平面向量在解析几何的应用策略分析

X12+y12 • X22+y22=(X2,y 2), a丄b的充要条件是 a • b =0? X1X2- y(四)、禾U用向量求距离： 设a =(x,y),则有| a |=若 A(X1, yj B(X2, y2),则| AB|=.'(为X2)2 (y1 y2)二、典例分析:2★【题1】、点P (-3,1 )在椭圆笃aiy2=0;b 0)的左准线上.过点P且方向为a =(2,-5)的光线，经直线 y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为：(平面向量在解析几何中的应用与求解策略、利用向量，可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题，其基本理论是:(一)、直线的方向向量：直线L的方向向量为 爲=(a,b),则该直线的斜率为 k= aa(二)、禾U用向量处理平行问题： 对非零向量a =(x 1,y 1), b=(X2,y2), a // b的充要条件是：有且仅有一个实数，使得a = b ;亦即a // b ( b 0)的充要条件是？ X1y2-X2y1=0；f f a • b(三)、利用向量求角： 设a =(x 1,y 1), b =(X2,y 2),则两向量 a、b的夹角：cos = cos< a , b > = —f_二 I f II f其特殊情况即为垂直问题：对非零向量 a =(x 1,y 1),(B) - (C)3•［解析］:如图，过点P( -3，1)的方向向量a =(2,-5);所以Kpq5?则 lpQ;y 15(x23)；5x即 Lpq;5x 2y 13;联立：y2y213得 Q( 9, 2),由光线反射的对称性知： K5QFi2y 5c=1，5 9所以"my 2 2(x 5)，即 Lqf1：5x0 ;令y=0,得Fi ( -1，0);综上所述得:a23,则a 3;所以椭圆的离心率仝故选A。

3拨：本题中光线所处直量是a =(2,-5)，则立即有直线的斜率为KpQ5-,从而有Ipq方程为:y 125(X3)2 2★【题2】设椭圆—I25 161上一点P到左准线的距离为 10, F是该椭圆的左焦点，若点 M满足uuuu 1 uuu uur uuuuOM -(OP OF)，则 |OM | .2•解：依据椭圆的第二定义则有： |PF|=6，再由第一定义则|PF' |=4 ;由于由向量加法的平行四边形法则，则点 M处于PF的中点uuuu 1 uuu uurOM -(OP OF),2处，故由中位线定理可知uuuu|OM |2uumr▲点拨：本题中的向量条件0M1 uuu uur-(OP OF )，抓住向量加法的平行四边形法则，从而转化得出点2处于PF的中点位置2★【例题3】已知A,B为椭圆与a2 2y x2 1 (a>b>0)和双曲线rb a2爲 1的公共顶点,P,Q分别为双曲线和椭b圆上不同于 A,B的动点，且有AP+BP= (AQ+BQ)( € R,| |>1),设AP,BP,AQ,BQ斜率分别为k1,k 2,k 3,k 4,求 证:k 1+k2+k3+k4为一个定值.•解、点 A(-a,O)形法则，则有O；B(a,0) ;•••由AP+BP= (AQ+BQ),依据向量加法的平行四边2 2,则乌-召=1,a bQ P三点共线；设 P(xi,yj、Q(X2,y2)22 2 a贝寸 X1 -a = b2 ■ y1-2 b同样有k3+k4= 2ak 1+k2 =+ x计aX2r X1X2由于一:y2‘y1y2‘2所求的定值为y1 _ 2x1y1= 2 2X1-a X1 -a2b22 aX1；y1▲点拨：本题中的向量条件：AP+BP= ( AQ+3Q),通过向量加法的平行四边形法则 P三点共线；然后再继续进行推理、,从而转化得出了 O Q求解，从而得出结论。

★【例题4】(2007年全国高考n•理科• 12题).设F为抛物线y2 4x的焦点，A, B, C为该抛物线上三点，若uuu uuuFA FBuuuFCurn0 ,则 FAuuuFBuurFCA. 9B.C. 4D. 3•解：抛物线的焦点F (1, 0 )设 A、BC 三点的坐标分别为(x-i, y-i) > (x2, y2)、(x3, y3)则有FA=(x,uuu uuu •/ FA FB1,yJ,uurFCfb=(x2 i,y2), fc=(x3 i,y3),的定义可知0 ；二 X-I 1 + x2 1 + x3 1 =0 ； ••• X1+X2+X3=3,又由抛物线uuuFBuuuFCx 1 + 1+X2+1+X3 + 1=6,从而选(B)X1+X2+X3=3,再uuu uuu uuu▲点拨：本题中，向量条件 FA FB FC 0 ;利用向量的坐标运算规律进行转化后可得由于所求均为焦半径，从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为(B)★【例题5】、(2004年全国高考)给定抛物线 C： y2 4x, F是C的焦点，过点的直线I与C相交于A、B两点.（I）设I的斜率为1求0A与OB夹角的大小;（n）设FB AF,若 ［4,9］，求I在y轴上截距的变化范围.•解：（I） C的焦点为F （1, 0）,直线L的斜率为1,所以L的方程为y x 1.将y x 1代入方程y2 4x2，并整理得x 6x 10.设 A(X1, yj, B(X2, y2),则有x1 x2 6, x1x2 1.OA OB (X1,yJ(X2,y2)y°2 2x1X2 (X1 X2) 13.|OA||OB| ...X12 y xl2Y24(X1 X2) 16]41.cog rOA爲3 14 ——一.所以OA与OB夹角的大小为413/14arccos—41(n)由题设FB AF得(x2(1 X1, yj,即X2y2(1 X1),……①y又由于点F为抛物线的焦点，则有uuuiu|FB|uuuu| AF |依据抛物线的定义有:X2+1=（X计1） ②；联立方程①和②可求得X!= 1;则点A （1,［或求得点B（ , 2厂），］;又F （1, 0）,则可得直线L的方(1)y 2... (X 1)或(1)y2 .、(x 1), •••当［4,9］时，I在方程y轴上的截距为-或2.,由22211, 111324 42.3 士 a,直线413’ 314▲点拔：本题主要是将向量相等的条件fb'程为:2V可知 在［4，9］上是递减的，14L在y轴上截距的变化范围为［,3AF，转化为向量坐标关系等式:(X2 1, y2)（1 x1, y1）,即X2 （ Xl），然后可以此去求出交点 A的坐标数值，再往下进行转y2 y化推理，从而使问题得以解决。

★【例题6】（2007年湖南高考理科20题）已知双曲线x2 y2 2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于 A，B两点.uur uur umr uuur（I ）若动点M满足FJM RA F1B FQ （其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（II ）在x轴上是否存在定点uur uuu CA • CB为常数?若存在,求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.•解：由条件知 Fi( 2,0) , F2(2,0)，设 A(xi, yi) , Bg,曲•(1 )设 M (x, y)ujult，则FM(x2,y)UUT,F1A(X12, yj，UJITF1B(X2UJIT2, y2),FQ (2,0)，由uuuir uuiruuurUJIT X2X1X26,Xx2 x 4,FM F1AF1BFO得即当AB不与x轴垂直时，设直线 AByy1y2*y2 y的方程是yk(x2)(k 1).代入X22y 2 有(12 2k )x 4k2 2x (4 k2) 0 .则X1 , X2是上述方程的两个实根，所以XiX24k2k2 1yiy2k(xiX24kk2 1由①②③得x 4理.…④;k2 1kA .…⑤;0时,0,由④⑤得,将其代入⑤有4y 需—(x 4) 12 Iy4y(x(x 4)2 y企.整理得(x6)2当k 0时，点M的坐标为(4,0)，满足上述方程.当 AB与x轴垂直时,X1 X2求得M (8,0)，也满足上述方程.故点 M的轨迹方程是(x6)2 y2 4 .(II)假设在x轴上存在定点点C(m,0),uuu uu使CAgCB为常数，当AB不与x轴垂直时，由XiX24k" 4k27 1 , X1X2 Wuuu uuu 2CAgDB & m)(x2 m) k2 (x1uur2)(X22)(k2 1)x^2(2k2 m)(x1x2) 4k2m22 2 2 2(k 1)(4k 2) 4k (2k m)k2 1k2 14k2m222(1 2m)kk2 1-m2 2(12 m)4mk2 1m2urn uuu因为CAgCB是与k无关的常数，所以uuu uu4 4m 0，即 m 1,此时 CAgCB =当AB与x轴垂直时，点A, B的坐标可分别设为(2,2),(2,2)uuu uuu — -CAgCB (1,2)g(1, 、2) 1 .uuuuuu故在x轴上存在定点C(1,0)，使CAgCB为常数.▲点拨：本题中的向量条件的转化，关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化!★【例题7】设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 代B两点，点Q与点P关于uuu uuu uuur uury轴对称，o为坐标原点，若BP 2PA且OQgAB 1，则点P的轨迹方程是()0)23 223 2A. 3x尹1(x 0,y 0)B.3x2y1(x0,yC 3 2-21(x 0,y 0)3 2-21(x0,yC. _ x23yD.—x23y•解：设p(X , y ),贝 U Q (-x, y),又设A ( a,0 ) , B(0,b ),uuuuuuuuu uuu3BP=(x , y—b) , PA=(a-x,--y),由BP= 2PA 可得 a=-x ,b = 3y ,20)则a 0 ,uuu 3所以 x 0, y 0 又 AB =(-a, b) = ( x,2b 0 ,于是uuur uuu3y),由 OQ ?AB = 1 可得—X 3y2 1(x20, y 0)故▲点拨：本题中的向量条件的转化，关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化!★【例题8】已知两点uuuuM(- 2, 0)、N(2, 0)，点P为坐标平面内的动点， 满足|MN |UULT|MP|uuuu uuuMN NP(A) y2 8x(B) y228x (C) y24x(d) y24xuuuuuuruuur•解答、设 P(x, y) , x0,y 0,M( 2,0), N(2,0),MN4 ；贝9 MP(x 2,y),NP (x 2,y)0，则动点P (x, y)的轨迹方程为( )由MN MP MN NP 0 ,则4 y2 4(x 2) 0,化简整理得y2 8x所以选B▲点拨：本题中的向量条件的转化，关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化！★【例题9】已知点M (— 2, 0), N( 2, 0),动点P满足条件|PM | - |PN |= 2^2，记动点P的轨迹为 W.uuu uuu(I)求 W的方程；(H)若A , B是W上的不同两点，O是坐标原点，求 OA • OB的最小值••解：(I)由|PM| - |PN|= 2.2知动点P的轨迹是以a 2 ；又半焦距c=2 ,故虚半轴长2 2 _ 方程为x y 1 , x .22 2(H)设A, B的坐标分别为(捲,yi),uuu uuu从而y1 y2,从而OA OBM,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长m ,与W的方程联立，消去y得不垂直时，设直线AB的方程为y kx(1 k2)x2 2kmx m2 20.故 x12 km x2 1 kx1x22所以k 1uuu uuuOA OB x1x2 y1y2 x1x2(kx1m)(kx2 m)(12k )x1x2 km(x1 x2)2 2 2 2(1 k )(m 2) 2k mk2 11 k22k2 2k2 1•又因为x1x2 0 ,所以2 uuu uuu k i 0,从而 OA OBuuu uuu2.综上，当AB! x轴时，OA OB取得最小值2.urn uuu▲点拨：向量条件 OA OBX,x2 yiy2在综合题中的转化是经常要用到的，它实质是向量坐标运算★【例题10】.(2006年辽宁卷)已知点 A(xi, yj , B(X2,y2)(x^20)是抛物线y 2px(p 0)上的两个动点，O是坐标原点，向量OAuuu uuu uuuOB满足OA OBuuu uuuOA OB设圆C的方程为规律的应用与转化。

x2 y2 (x! X2)x (% y2)y 0(I)•【解析】证明线段AB是圆C的直径；(ll)(I)uuu uuuQ OA OBuuu uuuOA OB 0 为 x2 % y2(x x,)(x X2) (y yi)(yuuu uuu OA OB当圆c的圆心到直线uuu uuu 2 uuu (OA OB) (OAx-2y=0的距离的最小值为时,uuu 2OB);整理得：0 ;设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点2y2) 0 ；整理得：x求P的值uuir umr,则MA MB 0即2y (xi X2)x (yi y2)y 0故线段AB是圆C的直径x(II)解：设圆C的圆心为C(x,y),贝Uyx-i x22yi y2— 2Q yi22pxi,y2 2px2(p 0) X1X22 2yi y24p2又因 x-i x2 y-i y2 0 x-i x2 y y2xi x24 (yi22 i 2y2 ) (yiy22 2yiy2)管i 2 2-(y 2p )；所以圆心的轨迹方程为4p4p4pp2 2yi y? 2yi y2 - 2- ;Qxi X2 0, yi y2 0 yi y2 4p4p2p2;设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则px|x 2y|5|-(y22p2) 2y||y2 2py 2p2|V5pl(y_P『_P2|V5p当y=p时,d有最小值p"5由题设得pV5p 2.▲点拨：本小题考查了平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识, 以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。

2 2b 0的中心O为圆心，分别以a和b为★【例题II】.(2006年天津卷)如图，以椭圆 令占 iaa b半径作大圆和小圆过椭圆右焦点 F c,0 c b作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点 A .连结OA交小圆于点B •设直线BF是小圆的切线.(1)证明c2 ab,并求直线BF与y轴的交点M的坐标;(2)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明UUU UUUTOP OQ•证明：(I)由题设条件知,RtVOFA s-b2 •2RtVOBF 故OA OF因此，c2 ab ;在 RtVOFA ,FA OA OF2 a2 c2 b.因此,ab.在 RtVOFA 中,FA= . OA2 OF2 a2b.日 直线 OA的斜率koaoa疋，b .设直线BF的斜率为k，则cc「这时，直线BF与y轴的交点为 M (0,a)；2(n )由(I),得直线BF得方程为y kx a,且k2 冷babb由已知，设P(x“ yj、Q(x2, y2)，则它们的坐标建立方程组2yb2kx1③；由方程组③消去y，并整理得(b22 2 2 a k )xc 3,2a kx由式①、②和④；4 a X1X2 b2以a b2. 2a k2 2 2a (a bjagbb2 a3以a ba b；由方程组③消去x ,并整理得(b2 a2k2)y2 2ab2y a2b2a2b2k2由式②和⑤， y1 y22. 2a b (1b22 2 aa2b2(1 )b2 2b a综上，得到ULIUOPuuirOQX-|X2yya3b2 a3 b注意到a2abb2a2c2b22b2，得a2b2(b a)b32 2a b (b a)a3 b<3a b—.-3a bUUU UUUTOP OQ2^3a b3 . 3a ba2b3(a b) 2b2a2b2(a b)2ac2(a b)2 2I®2 a® 护 J)-b22▲点拨：本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。

平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力2 2★【例题12】(2005年湖南理xi9题• i4分)已知椭圆 C: 飞 +a= i (a>b>0)的左.b2右焦点为 Fi、F2,离心率为e.直线l :y = ex+ a与x轴.y轴分别交于点A B, M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点Fi关于直线l的对称点，设 AM =入AB. (I)证明：入=i - e2 ；(n)确定入的值，使得△•解：①、因为PFF2是等腰三角形.A、B分别是直线ex a与x轴、y轴的交点，所以 A、B的坐标分别是即当(和(0'a)由由AMy2xaex a,c,b2这里ca2 b2 . 所以点M的坐标是b2(c,).aAB得(c(n):因为1即 2|PFi|得 ii ;;a b2(―,a). 即 eeb2e 解得 i e2PFi丄I ,所以/ PFiF2=90° +/BAF为钝角，要使△ PFi F2为等腰三角形，必有|PFi|=|F冋,e.设点Fi到I的距离为2 i所以e2丄，于是3-时，△ PFiF2为等腰三角形.3▲点拨：由向量条件:1 d，由-| PF | d| e( c) 0 a | | a ec |e2i e2 c，i e2uuuAB.利用坐标运算性质可 得(a(,a)，从而便于下面的e计算与推理。

总之，平面向量在解析几何中的应用非常广泛，通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等 问题的处理，其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。