考点规范练34 直接证明与间接证明基础巩固组1.用反证法证明命题:“如果a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( ) A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除答案B解析因为命题:“如果a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”的否定是a,b都不能被5整除,所以用反证法证明该命题时假设的内容应为a,b都不能被5整除.故选B.2.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a( )A.都大于2 B.都小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2答案D解析∵a>0,b>0,c>0,∴a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c≥6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.3.已知p=ab+cd,q=ma+nc·bm+dn(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小关系为( )A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定答案B解析q=ab+madn+nbcm+cd≥ab+2abcd+cd=ab+cd=p.4.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负答案A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)0,即cos(A+C)>0,则A+C是锐角,从而B>π2,故△ABC必是钝角三角形.6.已知2+23=223,3+38=338,4+415=4415,…,若6+at=6at(a,t均为正实数),类比以上等式可推测出a,t的值,则a+t= . 答案41解析按题中的等式可推测出a=6,t=a2-1=35,则a+t=6+35=41.7.设a,b,c是不全相等的实数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b,ab2+c2解析由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc<0,则b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2.能力提升组9.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( )A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤答案C解析若a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,假设a≤1且b≤1,则a+b≤2,与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故选C.10.已知x为正实数,不等式x+1x≥2,x+4x2≥3,x+27x3≥4,…,可推广为x+axn≥n+1,则a的值为( )A.2n B.n2 C.22(n-1) D.nn答案D解析因为第一个式子中a=11,第二个式子中a=4=22,第三个式子中a=27=33,所以猜想第n个式子中a=nn.故选D.11.已知函数f(x)=12x,a,b是正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系为( )A.A≤B≤C B.A≤C≤BC.B≤C≤A D.C≤B≤A答案A解析因为a+b2≥ab≥2aba+b,又f(x)=12x在R上是减函数,所以fa+b2≤f(ab)≤f2aba+b.12.设x,y,z均大于0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy( )A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2答案C解析因为x>0,y>0,z>0,所以yx+yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+yz+zy+xz+zx≥6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2.13.①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下说法正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确;②的假设错误D.①的假设错误;②的假设正确答案D解析反证法的实质是否定结论,对于①,其结论的反面是p+q>2,所以①不正确;对于②,其假设正确.14.如果1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,那么a= ,b= ,c= . 答案12 14 14解析∵等式1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*均成立,∴n=1,2,3时等式成立,即1=3(a-b)+c,1+2×3=32(2a-b)+c,1+2×3+3×32=33(3a-b)+c,整理得3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34,解得a=12,b=c=14.故答案为12,14,14.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P'yx2+y2,-xx2+y2,当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是 . 答案②③解析对于①,令P(1,1),则其“伴随点”为P'12,12,而P'12,12的“伴随点”为(-1,-1),并不是P,故错误;对于②,设P(x,y)是单位圆C:x2+y2=1上的点,其“伴随点”为P'(x',y'),则有x'=yx2+y2,y'=-xx2+y2,所以x'2+y'2=yx2+y22+-xx2+y22=1x2+y2=1,所以②正确;对于③,设P(x,y)的“伴随点”为P'yx2+y2,-xx2+y2,P1(x,-y)的“伴随点”为P1'-yx2+y2,-xx2+y2,易知P'yx2+y2,-xx2+y2与P'1-yx2+y2,-xx2+y2关于y轴对称,所以③正确;对于④,设原直线的解析式为Ax+By+C=0,其中A,B不同时为0,且P(x0,y0)为该直线上一点,P(x0,y0)的“伴随点”为P'(x',y'),其中P,P'都不是原点,且x'=y0x02+y02,y'=-x0x02+y02,则x0=-(x02+y02)y',y0=(x02+y02)x'.将P(x0,y0)代入原直线方程,得A(x02+y02)y'+B(x02+y02)x'+C=0,则-Ay'+Bx'+Cx02+y02=0,由于x02+y02的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以④错误.16.已知函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D(x1≠x2),都有fx1+x220,又x1≠x2,所以这个不等式是成立的,故原不等式得证.17.设函数f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-a2,3a>2c>2b.求证:(1)a>0且-32c>2b,∴a>0,b<0.由①变形得c=-32a-b.②将②式代入3a>2c>2b得b>-3a,4b<-3a.∴-30矛盾,∴函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.18.已知函数f(x)=x3+11+x,x∈[0,1],求证:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)3434,所以f(x)>34.综上,34
