工科数学分析课件： 7-5 隐函数的求导法

北京理工大学北京理工大学2015-2016学年第二学期学年第二学期0),(.1 yxF一、一个方程的情形一、一个方程的情形隐函数的求导公式隐函数的求导公式解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx,2yFy,0)1,0(F,02)1,0(yF依定理知方程依定理知方程0122 yx在点在点)1,0(的某邻域的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且内能唯一确定一个单值可导、且0 x时时1 y的的函数函数)(xfy 函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222yyxydxyd 2yyxxy ,13y .1022 xdxyd解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 0),(.2 zyxF解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 思思路路：把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得xz ，把把x看成看成zy,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得yx ，把把y看成看成xz,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得zy .解解令令,zyxu ,xyzv 则则),(vufz 把把z看成看成yx,的函数对的函数对x求偏导数得求偏导数得 xz )1(xzfu ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成zy,的函数对的函数对y求偏导数得求偏导数得)1(0 yxfu),(yxyzxzfv 整理得整理得,vuvuyzffxzff yx 把把y看成看成xz,的函数对的函数对z求偏导数得求偏导数得)1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形二、方程组的情形nna,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv （分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1(yxF0),()2(zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF三、小结三、小结作业作业P89,2，4，7，8，12,13已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数，求求?yzyxzx思考题思考题思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,则则zFx1，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .一、一、填空题填空题:1 1、设设xyyxarctanln22 ,则则 dxdy_._.2 2、设、设zxyz,则则 xz_,_,yz_._.二、二、设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：.1 yzxz练练 习习 题题三三、如如 果果 函函 数数),(zyxf对对 任任 何何t恒恒 满满 足足 关关 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk,则则称称函函数数),(zyxf为为 k次次齐齐次次函函数数,试试证证:k次次齐齐次次函函数数满满足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx .四四、设设.,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程组组所所确确定定的的函函数数的的导导数数或或偏偏导导数数:1 1、设设 203222222zyxyxz ,求求.,dxdzdxdy2 2、设设 ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中gf,具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数）六、六、设函数设函数)(xu由方程组由方程组 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所确定所确定,且且.,0,0dxduzhyg求求 (hgf,均可微均可微)七、七、设设),(txfy 而而t是由方程是由方程0),(tyxF所确定的所确定的yx,的函数的函数,求求.dxdy八、八、设设),(yxzz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所确定所确定,证明证明:xyzyzyxzx .一、一、1 1、yxyx ；2 2、yyxzzzzxxlnln1 ；3 3、yyxzzyzxzln11 .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz .五、五、1 1、13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy；2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu ,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv .练习题答案练习题答案六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf .七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy .。