突破4.4 对数函数重难点突破一、考情分析二、经验分享考点一 对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>101时,y>0；当01时,y<0；当00在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数三、题型分析(一) 对数函数的概念与图像例1、给出下列函数：①y＝x2；②y＝log3（x﹣1）；③y＝logx+1x；④y＝logπx．其中是对数函数的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由对数函数的定义依次判断即可．【参考答案】解：①y＝x2的真数为x2,故不是对数函数；②y＝log3（x﹣1）的真数为x﹣1,故不是对数函数；③y＝logx+1x的底数为x+1,故不是对数函数；④y＝logπx是对数函数；故选：A．【变式训练1-1】．函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为( )【参考答案】A【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|,先画出x>0时,g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象,结合图象知选A.【变式训练1-2】．（2018秋•船营区校级月考）函数f（x）＝的图象可能是（ ）A． B． C． D．【分析】先求出函数的定义域,再判断函数为奇函数,即图象关于原点对称,故可以排除BC,再根据函数值域,可排除D．【参考答案】解：∵f（x）＝,∴函数定义域为（﹣∞,0）∪（0,+∞）,∵,∴函数f（x）为奇函数,图象关于原点对称,故排除B、C,∵当0＜x＜1时,lnx＜0,∴f（x）＝＜0,x∈（0,1）故排除D．故选：A．【变式训练1-3】．（2019秋•洛南县期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（ ）A． B． C． D．【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征,函数y＝|lg（x+1）|的图象可由函数y＝lg（x+1）的图象将X轴下方的部分翻折到X轴上部而得到,故首先要研究清楚函数y＝lg（x+1）的图象,由图象特征选出正确选项【参考答案】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到,函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1,0）,故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0,0）,即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的大众点是（0,0）,考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选：A．【变式训练1-4】．计算：＋log2(log216)＝________.【参考答案】：【解析】：原式＝＋log24＝＋2＝.例2．函数y＝的图象大致是( )【参考答案】B【解析】当x＜0时,函数的图象是抛物线；当x≥0时,只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可,故大致图象为B.【变式训练2-1】．（2020·浙江高一单元测试）已知,且,,若,则下列不等式可能正确的是（ ）．A． B．C． D．【参考答案】AD【解析】∵,∴若,则,即．∴,故A正确．,故D正确．若,则,∴,,故BC错误, 故选：AD【变式训练2-2】．已知函数,则_______.【参考答案】【解析】．故参考答案为：－1【变式训练2-3】．图中曲线是对数函数的图象,已知取,,,四个值,则相应于,,,的值依次为 A．,,, B．,,,C．,,, D．,,,【参考答案】A【解析】由已知中曲线是对数函数的图象,由对数函数的图象和性质,可得,,,的值从小到大依次为：,,,,由取,,,四个值,故,,,的值依次为,,,,故选：．(二) 比较大小例3．（2019·浙江湖州高一期中）下列各式中错误的是（ ）A． B．C． D．【参考答案】C【解析】A、∵y＝3x,在R上为增函数,∵0.8＞0.7,∴30.8＞30.7,故A正确；B、∵y＝log0.5x,在上为减函数,∵0.4＜0.6,∴log0..50.4＞log0..50.6,故B正确；C、∵y＝0.75x,在R上为减函数,∵﹣0.1＜0.1,∴0.75﹣0.1＞0.750.1,故C错误；D、∵,在上为增函数,∵,∴,故D正确.故选：C．【变式训练3-1】．（2020·全国高一课时练习）设则（ ）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a【参考答案】A【解析】,.故选：A.【变式训练3-2】．（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知a＝log30.3,b＝30.3,c＝0.30.2,则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】容易得出,从而可得出a,b,c的大小关系．【参考答案】解：∵log30.3＜log31＝0,30.3＞30＝1,0＜0.30.2＜0.30＝1∴a＜c＜b．故选：B．【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性,以及增函数、减函数的定义．【变式训练3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中,成立的是（ ）A． B． C． D．【参考答案】解：∵log34＞log33＝1,0＜0.31.7＜0.30＝1,log0.310＜log0.31＝0,∴．故选：A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0,a≠1）的图象必经过定点P,则P点坐标是（ ）A．（1,3） B．（﹣,4） C．（﹣1,3） D．（﹣1,4）【分析】令2x+3＝1,求得x的值,从而求得P点的坐标．【参考答案】解：令2x+3＝1,可得 x＝﹣1,此时y＝3．即函数y＝3+loga（2x+3）（a＞0,a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1,3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于基础题．【变式训练4-1】．（2018秋•烟台期中）函数y＝loga（x+2）+ax+1+2（a＞0,且a≠1）的图象必经过的点是（ ）A．（0,2） B．（2,2） C．（﹣1,2） D．（﹣1,3）【分析】根据loga1＝0,a0＝1,求出定点的坐标即可．【参考答案】解：令x+2＝1,解得：x＝﹣1,故y＝0+1+2＝3,故图象过（﹣1,3）,故选：D．【点睛】本题考查了对数函数,指数函数的性质,根据loga1＝0,a0＝1是解题的关键．【变式训练4-2】．（2019秋•赣州期末）已知a＞0,a≠1,则f（x）＝loga的图象恒过点（ ）A．（1,0） B．（﹣2,0） C．（﹣1,0） D．（1,4）【分析】令＝1,解得x＝﹣2,y＝0,进而得到f（x）＝loga的图象恒过点的坐标．【参考答案】解：令＝1,解得：x＝﹣2,故f（﹣2）＝loga1＝0恒成立,即f（x）＝loga的图象恒过点（﹣2,0）,故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中,是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3 D．y＝x|x|【参考答案】AD【解析】A中,y＝x3＋x为奇函数,且存在零点x＝0,与题意相符；B中,y＝log2x为非奇非偶函数,与题意不符；C【变式训练5-1】．（2020·全国高三课时练习（理））“”是“函数为奇函数”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【参考答案】B【解析】 时, ,当 时, ,函数为奇函数；当 时,,函数不是奇函数时, 不一定奇函数,当是奇函数时,由可得,所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件 ,故选B.【变式训练5-2】．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数在上是增函数,若,,,则的大小关系为( )A． B． C． D．【参考答案】C【解析】由题意：,且：,据此：,结合函数的单调性有：,即.本题选择C选项.【变式训练5-3】．（2019秋•新宁县校级期中）对于函数,下列说法正确的是（ ）A．f（x）是奇函数 B．f（x）是偶函数 C．f（x）是非奇非偶函数 D．f（x）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【参考答案】解：由＞0,解得：﹣1＜x＜1,故函数f（x）的定义域是（﹣1,1）,关于原点对称,而f（﹣x）＝log2＝﹣log2＝﹣f（x）,故f（x）是奇函数,故选：A．(五) 有关对数函数定义域问题例6．函数y＝的定义域为( )A．(－∞,2) B．(2,＋∞)C．(2,3)∪(3,＋∞) D．(2,4)∪(4,＋∞)【参考答案】C【解析】：选C 根据题意得 解得x>2且x≠3,故选C.【变式训练6-1】．（2018秋•宜宾期末）函数y＝的定义域是（ ）A．（,+∞） B．（,1] C．（﹣∞,1] D．[1,+∞）【分析】首先由根式有意义得到log0.5（4x﹣3）≥0,然后求解对数不等式得到原函数的定义域．【参考答案】解：要使原函数有意义,则log0.5（4x﹣3）≥0,即0＜4x﹣3≤1,解得．所以原函数的定义域为（]．故选：B．【变式训练6-2】．（2018春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（ ）A．[1,+∞） B．（,+∞） C．（1,+∞） D．（,1]【分析】利用对数的性质求解．【参考答案】解：函数y＝的定义域满足：,解得．故选：D．【变式训练6-3】．（2019·六盘水市第二中学高一期中（理））函数的定义域是__________．【参考答案】【解析】由题意可得,即,解得且.因此,函数的定义域是.故参考答案为：.【变式训练6-4】．函数的定义域为______,最小值为______.【参考答案】 【解析】由题意得,解得,所以函数的定义域为,令,所以在递减,且. 因此函数的值域为,最小值为.故参考答案为：；(六) 有关对数函数值域问题及最值问题例7．函数f(x)＝的值域是( )[来源:学。
科网]A．(－∞,1) B．(0,1)C．(1,＋∞) D．(－∞,1)∪(1,＋∞)【参考答案】B【解析】∵3x＋1>1,∴0<<1,∴函数的值域为(0,1)．【变式训练7-1】．（2019秋•南昌校级期中）函数y＝log4（2x+3﹣x2）值域为 ．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值,再通过配方求得值域．【参考答案】解：设u（x）＝2x+3﹣x2＝﹣（x﹣1）2+4,当x＝1时,u（x）取得最大值4,∵函数y＝log4x为（0,+∞）上的增函数,∴当u（x）取得最大值时,原函数取得最大值,即ymax＝log4u（x）max＝log44＝1,因此,函数y＝log4（2x+3﹣x2）的值域为（﹣∞,1],故填：（﹣∞,1]．【变式训练7-2】．已知函数,若它的定义域为,则a_________,若它的值域为,则a__________．【参考答案】 【解析】函数的定义域为,则恒成立,故,即；函数为,则是函数值域的子集,则,即.故参考答案为：；.【变式训练7-3】．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3),求f(x)的定义域、值城．【参考答案】定义域为,值域为.【解析】由函数有意义得,解得,所以函数的定义域为.因为,,又因为在上递增,在上递减,所以,所以.所以函数的值域为.【变式训练7-4】．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））设,且.（1）求的值及的定义域；（2）求在区间上的最大值．【参考答案】（1）,定义域为；（2）2【解析】（1）,解得.故,则,解得,故的定义域为.（2）函数,定义域为,,由函数在上单调递增,函数在上单调递增,在上单调递减,可得函数在上单调递增,在上单调递减.故在区间上的最大值为.(七) 对数函数的概念与图像例8．（2020·全国高一课时练习）画出下列函数的图象：（1）y＝lg|x－1|．（2）．【参考答案】图象见解析【解析】（1）设,所以是偶函数,图象关于轴对称,图象是由向右平移个单位得到,所以图象关于对称,当时,,图象是图象向右平移个单位得到,再画出其关于对称部分,即可得出图象,如下图所示：（2）由函数,则满足,解得,即函数的定义为,先画得对数函数的图象,将函数的图象向右平移1个单位,得到函数,再将函数下方的图象关于轴对称,即可得到函数的图象,如图所示：(八) 对数型复合函数的单调性问题例9．（2019·浙江高一期中）函数的单调递增区间是( )A． B． C． D．【参考答案】A【解析】由,得到,令,则在上递减,而在上递减,由复合函数单调性同增异减法则,得到在上递增,故选：A【变式训练9-1】．（2020·全国高一课时练习）函数在上为减函数,则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【参考答案】B【解析】若函数在上为减函数,则,计算得出,所以B选项是正确的.【变式训练9-2】．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数.(1)当时,求；(2)求解关于的不等式；(3)若恒成立,求实数的取值范围.【参考答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当时, （2）由得：或当时,解不等式可得：或当时,解不等式可得：或综上所述：当时,的解集为；当时,的解集为（3）由得：或①当时,,或,解得：②当时,,或,解得：综上所述：的取值范围为(九) 对数型复合函数的最值问题例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知(1)求的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明；(3)求使的的取值范围．【参考答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ,解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x),且x∈(－1,1),∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若a>1,f(x)>0,则>1,解得00,则0<<1,解得－1
