江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试数学试卷

2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2.答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．3.请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.已知集合，，若，则实数的值为 ▲ .2.已知复数（是虚数单位），则 ▲ .3.已知向量，，若∥，则实数等于 ▲ . 第6题4.一个算法的流程图如图所示，则输出的值为 ▲ .开始 i←1 , S←0i <10 输出SY S←S+ ii←i +1 结束 N第4题第5题5.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为 ▲ ．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）6.如图，已知正方体的棱长为，为底面正方形的中心，则三棱锥的体积为 ▲ .7. 已知函数（为常数且），若在区间的最小值为，则实数的值为 ▲ .8. 已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且，则 ▲ .9. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.若在上为增函数，则的最大值为 ▲ . 10.已知函数，其中，，则此函数在区间上为增函数的概率为 ▲ .11.对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式解：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为． ”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ▲ . xyOFBQP第13题12.如图，在平面四边形中，若， 则 ▲ .A第12题CDB13.如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .14.若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 ▲ ___.参考答案：1. ； 2.； 3.； 4.； 5.； 6. ； 7. ；8. ； 9.２； 10. ； 11.； 12.； 13. ； 14.．二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．15.在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为，所以，即，所以，所以．………………………………………………6分 （2）因为 ，所以，所以，， 又点在角的终边上，所以， ．同理 ，，所以．……14分CBAA1B1C1D16.如图，在正三棱柱中，点是棱的中点．求证：（1）；（2）平面．证明：（1）因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，又平面，所以，……………………………………… 2分又点是棱的中点，且为正三角形，所以，因为，所以平面，………………………………4分又因为平面，所以．………………………………6分(2)连接交于点，再连接．CBAA1B1C1DE 因为四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以.又平面，平面，所以平面．…………………………………………………………14分17. 设为数列的前项和，若（）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．（1）若数列是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列是否为“和等比数列”；（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，试探究与之间的等量关系．解：（1）因为数列是首项为2，公比为4的等比数列，所以，因此．……………………………………………………………2分设数列的前项和为，则，，所以，因此数列为“和等比数列”．………………………………………………6分(2) 设数列的前项和为，且， 因为数列是等差数列，所以，， 所以对于都成立，化简得，，……………………………………10分 则，因为，所以，因此与之间的等量关系为．　　……………………………………14分18.已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为．（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程。

解：（1）设抛物线的方程为，因为准线的方程为，所以，即，因此抛物线的方程为． …………………………………………4分（2）由题意可知，，,则直线方程为：，即，……………………………………………………8分设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为，则圆心到直线的距离， …………………10分即①或② 由①可得对任意恒成立，则有，解得（舍去）……………………………………14分由②可得对任意恒成立，则有，可解得因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.………………………………………………………………………………………16分19.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧，，分别与圆弧相切于，两点，∥，∥，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是．（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点．设，试用表示木棒的长度；NMABCDEFGHPQ1m1m（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．NMABCDEFGHPS1m1mTQW解：(1)如图，设圆弧所在的圆的圆心为，过点作垂线，垂足为点，且交或其延长线与于，并连接，再过点作的垂线，垂足为．在 中，因为，，所以．因为与圆弧切于点，所以，在，因为，，所以，，①若在线段上，则在 中，，因此②若在线段的延长线上，则在 中，，因此．………………………………………8分（2）设，则，因此．因为，又，所以恒成立，因此函数在是减函数，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．…………………………………………………………………………16分20.已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解：（1）当时，==，其对称轴为直线，当 ，解得，当，无解，所以的的取值范围为．………………………………………………4分（2）因为，法一：当时，适合题意………………………………………6分当时，，令，则，令，因为，当时，，所以在内有零点．当时，，所以在（内有零点． 因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．……………………10分法二：，，．由于不同时为零，所以，故结论成立． (3)因为=为奇函数，所以, 所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即．因为　所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，当时，，即，解得；当时， ，解得；当时，显然不成立；yO1x-1当时，，即，解得；当时，，故．所以所求的取值范围是或．数学附加题部分（考试时间30分钟，试卷满分40分）21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4－1：几何证明选讲ABCDEF如图，在中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值．ABCDEFM解：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，所以，………………………………２分因为EF∥DM，所以，即…４分又，即，…………………………８分所以，因此．　………………10分B.选修4－2：矩阵与变换已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量．解：矩阵的特征多项式为，…………２分令，解得，　………………………………………４分将代入二元一次方程组 解得，……６分所以矩阵属于特征值1的一个特征向量为；………………………８分同理，矩阵属于特征值2的一个特征向量为．……………………10分C.选修4 - 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标.解:因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，……………………………………………３分又因为曲线的参数方程为（为参数）所以曲线的直角坐标方程为， ………………………６分联立解方程组得或，…………………………………………８分根据的范围应舍去,故点的直角坐标为．……………10分D.选修4－5：不等式选讲已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最小值．解：因为，………………………………2分所以时，取最小值，即，………………………………………………………………5分因为，由柯西不等式得，……………………8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． …………………………………………………………10分22．【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者闯第一关成功得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、、，记该参加者闯三关所得总分为．（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；（2）求的分布列和数学期望．解：⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为、、，该参加者有资格闯第三关为事件．则；………………………………4分(2)由题意可知，的可能取值为、、、、，， ，，，，所以的分布列为………………………………………………8分所以的数学期望…………………10分23.【必做题】如图，已知抛物线的准线为，为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，再分别过，两点作的垂线，垂足分别为，．（1）求证：直线必经过轴上的一个定点，并写出点的坐标；（2）若，，的面积依次构成等差数列，求此时点的坐标．ABCDNOxy解法一：（1）因为抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，， 由，得，求导数得，于是，即，化简得，ABCDNOxyEQ同理可得，所以和是关于的方程两个实数根，所以，且．在直线的方程中，令，得=为定值，所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分(2)由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，因为是抛物线的焦点，所以，所以，所以，又因为，，所以，，成等差数列，即成等差数列，即成等差数列，所以，，所以，，时，，，时，，，所以所求点的坐标为．……………………………………………………………………………10分解法二：（1）因为已知抛物线的准线的方程为，所以可设点的坐标分别为，，，则，，设过点与抛物线相切的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，解得，此时两切点横坐标分别为，在直线的方程中，令得=为定值，所以直线必经过轴上的一个定点，即抛物线的焦点．……………5分（2）由（1）知两切线的斜率分别为，则，所以，连接，则直线斜率为，又因为直线的斜率，所以，所以，又因为，所以，所以和的面积成等差数列，所以成等差数列，所以成等差数列，所以，，所以，，时，，，时，，，所以所求点的坐标为． ………………………………10分ww。