人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测卷(答案解析)

x x c 一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程 x2+ax =b2的方法，类似地可以用折纸的方法求方程 x 2 +x -1 =0 的一个正根，如图，裁一张边长为 1 的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点 E ，再折出线段 AE ，然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 F ，因而 EF =EB ，类似地，在 AB 上折出点 M 使 AM =AF，表示方程 x2+x -1 =0 的一个正根的线段是（ ）A．线段 BMB．线段 AMC．线段 AED．线段 EM2．x=－2 是关于 x 的一元二次方程 2x2+3ax－2a2=0 的一个根，则 a 的值为（ ）A．1 或 4B．－1 或－4C．－1 或 4D．1 或－43．关于 的一元二次方程 kx2+2 x -1 =0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A． k >-1B． k ³-1C．k ¹0D． k >-1且 k ¹04．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图 1 放置，两个小正方形纸片 的重叠部分面积为 4；按如图 2 放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形 中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为 44，则把两张小正方形按如图 3 放置 时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）A．105．方程A．2B．12x( x -2) =2 -x的解是（ ） B． -2 ，1C．14C． -1D．16D．2， -16．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 100 元降到每件 64 元，则平均每次降价 的百分率为（ ）A．15%B．40% C．25% D．20%7．下列关于一元二次方程 3 x 2 +2 x +1 =0 的根的情况判断正确的是（ ）A．有一个实数根C．没有实数根8．若关于 的一元二次方程 x2B．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根-6 x +c =0 有两个相等的实数根，则常数 的值为（ ）A．3B．6C．8D．99．方程 x 2 =3 x 的根是（ ）a =1 2x x1 2m =A． x =3B．x =0C．x =-3, x =0 1 2D．x =3, x =0 1 210．有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患流感，则每轮传染中平均一个人传染 了（ ）人．A．40B．10 C．9 D．811．关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根，那么 m 的取值范围是（ ）A．m≤14B．m≥-14且 m≠2C．m≤-14且 m≠﹣2D．m≥-1412．已知方程 x2+2020 x -3 =0 的根分别为 a 和 b，则代数式 a2+ab +2020a 的值为（ ）A．0 B．2020 C．1 D．-2020 二、填空题13．关于 x 的一元二次方程 kx2+2 x -1 =0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是________．14．写出有一个根为 1 的一元二次方程是______．15．用配方法解方程 x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝_____．16．一元二次方程 x2-10x+25＝2（x﹣5）的解为____________．17．已知等腰三角形的边长是方程 x 2 -13 x +36 =0 的两个根，则这个等腰三角形的周长 是______．18．已知 x ， x 是关于 x 的一元二次方程 x 2 -6 x +a =0 的两个实数根，且1 2x 2 -x 2 =12 1 2，则 ________．x +x19．已知 x 和 x 是方程 2x2-5x+1=0 的两个根，则 的值为_____．1 220．函数 y =(m+3)xm2-8 三、解答题-5是一次函数，则 ______．21．若a为方程 ( x - 13)2=16 的一个正根，b为方程y2-2 y +1 =13的一个负根，求a +b的值．22．某种品牌的衬衫，进货时的单价为 50 元．如果按每件 60 元销售，可销售 800 件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元?23．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长为 30 米的篱笆围成．已知墙长为 18 米（如图所示），若苗圃园的面积为 72 平方米．求这个 苗圃园垂直于墙的一边长为多少米？ë û 2 24．我们知道 x2 ³0 ， ( a ±b )2³0，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式 2 x2+4 x -5 的最小值时，我们可以这样处理：解：原式=2 (x2+2 x )-5=2 (x2+2 x +12-12)-5=2é( x +1)2 -12ù-5=2( x +1)2-2 -5=2( x +1)2 -7因为 (x+1)2³0，所以2 (x+1)2-7³0-7，即 2 (x+1)2-7³-7所以2 (x+1)-7的最小值是 -7 ，即 2 x2+4 x -5 的最小值是 -7 ．请根据上面的探究思路，解答下列问题：（1）多项式 5 (x-3)2+1的最小值是_________；（2）求多项式 4 x 25．解方程：2-16 x +3 的最小值（写过程）．（1） 2 x2+3 =7 x ；（2）x(2x+5)=2x+5．26．某地为刺激旅客来旅游及消费，讨论 5 月至 9 月推出全城推广活动．杭州某旅行社为 吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去旅游，共支付给该旅行社旅游费用 54000 元，请问该单位这次共有多少 员工去旅游？【参考答案】 ***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设正方形的边长为 1，AF＝AM＝x，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为 1，AF＝AM＝x，则 BE＝EF＝1 1 ，AE＝x+ ，2 2在 ABE 中，∴ AE2＝AB2+BE2，∴ （x+1 1）2＝1+ （ ）2， 2 2∴ x2+x-1＝0，∴ AM 的长为 x2+x-1＝0 的一个正根，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是根据勾股定理列出方程，本题属于中等题型． 2．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解的定义知，x=－2 满足关于 x 的一元二次方程 2x 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．【详解】2+3ax－2a2=0，可得解：将 x=－2 代入一元二次方程 2x2+3ax－2a2=0，得：2 ´(-2)2+3a×(-2)-2a2=0，化简得： a2+3a -4 =0 ，解得：a=1 或 a=-4．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的所有解都满足该 一元二次方程的关系式．3．D解析：D【分析】根据一元二次方程根的判别式得到关于 k 的不等式，然后求解不等式即可.【详解】1 2 是一元二次方程，\ k ¹0．有两个不相等的实数根，则Δ >0，Δ =22-4 ´( -1) ´k >0，解得 k >-1．\ k >-1且 k ¹0 ．故选 D【点睛】本题考查一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：（1） =b2﹣4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根；（2） =b2﹣4ac=0 时，方程有有两个相等的实数根；（3） =b2﹣4ac＜0 时，方程没有实数根.4．B解析：B【分析】设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图 1 得到一个 a 与 b 关系式，再利用 图 2 得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图 3 阴影面积即可.【详解】图 1 中重叠部分的为正方形且其面积为 4，∴ 重叠部分的边长为 2，设大正方形边长为 a，小正方形的边长为 b，∴ a-b+2=b，如图 2，阴影部分面积=a2-2b2+(b-a -b2)2=44，解得：b=6，∴ a=10，如图 3，两个小正方形重叠部分的面积=b ´(2b-a)=12．故答案为：B．【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图中的等量关系 式是解决此题的关键.5．D解析：D【分析】先移项得到 x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（2﹣x）+（2﹣x）＝0，（2﹣x）（x+1）＝0，2﹣x＝0 或 x+1＝0，所以 x ＝2，x ＝﹣1．故选：D．【点睛】1 2 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分 解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个 一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次 方程的问题了（数学转化思想）．6．D解析：D【分析】设平均每次降价的百分率为 x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关 于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设平均每次降价的百分率为 x，依题意，得：100（1-x）2=64，解得：x =0.2=20%，x =1.8（不合题意，舍去）．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．C解析：C【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得 =-8＜0，进而可得出方程 3 x 2 +2 x +1 =0 没有 实数根．【详解】解：∵ △ =22-4×1×3=-8＜0，∴ 方程3x2+2 x +1 =0 没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“ ＜0 时，方程无实数根”是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 c 的一元一次方程，解方程即 可得出结论．【详解】解：x2 -6 x +c =0 有两个相等的实根，\D =( -6)2-4 c =0，解得：c =9故选：D． 【点睛】1 21 2本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式 得出关于 c 的一元一次方程是解题的关键．9．D解析：D【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得 x（x﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元 一次方程 x＝0 或 x﹣3＝0，然后解一元一次方程即可．【详解】解：∵ x2＝3x，∴ x2﹣3x＝0，∴ x（x﹣3）＝0，∴ x＝0 或 x＝3，故选：D．【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的方法：先把方程化为一般式， 再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即 可．10．D解析：D【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，则一轮传染后共有（1+x）人被传染，两轮传染后共 有[（1+x）+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，由题意，得：（1+x）+x(1+x)=81，即 x2+2x﹣80=0，解得：x =8，x =﹣10（不符合题意，舍去），故每轮传染中平均一个人传染了 8 人，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关 键．11．B解析：B【分析】关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次 项系数不为 0，再由一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根，满 ≥0，取它们的公共 部分即可．【详解】关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根， m-2≠0,m≠2,△=9-4×(-1)×(m-2)≥0,m³-14,关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根，m 的取值范围是 m³-14且 m≠2．故选：B．【点睛】本题考查关于 x 的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0 有实数根的问题，关键掌握方程的定 义，二次项系数不为 0，含 x 的最高次项的次数为 2，而且是整式的方程，注意判别式使用 条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．12．A解析：A【分析】将 a 代入方程，可得 a 2 +2020 a -3 =0 ，即 a2 =3 -2020 a ，代入要求的式子，即可得 到 3+ab，而 a、b 是方程的两个根，根据韦达定理，可求出 ab 的值，即可求出答案． 【详解】解：∵ 方程 x2+2020 x -3 =0 的根分别为 a 和 b∴a2+2020a -3 =0 ，即 a2=3 -2020 a∴a 2 +ab +2020a =3 -2020a+ab+2020a=3+ab∵ ab=-3∴a2+ab +2020a =3 -2020a+ab+2020a=3+ab=3-3=0故选：A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及韦达定理，熟练解代入方程以及观察式子特点，抵消 部分式子是解决本题的关键．二、填空题13．且【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可【详解】∵ 关 于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得又∵ 该方程为一元二次方程且 故答案为：且【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义属于解析：k＞ -1且k ¹0．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可. 【详解】∵ 关于 x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，\D=b 2 -4ac =22 -4k ´(-1)=4+4k>0，解得 k >-1．又∵ 该方程为一元二次方程，\ k ¹0，\ k >-1且 k ¹0 ．故答案为： k >-1且 k ¹0 ．【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二 次方程的定义是解题的关键．14．（答案不唯一）【分析】有一个根是 1 的一元二次方程有无数个只要含有 因式 x1 的一元二次方程都有一个根是 1【详解】可以用因式分解法写出原始方 程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考 解析： x 2 -x =0 （答案不唯一）【分析】有一个根是 1 的一元二次方程有无数个，只要含有因式 x-1 的一元二次方程都有一个根是1．【详解】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如x(x -1)=0，化为一般形式为： x2-x =0故答案为： x2-x =0 ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是 1 的一元二次方程有无数个，写出一个方程 就行．15．3【分析】先移项再两边配上 4 写成完全平方公式即可【详解】解：∵ ∴ 即 故答案为：3【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程掌握用配方法解一元 二次方程的步骤即可解析：3【分析】先移项，再两边配上 4，写成完全平方公式即可．【详解】解：∵ x2+4 x =-1，∴x2+4 x +4 =-1+4 ，即(x+2)2=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的步骤即可．1 2 1 2 1 2 16．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程 的解即可；【详解】解：∵ （x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0∴ （x﹣5）（x﹣7）＝0 则 x﹣5＝0 或 x﹣7＝0 解得 x1＝5x2＝7 故答解析：x ＝5，x ＝7【分析】移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；【详解】解：∵ （x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，∴ （x﹣5）（x﹣7）＝0，则 x﹣5＝0 或 x﹣7＝0，解得 x ＝5，x ＝7，故答案为：x ＝5，x ＝7．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 17．22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根从而可得等腰三角形的两 边长再根据等腰三角形的定义三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三 边长然后利用三角形的周长公式即可得【详解】因式分解得解得等腰三角 解析：22【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形 的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公 式即可得．【详解】x2-13 x +36 =0 ，因式分解，得( x -4)( x -9) =0，解得x =4, x =9 1 2，等腰三角形的边长是方程 x2-13 x +36 =0 的两个根，\这个等腰三角形的两边长为 4,9 ，（1）当边长为 4 的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为4, 4,9，此时4 +4 <9，不满足三角形的三边关系定理，舍去；（2）当边长为 9 的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为 4,9,9 ，此时4 +9 >9，满足三角形的三边关系定理，则这个等腰三角形的周长为4 +9 +9 =22；综上，这个等腰三角形的周长为 22，故答案为：22．【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练2 1 21 2 1 22 2 1 2掌握一元二次方程的解法是解题关键．18．8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：解方程可得进一步可得结论 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：又∴ ∴ ∴ 解得故答案为：8 【点睛】本题考查了根与系数的关系牢记两根之和等于-两根之积等于是 解析：8【分析】由一元二次方程根与系数的关系得：x +x =6 ， x x =a ，解方程 x 1 2 1 2 1-x22=12可得x -x =2 1 2【详解】，进一步可得结论．解：由一元二次方程根与系数的关系得：x +x =6 1 2，x x =a1 2，又x 21-x22=12，∴ ( x +x )( x -x ) =121 2 1 2∴ x -x =21 2，∴ ( x -x ) 1 22 =( x +x ) 2 1 2-4 x x =36 -4 a =4 1 2解得， a =8 ，故答案为：8．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b c，两根之积等于 ”是解题的关键． a a19．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解： ∵ x1x2 是方程 2x2-5x+1=0 的两个根∴ x1+x2=-∴ 故答案为：5【点睛】本题考查 了根与系数的关系：若 x1x2 是一元二次方程 ax解析：5【分析】直接根据根与系数的关系，求出 【详解】x +x ， x x 1 2 1 2再代入求值即可．解：∵ x ，x 是方程 2x2-5x+1=0 的两个根，∴ x +x =---5 5 1 = ， x x =2 2 2．∴5x +x1 2 = =5x x 11 2故答案为：5．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，1 2 1 2a b cx +x = - ，x x = ．a a20．3；【分析】根据一次函数的定义得到 m2-8=1 且 m+3≠0 据此求得 m 的值 【详解】解：依题意得：m2-8=1 且 m+3≠0 解得 m=3 故答案是：3【点睛】本题 考查了一次函数的定义一般地形如 y=kx+b解析：3；【分析】根据一次函数的定义得到 m2-8=1 且 m+3≠0，据此求得 m 的值．【详解】解：依题意得：m2-8=1 且 m+3≠0，解得 m=3．故答案是：3．【点睛】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如 y=kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数，叫做一 次函数．会利用 x 的指数构造方程，会解方程，会利用 k 限定字母的值是解题关键 三、解答题21．a+b= 5【分析】先求出 ( x - 13)2=16 的根 x= 13 ±4 ，由 为方程 ( x - 13)2=16 的一个正根，得a = 13 +4 ，再求y 2 -2 y +1 =13的根 y =1 ± 13，由b为方程y 2 -2 y +1 =13的一个负根，得 b =1 - 13 ，最后求 a +b即可． 【详解】( x - 13) 2 =16 ，x - 13 =±4，x = 13 ±4 ，a为方程 ( x - 13) 2 =16 的一个正根，a = 13 +4 ，y2-2 y +1 =13，(y-1)2=13y -1 =± 13，，y =1 ± 13，b为方程y 2 -2 y +1 =13的一个负根，b =1 - 13 ，x ë û a +b = 13 +4 +1 - 13 =5 ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是 解题关键．22．每件的售价为 70 元或 80 元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为 x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装 的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为 元，根据题意，得(x -50)é800 -20(x -60)ù=12000 ,化简整理，得x2-150 x +5600 =0( x -70) (x-80)=0\ x =70, x =801 2答:每件的售价为 70 元或 80 元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出 合适的等量关系，列出方程，再求解．23．这个苗圃园垂直于墙的一边长为 12 米．【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，利用长方形面积公式列方程求解，再根据靠墙边 的长度范围确定取值即可．【详解】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，根据题意得：(30-2x)x =72解得：x =3 ， x =12 1 2，∵30 -2 x £18，∴ x ³6 ，∴ x =12 ．答：这个苗圃园垂直于墙的一边长为 12 米．【点睛】本题考查了长方形的周长公式的运用，长方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的 运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程是关键，注意实际应用中的取值范围． 24．（1）1；（2） -13 ．【分析】（1）根据偶次方的非负性得到( x -3)2 0，得到答案；ë û1 2 （2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：（1）∵( x -3)2³0，∴5( x -3)2+1 ³1，∴ 多项式 5( x -3) 2 +1 故答案为：1； （2） 4 x 2 -16 x +3的最小值是 1．=4 (x2-4 x )+3=4 (x2-4 x +22-22)+3=4é(x -2) 2 -4 ù+3=4( x -2) 2 -16 +3=4( x -2)2-13∵( x -2) 2 ³0，∴4( x -2) 2 -13 ³-13，∴ 多项式4 x2-16 x +3 的最小值为-13．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．25．（1）x =112，x =3 ；（2） x =1 2 1，x =-252【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法求解．【详解】解：（1）2x2-7x+3=0，（2x-1）（x-3）=0， 2x-1=0 或 x-3=0，所以 x =12，x =3；（3）移项得，x（2x+5）-（2x+5）=0， 因式分解得，（2x+5）（x-1）=0， ∴ x-1=0，2x+5=0，∴ x =11，x =-252；【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平 方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关1 1 2 1 2键．26．30 名【分析】首先根据共支付给旅行社旅游费用 54000 元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅 游费用×人数=总费用，设该单位这次共有 x 名员工去旅游．即可由对话框，超过 25 人的人 数为（x-25）人，每人降低 20 元，共降低了 20（x-25）元．实际每人收了[1000-20（x- 25）]元，列出方程求解．【详解】解：设该单位这次共有 x 名员工去旅游．因为 2000×25=50000＜54000，所以员工人数一定超过 25 人．根据题意列方程得：[2000-40（x-25）]x=54000．解得 x =45，x =30．当 x =45 时，2000-40（x-25）=1200＜1700，故舍去；当 x =30 时，2000-40（x-25）=1800＞1700，符合题意．答：该单位这次共有 30 名员工去旅游．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的应用，一元二次方程的解法的运用，有利于培养 学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出 的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题应注意的地方有两点：1、确定人 数的范围；2、用人均旅游费用不低于 1700 元来判断，得到满足题意的 x 的值．。