 -6) 2 +1 2，\ a =2112，\ y =2112( x -6)2+1，(左边抛物线表达式： y ' =112( x +6) 2 +1)②设彩带长度为 h，则 h =y -y = 2 11 1 1 ( x -6) 2 +1 -( - x 2 ) = x12 24 82-x +4，2 \当 x =4时，h =2min，答：彩带长度的最小值是 2m．120．（1）y =- x28+2x（0≤x≤16）；（2）能，理由见解析；（3）AB、AD、DC 的长度之和的最大值是 20．解：（1）根据题意知：抛物线的顶点坐标为（8，8）， 则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8，将点 O（0，0）代入上式得：0=64a+8，解得：a =-18，1 1故函数的表达式为：y =- (x﹣8)2+8，即 y =- x28 8+2x（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽 1 米的隔离带，则每个车道宽为 7.5 米， 车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的 x=7.5﹣3.5=4，当 x=4 时，y=6，即允许的最大高度为 6 米，5.8＜6，故该车辆能通行；1（3）设点 B（m，0），则点 A（m， - m2+2m），8由抛物线的表达式知，其对称轴为 x=8，则 BC=2（8﹣m）=16﹣2m=AD，1 则 AB =- m28+2m，1则设：w=AB+AD+DC=2m+2AB =- m2+2m+16，41∵ - ＜ 0，故 w 有最大值，4当 m=4 时，w 的最大值为 20，故 AB、AD、DC 的长度之和的最大值是 20．21．（1） y =-120(x +30)2+5；（2） 80m ；（3）10m解：（1）∵右边抛物线的表达式为 y =-120( x -30)2+5，∴右边抛物线的顶点坐标是(30,5 )，∵左右两边是关于 y 轴对称的，∴左边抛物线的顶点坐标是(-30,5)，∴左边抛物线的解析式为 y =-120(x+30)+5；1 2 ï ï y x（2）令 y =0 ，则 -120(x -30)2+5 =0，解得x =20 ， x =402，∴ D (20,0 )，B(40,0 )，令y =0，则 -120(x+30)+5=0，解得x =-201，x =-402，∴ A(-40,0)， C(-20,0)，∴ AB =40 -(-40)=80m （3）如图，；∵四边形 OMEN 是菱形，∴MN 垂直平分 EO，∵ M (-30,5)，∴ EO =10 m ．422．（1）当 0 £t £5 时， h = t5；当 5