微积分-6_4-反常积分

一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分6.4 反常积分上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常积分收敛, 否则称此反常积分发散 连续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 下页 类似地, 连续函数f(x)在区间(, b上和在区间(, )的反常积分定义为 dxxfdxxfdxxfbbaa)(lim)(lim)(00 dxxfdxxfbaab)(lim)( 上页下页铃结束返回首页下页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa babbabaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(lim)()(limaFxFaFbFxb可采用如下简记形式：babbabaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)( )()(lim)()(limaFxFaFbFxb 上页下页铃结束返回首页dxxfdxxfbaba)(lim)( 一、无穷限的反常积分v无穷限的反常积分的定义 连续函数f(x)在区间a, )上的反常积分定义为 反常积分的计算 如果F(x)是f(x)的原函数, 则有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 类似地, 有 )(lim)()()(xFbFxFdxxfxbb, )(lim)(lim)()(xFxFxFdxxfxx 下页上页下页铃结束返回首页 解 例 1 计算反常积分dxx211 例1 下页)(lim)(lim)()(xFxFxFdxxfxx )2 (2 解 arctan112xdxxxxxxarctanlimarctanlim arctan112xdxx 上页下页铃结束返回首页011dteptepptpt 0001ptptpttdepdttedtte提示：例 2 计算反常积分dttept0(p 是常数, 且 p0) 例2 下页)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 0211ptpteptep 2221111limppeptepptptt 解 2221111limppeptepptptt 01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette01limlimlimpttpttpttpeette 0001ptptpttdepdttedtte0001ptptpttdepdttedtte 上页下页铃结束返回首页 解 例 3 讨论反常积分dxxpa1(a0)的敛散性 例3 解 当 p1 时, 解 当 p1 时, ln11aapaxdxxdxx 当 p1 时, 当 p1 时, 当p1时, 此反常积分发散 ln11aapaxdxxdxx ln11aapaxdxxdxx 1111appaxpdxx 1111appaxpdxx 当 p1 时, 11111 1paxpdxxpappa11111 1paxpdxxpappa11111 1paxpdxxpappa 因此, 当 p1 时, 此反常积分收敛, 其值为11pap 首页)()(lim)()(aFxFxFdxxfxaa 上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分注： 如果函数f(x)在点x0的任一邻域内都无界, 那么点x0称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点) 无界函数的反常积分又称为瑕积分 v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 下页 在反常积分的定义式中, 如果极限是存在的, 则称此反常积分收敛 否则称此反常积分发散 上页下页铃结束返回首页 函数f(x)在a, c)(c, b上(c为瑕点)的反常积分定义为 二、无界函数的反常积分 类似地, 函数f(x)在a, b)上(b为瑕点)的反常积分定义为dxxfdxxftabtba)(lim)( btcttactbadxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)( 下页v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 上页下页铃结束返回首页 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数, btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 可采用简记形式 btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)( )(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat 则f(x)在(a, b上的反常积分为 下页上页下页铃结束返回首页)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 二、无界函数的反常积分v无界函数反常积分的定义 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 点a为f(x)的瑕点 函数f(x)在(a, b上的反常积分定义为btatbadxxfdxxf)(lim)( 反常积分的计算 如果F(x)为f(x)的原函数, 则f(x)在(a, b上的反常积分为 提问： f(x)在a, b)上和在a, c)(c, b上的反常积分如何计算？ 如何判断反常积分的敛散性？下页上页下页铃结束返回首页解 因为221limxaax, 所以点a为被积函数的瑕点 解 例 4 计算反常积分dxxaa2201 例4 下页aaaxdxxa 0 022arcsin120arcsinlimaxaxaaaxdxxa 0 022arcsin1 20arcsinlimaxax 当 a 为瑕点时,)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 当 b 为瑕点时,)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba 上页下页铃结束返回首页 由于1)1(lim1100 1012xxdxxx 解 例5 例 5 讨论反常积分1121dxx的收敛性 解 在区间1, 1上 x0 为函数21x的瑕点 即反常积分0121dxx发散, 所以反常积分发散, 所以反常积分1121dxx发散 下页当c (acb)为瑕点时, )(lim)()()(lim)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba 1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx, 上页下页铃结束返回首页 当 q1 时, 当 q1 时, 解 例6 例 6 讨论反常积分baqaxdx)(的敛散性 解 当 q1 时, 因此, 当 q 0 ; (2) 在在(a, b) 内存在点内存在点 , 使使 )(2d)(22 fxxfabba (3) 在在(a, b) 内存在与内存在与 相异的点相异的点 , 使使 baxxfaabfd)(2)(22 (03考研考研) 上页下页铃结束返回首页证证: (1) ,)2(lim存在存在axaxfax ,0)2(lim axfax由由 f (x)在在a, b上连续上连续, 知知 f (a) = 0. ，又又0)( xf所以所以f (x) 在在(a, b)内单调增内单调增, 因此因此 ),(, 0)()(baxafxf (2) 设设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa , 0)()( xfxg则则)(),(xgxF故故满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, 于是存在于是存在 使使),(ba aabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22 xxattfxd)()(2上页下页铃结束返回首页即即 )(2d)(22 fttfabba (3) 因因 0)()( ff)()(aff 在在a, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理),(),( )( aaf 代入代入(2)中结论得中结论得)(2d)(22afttfabba 因此得因此得 baxxfaabfd)(2)(22 上页下页铃结束返回首页?11,0/10202xxtdttdtx则设.)()()(102102 dxxfxxdxdttfxx证明：为零的常数。

是一个不则设)(,sin)(2sinxFtdtexFxxt上页下页铃结束返回首页23.(01)23.(01)设设)(xf在在 上连续，在上连续，在 可导，可导，1,0)1,0(且满足且满足dxxfefx)(3)1(21310 证明：存在证明：存在 ，使得，使得)1,0( )(2)( ff 24.(01)24.(01) 设设dxxxannnnn 123110则极限则极限 nnanlim1)1(231 e25.(04)25.(04)设设,tan401dxxxI ,tan402dxxxI 则则1)(21 IIA211)(IIB 1)(12 IIC121)(IID 上页下页铃结束返回首页26.设函数设函数 在区间上在区间上 的图形为：的图形为： yf x1,3( )f xx1-2023-1O则函数则函数 0 xF xf t dt的图形为（的图形为（ ） A( )f xx0231-2-11 B( )f xx0231-2-11( )f xx0231-11 D C( )f xx0231-2-11上页下页铃结束返回首页. A(3)F3( 2)4F . B(3)F5(2)4F.D( 3)F 5( 2)4F 2,0 , 0,20( )( ) ,xF xf t dt( )yf x 3, 2 , 2,327.连续函数连续函数在区间在区间上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为1的的上图形分别是直径为上图形分别是直径为2的下、的下、则下列结论正确的是：（则下列结论正确的是：（ ）上、下半圆周，在区间上、下半圆周，在区间上半圆周，设上半圆周，设)2(43) 3(.FFC上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页测测 验验 题题.21lim13332322nnnnn、计算.)()()(lim, 0)0()(2000 xxxdttxfxdttftxfxf计算连续，、设.34,2,2cos13202221000 xxdxxxdxdxx、计算：).( 21)( 1 , 0, 0)0( 1 , 0)(410fdxxffxf，满足存在证明：上有连续导数，在、设上连续。

在、证明： 1 , 0)(,)()()(5102102xfdxxfxxdxdttfxx 。