（江苏专版）2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案（理）（含解析）
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假假假真假真假假假2．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等3．全称命题和存在性命题名称形式 全称命题存在性命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x，使p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)[小题体验]1．(2019·启东中学期末检测)在“綈p”，“p∧q”，“p∨q”形式的命题中，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，则p，q的真假为p________，q________.解析：∵“p∨q”为真，∴p，q至少有一个为真．“p∧q”为假，∴p，q至少有一个为假，而“綈p”为真，∴p为假，q为真．答案：假 真2．(2019·盱眙中学检测)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是________________________．答案：对于任意的实数x，使得x≤13．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题：①p∨q；②綈p∧綈q；③綈p∨q；④p∧綈q.其中为真命题的序号是________．解析：由题设可知：p是真命题，q是假命题；所以綈p是假命题，綈q是真命题； 所以p∨q是真命题，綈p∧綈q是假命题，綈p∨q是假命题，p∧綈q是真命题，故①④正确．答案：①④1．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．2．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]1．命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，其否定为_____________________________．答案：若ab＝0，则a≠0且b≠02．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是________．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积 不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等 [题组练透]1．已知命题p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0，则命题p的否定是“______________________”．答案：∃x∈R，log2(3x＋1)＞02．(2018·淮安期末)若“∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为________．解析：若“∃x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立”是假命题，即“∃x∈，使得λ＞2x＋成立”是假命题，所以“∀x∈，都有λ≤2x＋成立”是真命题．由x∈，得函数y＝2x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝时等号成立．所以λ≤2，即实数λ的取值范围为(－∞，2]．答案：(－∞，2]3．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)＝x＋，所以f′(x)＝1－，所以f(x)在上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝5，又因为g(x)在[2,3]上的最小值为g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1.答案：(－∞，1]4．(2019·南通中学调研)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”为真命题，则a≥e；若命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4，所以若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是[e,4]．答案：[e,4][谨记通法]1．全称命题与存在性命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．2．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件． [典例引领](2019·泰州模拟)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题①p1∨p2；②p1∧p2；③(綈p1)∨p2；④p1∧(綈p2)中，真命题的序号是________．解析：因为y＝2x在R上为增函数，y＝2－x＝x在R上为减函数，所以y＝－2－x＝－x在R上为增函数，所以y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题，所以①p1∨p2是真命题；②p1∧p2是假命题；③(綈p1)∧p2是假命题；④p1∧(綈p2)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]1．(2018·启东期末)命题p：0∈N*，命题q：1∈Q，则“p或q”是________命题．(填“真”“假”)解析：命题p：0∈N*，为假命题；命题q：1∈Q，为真命题，则命题“p或q”为真命题．答案：真2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q； ②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，是真命题的序号是________．解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题；④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题．答案：②③ [典例引领](2019·无锡天一中学月考)已知命题p：∃m∈[－1，1]，使不等式a2－5a＋5≥m＋2成立；命题q：x2＋ax＋2＝0有两个负数根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．解：因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q一真一假．由题设知，对于命题p，因为m∈[－1,1]，所以m＋2∈[1,3]，所以不等式a2－5a＋5≥1成立，所以a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4.对于命题q，因为x2＋ax＋2＝0有两个负数根，所以所以a≥2.若p真q假，则a≤1；若p假q真，则2≤a＜4，所以实数a的取值范围为(－∞，1]∪[2，4)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]1．(2018·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意得a＋8≥0，所以a≥－8.答案：[－8，＋∞)2．(2019·海门中学检测)已知命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：∀x∈R，sin x＋cos x＜a，且p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：由已知可得：命题p为真命题，∵p∧q为假命题，∴q为假命题．若q为真，则a＞sin x＋cos x对∀x∈R恒成立，∵sin x＋cos x＝2sin且正弦函数y＝sin x的值域为[－1,1]，∴sin x＋cos x＝2sin的最大值为2，∴a＞2.∵q为假命题，∴a≤2，∴实数a的取值范围为(－∞，2]．答案：(－∞，2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三检测)命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“________________”．答案：∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－12．(2018·镇江模拟)已知命题p：函数y＝ax＋1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件，则有下列命题：①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)．其中为真命题的序号是________．解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y＝ax＋1＋1是由y＝ax先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y＝ax＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p为真命题；命题q：m与β的位置关系也可能是m⊆β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．答案：④3．若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．解析：根据题意得“x∉[2,5]且x∉(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以解得1≤x＜2，故x∈[1,2)．答案：[1,2)4．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，若命题“∃x＞0，f(x)＜0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，所以解得m＜－2，所以m的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)5．(2018·南京外国语学校模拟)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．解析：命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，所以，①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④6．(2019·海门实验中学检测)命题p：∃x∈[－1,1]，使得2x＜a成立；命题q：∀x∈(0，＋∞)，不等式ax＜x2＋1恒成立．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围为________．解析：由x∈[－1,1]可知，当x＝－1时，2x取得最小值，若命题p：∃x∈[－1,1]，使得2x＜a成立为真，则a＞.若命题q：∀x∈(0，＋∞)，不等式ax＜x2＋1恒成立为真，即∀x∈(0，＋∞)，a＜x＋恒成立为真，当x＝1时，x＋取最小值2，故a＜2.因为命题p∧q为真，所以a∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________________．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n”．答案：∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n2．(2019·海安中学测试)若命题“∀x∈[1,2]，x2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：令f(x)＝x2－4ax＋3a2，根据题意可得解得≤a≤1，所以实数a的取值范围是.答案：3．(2018·南通大学附中月考)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，所以a≤－2或a＝1.答案：(－∞，－2]∪{1}4．(2018·沙市区校级期中)函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对∀x1∈[－1,5]，∃x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．解析：由f′(x)＝3x2－12，可得f(x)在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f(x)min＝f(2)＝－13，∵g(x)＝3x－m是增函数，∴g(x)min＝1－m，要满足题意，只需f(x)min≥g(x)min即可，解得m≥14，故实数m的最小值是14.答案：145．已知p：|x－a|＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，因为“綈p”是“綈q”的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件．所以或解得－1≤a≤6.答案：[－1,6]6．(2019·杨大附中月考)给出下列命题：①∀x∈N，x3＞x2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③∃x∈R，x2－x＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为________．解析：命题与命题的否定一真一假．①当x＝0或1时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以②是假命题， ②的否定是真命题；③x2－x＋1＝2＋＞0恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③7．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论 否定即可．答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋18．若“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．解析：由x∈，可得－1≤tan x≤1，所以0≤tan x＋1≤2，因为∀x∈，m≤tan x＋1，所以m≤0，所以实数m的最大值为0.答案：09．(2018·南京期末)已知m∈R，设命题p：∀x∈R，mx2＋mx＋1＞0；命题q：函数f(x)＝x3－3x2＋m－1只有一个零点，则使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围为________．解析：若p为真，当m＝0时，符合题意；当m≠0时，则0＜m＜4，∴命题p为真时，0≤m＜4.若q为真，由f(x)＝x3－3x2＋m－1，得f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．∴f(x)的极大值为f(0)＝m－1，极小值为f(2)＝m－5.要使函数f(x)＝x3－3x2＋m－1只有一个零点，则m－1＜0或m－5＞0，解得m＜1或m＞5.∵“p∨q”为假命题，∴p为假，q为假，即解得4≤m≤5，故实数m的取值范围为[4,5]．答案：[4,5]10．(2018·南京一中模拟)给出如下命题：①“a≤3”是“∃x∈[0,2]，使x2－a≥0成立”的充分不必要条件；②命题“∀x∈(0，＋∞)，2x＞1”的否定是“∃x∈(0，＋∞)，2x≤1”；③若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题．其中正确的命题是________．(填序号)解析：对于①，由∃x∈[0,2]，使x2－a≥0成立，可得a≤4，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“p且q”为假命题，则p，q中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②11．已知命题p：函数y＝lg(ax2＋2x＋a)的定义域为R；命题q：函数f(x)＝2x2－ax在(－∞，1)上单调递减．(1)若“p∧綈q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)设关于x的不等式(x－m)(x－m＋2)＜0的解集为A，命题p为真命题时，a的取值集合为B.若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解：(1)若p为真命题，则ax2＋2x＋a＞0的解集为R，则a＞0且4－4a2＜0，解得a＞1.若q为真命题，则≥1，即a≥4.因为“p∧綈q”为真命题，所以p为真命题且q为假命题，所以实数a的取值范围是(1,4)．(2)解不等式(x－m)(x－m＋2)＜0，得m－2＜x＜m，即A＝(m－2，m)．由(1)知，B＝(1，＋∞)．因为A∩B＝A，则A⊆B，所以m－2≥1，即m≥3.故实数m的取值范围为[3，＋∞). 12．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2＜0(其中a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，x2－5x＋4＜0，解得1＜x＜4，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜4.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4)．(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则BA，由x2－5ax＋4a2＜0得(x－4a)(x－a)＜0，因为a＞0，所以A＝(a,4a)，又B＝(2,5]，则a≤2且4a＞5，解得＜a≤2.所以实数a的取值范围为.13．(2019·启东检测)已知p：∃x∈(0，＋∞)，x2－2eln x≤m；q：函数y＝x2－2mx＋1有两个零点．(1)若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．解：若p为真，令f(x)＝x2－2eln x，问题转化为求函数f(x)的最小值．f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＝0，解得x＝，函数f(x)＝x2－2eln x在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f()＝0，故m≥0.若q为真，则Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1.(1)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，即m＜0且－1≤m≤1，所以实数m的取值范围为[－1,0)．(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．若p真q假，则实数m满足即0≤m≤1；若p假q真，则实数m满足即m＜－1.综上所述，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪[0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·姜堰中学检测)设p：函数f(x)＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减；q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是________．解析：若p为真，由函数f(x)＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减，得f′(x)＝3x2－m≤0在区间[－1,1]上恒成立，即m≥3x2，当－1≤x≤1时，3x2≤3，则m≥3；若q为真，由方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得解得1＜m＜5.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则得m≥5；若p假q真，则得1＜m＜3，综上，实数m的取值范围是(1,3)∪[5，＋∞)．答案：(1,3)∪[5，＋∞)2．(2018·宿迁中学月考)已知命题p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．解析：因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得綈p：∀x∈R，mx2＋2＞0为真命题，所以m≥0.由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题，得綈q：∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，所以Δ＝(－2m)2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.综上，可得m≥1.答案：[1，＋∞)命题点一 集合及其运算1.(2017·江苏高考)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．解析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为1.答案：12．(2016·江苏高考)已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.解析：在集合A中满足集合B中条件的元素有－1,2两个，故A∩B＝{－1,2}．答案：{－1,2}3．(2015·江苏高考)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：因为A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，所以A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素个数为5.答案：54．(2018·浙江高考改编)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝________.解析：∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．答案：{2,4,5}5．(2018·北京高考改编)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2，0,1,2}，则A∩B＝________.解析：∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．答案：{0,1}6．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝________.解析：A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．答案：{0,2}命题点二 充分条件与必要条件1．(2017·浙江高考改编)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的________条件．解析：因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0⇔S4＋S6＞2S5.答案：充要2．(2018·天津高考改编)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的________条件．解析：由x3＞8⇒x＞2⇒|x|＞2，反之不成立，故“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．(2018·天津高考改编)设x∈R，则“＜”是“x3＜1”的________条件．解析：由＜，得0＜x＜1，则0＜x3＜1，即“＜”⇒“x3＜1”；由x3＜1，得x＜1，当x≤0时，≥，即“x3＜1” “＜”．所以“＜”是“x3＜1”的充分不必要条件．答案：充分不必要4．(2016·上海高考)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的____条件．解析：由a＞1可得a2＞1，由a2＞1可得a＞1或a＜－1.所以“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．(2016·天津高考改编)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的________条件．解析：设数列{an}的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)＜0，即q＜－1，故q＜0是q＜－1的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三 命题及其真假性1．(2012·全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.其中的真命题为________．解析：因为复数z＝＝－1－i，所以|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．答案：p2，p42．(2015·山东高考改编)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：根据逆否命题的定义，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0命题点四 全称量词和存在量词1．(2015·全国卷Ⅰ改编)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为________．解析：因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．答案：∀n∈N，n2≤2n2．(2016·浙江高考改编)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是________．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．答案：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x23．(2015·山东高考)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.答案：115。
